2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.7解三角形應(yīng)用舉例教案 理 新人教A版 .DOC
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.7解三角形應(yīng)用舉例教案 理 新人教A版 .DOC
2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 4.7解三角形應(yīng)用舉例教案 理 新人教A版
xx高考會這樣考 考查利用正弦定理、余弦定理解決實(shí)際問題中和三角形有關(guān)的角度、方向、距離等測量問題.
復(fù)習(xí)備考要這樣做 1.會從實(shí)際問題抽象中解三角形問題,培養(yǎng)建模能力;2.掌握解三角形實(shí)際應(yīng)用的基本方法,體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用.
1. 用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型
測量距離問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等.
2. 實(shí)際問題中的常用角
(1)仰角和俯角
與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①).
(2)方向角:相對于某正方向的水平角,如南偏東30,北偏西45等.
(3)方位角
指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).
(4)坡度:坡面與水平面所成的二面角的正切值.
3. 解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意,弄清問題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系.
(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問題抽象成解三角形問題的模型.
(3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解.
(4)將三角形問題還原為實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中的有關(guān)單位問題、近似計(jì)算的要求等.
[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]
解三角形應(yīng)用題的兩種情形
(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量全部集中在一個三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及到兩個或兩個以上的三角形,這時(shí)需作出這些三角形,先解夠條件的
三角形,然后逐步求解其他三角形,有時(shí)需設(shè)出未知量,從幾個三角形中列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.
1. 在某次測量中,在A處測得同一半平面方向的B點(diǎn)的仰角是60,C點(diǎn)的俯角是70,則∠BAC=________.
答案 130
解析 由已知∠BAD=60,∠CAD=70,
∴∠BAC=60+70=130.
2. (xx上海)在相距2千米的A,B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)C,若∠CAB=75,∠CBA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離是__________千米.
答案
解析 如圖所示,由題意知∠C=45,
由正弦定理得=,
∴AC==.
3. 江岸邊有一炮臺高30 m,江中有兩條船,船與炮臺底部在同一水面上,由炮臺頂部測得俯角分別為45和60,而且兩條船與炮臺底部連線成30角,則兩條船相距________ m.
答案 10
解析 如圖,OA為炮臺,M、N為兩條船的位置,∠AMO=45,∠ANO
=60,OM=AOtan 45=30,
ON=AOtan 30=30=10,
由余弦定理得,
MN===10(m).
4. 某登山隊(duì)在山腳A處測得山頂B的仰角為45,沿傾斜角為30的斜坡前進(jìn)1 000 m后到達(dá)D處,又測得山頂?shù)难鼋菫?0,則山的高度BC為____________ m.
答案 500(+1)
解析 過點(diǎn)D作DE∥AC交BC于E,因?yàn)椤螪AC=30,故∠ADE=150.
于是∠ADB=360-150-60=150.
又∠BAD=45-30=15,
故∠ABD=15,由正弦定理得AB=
==500(+)(m).
所以在Rt△ABC中,BC=ABsin 45=500(+1)(m).
5. 兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等,燈塔A在觀察站北偏東40,燈塔B在觀察站南偏東60,則燈塔A在燈塔B的 ( )
A.北偏東10 B.北偏西10
C.南偏東10 D.南偏西10
答案 B
解析 燈塔A、B的相對位置如圖所示,由已知得∠ACB=80,
∠CAB=∠CBA=50,
則α=60-50=10,即北偏西10.
題型一 測量距離問題
例1 要測量對岸A、B兩點(diǎn)之間的距離,選取相距 km的C、D兩點(diǎn),并測得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,∠ADB=45,求A、B之間的距離.
思維啟迪:將題中距離、角度轉(zhuǎn)化到一個三角形中,再利用正、余弦定理解三角形.
解 如圖所示,在△ACD中,
∠ACD=120,∠CAD=∠ADC=30,
∴AC=CD= km.
在△BCD中,∠BCD=45,
∠BDC=75,∠CBD=60.
∴BC==.
在△ABC中,由余弦定理,得
AB2=()2+2-2cos 75
=3+2+-=5,
∴AB= (km),∴A、B之間的距離為 km.
探究提高 這類實(shí)際應(yīng)用題,實(shí)質(zhì)就是解三角形問題,一般都離不開正弦定理和余弦定理,在解題中,首先要正確地畫出符合題意的示意圖,然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解.
注意:①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確;②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng).
如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為________米.
答案 50
解析 連接OC,在△OCD中,
OD=100,
CD=150,∠CDO=60,
由余弦定理可得
OC2=1002+1502-2100150=17 500,
解得OC=50(米).
