浙江省溫州市2023～2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中聯(lián)考試題

絕密★考試結(jié)束前 浙江省溫州市2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期5月期中聯(lián)考試題 考生須知： 1.本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。 2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字。 3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效。 4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。 選擇題部分 一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.已知，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ） A.2 B. C. D. 2.若向量，，則與共線的向量可以是（ ） A. B. C. D. 3.若的外接圓的半徑，，則（ ） A.1 B. C.2 D. 4.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（ ） A. B. C. D. 5.設(shè)是給定的平面，、是不在內(nèi)的任意兩點(diǎn)，則下列命題中正確的是（ ） A.在內(nèi)一定存在直線與直線相交 B.在內(nèi)一定存在直線與直線異面 C.一定存在過直線的平面與平行 D.存在無數(shù)過直線的平面與垂直 6.在直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 7.如圖，在坡度一定的山坡處測得山頂上一建筑物的頂端對于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)到達(dá)處，在處測得對于山坡的斜度為.若，山坡與地平面的夾角為，則等于（ ） A. B. C. D. 8.在三棱錐中，底面，，，的面積為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（ ） A. B. C. D. 二、多選題：本小題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. 9.下列說法正確的是（ ） A. B.若，則 C. D.若是關(guān)于的方程的根，則 10.對于任意的兩個(gè)平面向量、，下列關(guān)系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 11.如圖所示，在等腰梯形中，已知，，將沿直線翻折成，則（ ） A.翻折過程中存在某個(gè)位置，使得 B.當(dāng)二面角為時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為 C.直線與所成角的取值范圍為 D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，以為直徑的球被平面所截的截面面積為 非選擇題部分 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12.若向量，則與垂直的一個(gè)單位向量______. 13.已知正四棱臺的上、下底面的邊長分別為2、4，側(cè)棱長為，則該棱臺的體積為______. 14.已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為______. 四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分13分）已知復(fù)數(shù)，，滿足：，且的實(shí)部為正. （1）若在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，、對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)分別為、，為復(fù)平面原點(diǎn)，求證：. 16.（本小題滿分15分）如圖，和都垂直于平面，且，是的中點(diǎn). （1）求證：平面； （2）若是正三角形，且，求直線與平面所成角的正弦值. 17.（本小題滿分15分）在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足_______.從條件①、條件②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面橫線上作為已知， （1）求角； （2）若的面積為，為的中點(diǎn)，求的最小值. 條件①：；條件②：. 18.（本小題滿分17分）如圖，在平行四邊形中，，分別是線段，的中點(diǎn)，記，，且，，. （1）試用向量，表示，； （2）①求，的值； ②設(shè)為的內(nèi)心，若，求的值. 19.（本小題滿分17分）在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)為，點(diǎn)在線段上，且滿足. （1）求證：； （2）當(dāng)平面平面時(shí)， ①求點(diǎn)到平面的距離； ②若為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值. 2023學(xué)年第二學(xué)期溫州十校聯(lián)合體期中聯(lián)考 高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案 一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B C D B 二、多選題：本小題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分. 9 10 11 ACD ABD BD 8.解析：如圖，取的外接圓圓心，過點(diǎn)作平面的垂線， 則三棱錐的外接球的球心在該垂線上，且. 在中，，即. ，即. （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號） 設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，即. 外接球的半徑，故三棱錐的外接球表面積的最小值為. 11.解析：由條件易得，. 對于選項(xiàng)A：假設(shè)翻折過程中存在某個(gè)位置，使得.又因?yàn)椋?，可得平面，所以，?顯然與不垂直，所以假設(shè)不成立，即翻折過程中不存在某個(gè)位置，使得.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤. 對于選項(xiàng)B：取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn).易說明為二面角的平面角，即.線段的長即為點(diǎn)到平面的距離，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的2倍，即.故選項(xiàng)B正確. 對于選項(xiàng)C：連接，易得四邊形是平行四邊形，所以.直線與所成角即為直線與所成角.在翻折過程中，繞著旋轉(zhuǎn)，可以看成以為頂點(diǎn)、為軸的圓錐的母線，為底面圓的直徑.原問題轉(zhuǎn)化為母線與底面直徑所成角的取值范圍.母線與軸的夾角為，結(jié)合最小角定理，可得母線與底面直線所成角的取值范圍是，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤. 對于選項(xiàng)D：當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積最大.又因?yàn)?，平面平面，所以平?的中點(diǎn)為球心，取的中點(diǎn)，則為的中位線，所以，平面.以為直徑的球被平面所截的截面為圓面，由以上分析可知點(diǎn)為該圓的圓心，其半徑，該圓面面積為.故選項(xiàng)D正確 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分. 12.或?qū)懗鲆粋€(gè)即可 13. 14. 四、解答題：本小題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.【解】（1）由題意得 解得. （2）設(shè)，則， 展開得 則解得 所以 當(dāng)時(shí)，，故在復(fù)平面內(nèi)， 則，，，， 16.【解】（1）證明：（1）取的中點(diǎn)，連接，， 是的中點(diǎn)，，， 和都垂直于平面， ，，， 四邊形為平行四邊形，從而， 平面，平面，（沒寫全扣1分） 平面. （2）解：為正三角形，為中點(diǎn)， . 平面，平面，，， 又，平面， 平面. 又，則平面， 得為在面上的射影， 為直線與平面所成角. 在中，，，， 得， 直線與平面所成角的正弦值為. 17.【解】（1）若選①由正弦定理得， ，， ， 若選②：由正弦定理得， ， 即， 又，有，， 由，得. （2），又，， 在中由余弦定理 ，（由余弦定理得出邊的關(guān)系就給2分） 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號， 的最小值為. 18.【解】（1）； （2）①由（1）知：，則， 又， ②為的內(nèi)心，， . 19.【解】（1）取的中點(diǎn)，連接，， ，為的中點(diǎn)，. ，為的中點(diǎn)， 平面， 又平面， （2）①過點(diǎn)作于，連， 平面平面，，平面. 令，則，. 平面，. 在中，由，得，， ， 故點(diǎn)到平面的距離為. ②記平面與平面的夾角為，作交于點(diǎn)，連接， 易證平面為平面與平面的公共垂面，故， 在中，，，可求得， 又，，則.