題型二 測量高度問題
例2 某人在塔的正東沿著南偏西60的方向前進(jìn)40米后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0,求塔高.
思維啟迪:依題意畫圖,某人在C處,AB為塔高,他沿CD前進(jìn),
CD=40米,此時(shí)∠DBF=45,從C到D沿途測塔的仰角,只有B
到測試點(diǎn)的距離最短時(shí),仰角才最大,這是因?yàn)閠an∠AEB=,AB
為定值,BE最小時(shí),仰角最大.要求出塔高AB,必須先求BE,而
要求BE,需先求BD(或BC).
解 如圖所示,某人在C處,AB為塔高,
他沿CD前進(jìn),CD=40,此時(shí)∠DBF=45,過點(diǎn)B作BE⊥CD于E,
則∠AEB=30,
在△BCD中,CD=40,∠BCD=30,∠DBC=135,由正弦定理,得
=,
∴BD==20(米).∠BDE=180-135-30=15.
在Rt△BED中,
BE=DBsin 15=20=10(-1)(米).
在Rt△ABE中,∠AEB=30,
∴AB=BEtan 30=(3-)(米).
故所求的塔高為(3-)米.
探究提高 在測量高度時(shí),要正確理解仰角、俯角的概念,畫出準(zhǔn)確的示意圖,恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進(jìn)行求解.注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識.
如圖所示,B,C,D三點(diǎn)在地面的同一直線上,DC=a,從C,D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為β和α(α<β),則A點(diǎn)距地面的高AB為_______________.
答案
解析 AB=ACsin β,==,
解得AB=.
題型三 測量角度問題
例3 某漁輪在航行中不幸遇險(xiǎn),發(fā)出呼救信號,我海軍艦艇在A處獲悉后,立即測出該漁輪在方位角為45,距離為10 n mile的C處,并測得漁輪正沿方位角為105的方向,以9 n mile/h的速度向某小島靠攏,我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救,求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時(shí)間.
思維啟迪:本題中所涉及的路程在不斷變化,但艦艇和漁輪相遇時(shí)所用時(shí)間相等,先設(shè)出所用時(shí)間t,找出等量關(guān)系,然后解三角形.
解 如圖所示,根據(jù)題意可知AC=10,∠ACB=120,設(shè)艦艇靠近漁輪
所需的時(shí)間為t h,并在B處與漁輪相遇,則AB=21t,BC=9t,在△ABC
中,根據(jù)余弦定理得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos 120,所以212t2=102
+81t2+2109t,即360t2-90t-100=0,解得t=或t=-(舍去).所以艦艇靠
近漁輪所需的時(shí)間為 h.此時(shí)AB=14,BC=6.
在△ABC中,根據(jù)正弦定理得=,
所以sin∠CAB==,
即∠CAB≈21.8或∠CAB≈158.2(舍去).
即艦艇航行的方位角為45+21.8=66.8.
所以艦艇以66.8的方位角航行,需 h才能靠近漁輪.
探究提高 對于和航行有關(guān)的問題,要抓住時(shí)間和路程兩個關(guān)鍵量,解三角形時(shí)將各種關(guān)系集中在一個三角形中利用條件.
如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援,則cos θ等于
( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 如圖所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120,由
余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,所以BC=
20.
由正弦定理,得
sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120,知∠ACB為銳角,故cos∠ACB=.
故cos θ=cos(∠ACB+30)
=cos∠ACBcos 30-sin∠ACBsin 30=.
正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用
典例:(12分)如圖,在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45方向,距A處(-1)海里
的B處有一艘走私船.在A處北偏西75方向,距A處2海里的C處
的我方緝私船奉命以10海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船
正以10海里/小時(shí)的速度,以B處向北偏東30方向逃竄.問:緝私
船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
審題視角 (1)分清已知條件和未知條件(待求).
(2)將問題集中到一個三角形中,如△ABC和△BCD.
(3)利用正弦定理或余弦定理求解.
規(guī)范解答
解 設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時(shí),才能最快截獲(在D點(diǎn))走私船,則CD=10t(海里),BD=10t(海里),[1分]
在△ABC中,由余弦定理,有
BC2=AB2+AC2-2ABACcos∠BAC
=(-1)2+22-2(-1)2cos 120=6.
∴BC=(海里).[3分]
又∵=,
∴sin∠ABC===,
∴∠ABC=45,∴B點(diǎn)在C點(diǎn)的正東方向上,
∴∠CBD=90+30=120,[5分]
在△BCD中,由正弦定理,得=,
∴sin∠BCD===.
∴∠BCD=30,∴緝私船沿北偏東60的方向行駛.[8分]
又在△BCD中,∠CBD=120,∠BCD=30,
∴D=30,∴BD=BC,即10t=.
∴t=小時(shí)≈15(分鐘).[11分]
∴緝私船應(yīng)沿北偏東60的方向行駛,才能最快截獲走私船,大約需要15分鐘.[12分]
答題模板
解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為
第一步:分析——理解題意,分清已知與未知,畫出示意圖;
第二步:建模——根據(jù)已知條件與求解目標(biāo),把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中,建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型;
第三步:求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得數(shù)學(xué)模型的解;
第四步:檢驗(yàn)——檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義,從而得出實(shí)際問題的解.
溫馨提醒 (1)由實(shí)際出發(fā),構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的基本思路.如果涉及三角形問題,我們可以把它抽象為解三角形問題進(jìn)行解答,之后再還原成實(shí)際問題,即利用上述模板答題.
(2)本題的易錯點(diǎn):不能將已知和待求量轉(zhuǎn)化到同一個三角形中,無法運(yùn)用正、余弦定理求解.
方法與技巧
1.合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型.
2.把生活中的問題化為二維空間解決,即在一個平面上利用三角函數(shù)求值.
3.合理運(yùn)用換元法、代入法解決實(shí)際問題.
失誤與防范
在解實(shí)際問題時(shí),應(yīng)正確理解如下角的含義.
1.方向角——從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.
2.方位角——從正北方向線順時(shí)針到目標(biāo)方向線的水平角.
3.坡度——坡面與水平面所成的二面角的正切值.
4.仰角與俯角——與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角,目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)稱為仰角,目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)稱為俯角.
A組 專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練
(時(shí)間:35分鐘,滿分:57分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1. 如果在測量中,某渠道斜坡的坡度為,設(shè)α為坡角,那么cos α等于 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 因?yàn)閠an α=,所以cos α=.
2. 有一長為1的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長為( )
A.1 B.2sin 10
C.2cos 10 D.cos 20
答案 C
解析 如圖,∠ABC=20,
AB=1,∠ADC=10,
∴∠ABD=160.
在△ABD中,由正弦定理得=,
∴AD=AB==2cos 10.
3. 一個大型噴水池的中央有一個強(qiáng)力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測得水柱頂端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是 ( )
A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
答案 A
解析 設(shè)水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,∠A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
4. 如圖,設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一
點(diǎn)C,測出AC的距離為50 m,∠ACB=45,∠CAB=105后,就可以計(jì)
算出A、B兩點(diǎn)的距離為 ( )
A.50 m B.50 m
C.25 m D. m
答案 A
解析 ∵∠ACB=45,∠CAB=105,
∴∠ABC=180-105-45=30.
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴AB===50 (m).
二、填空題(每小題5分,共15分)
5. 甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0,則甲、乙兩樓的高分別是________________.
答案 20米、米
解析 如圖,依題意有甲樓的高度為AB=20tan 60=20(米),又CM=DB=20(米),∠CAM=60,所以AM=CM=(米),故乙樓的高度為CD=20-=(米).
6. 一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行,船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向,行駛4 h后,船到B處,看到這個燈塔在北偏東15方向,這時(shí)船與燈塔的距離為______ km.
答案 30
解析 如圖所示,依題意有
AB=154=60,∠MAB=30,∠AMB=45,
在△AMB中,
由正弦定理得=,解得BM=30 (km).
7. 如圖,在四邊形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA
=60,∠BCD=135,則BC的長為________.
答案 8
解析 在△ABD中,設(shè)BD=x,則BA2=BD2+AD2-2BDADcos∠BDA,即142=x2+102-210xcos 60,整理得x2-10x-96=0,解之得x1=16,x2=-6(舍去).
在△BCD中,由正弦定理:=,
∴BC=sin 30=8.
三、解答題(共22分)
8. (10分)如圖所示,測量河對岸的塔高AB時(shí),可以選與塔底B在同一水平面
內(nèi)的兩個觀測點(diǎn)C與D,測得∠BCD=15,∠BDC=30,CD=30 m,并在
點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角為60,求塔高AB.
解 在△BCD中,∠CBD=180-15-30=135,
由正弦定理,得=,
所以BC==15 (m).
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan 60
=15 (m).所以塔高AB為15 m.
9. (12分)如圖,在△ABC中,已知∠B=45,D是BC邊上的一點(diǎn),AD
=10,AC=14,DC=6,求AB的長.
解 在△ADC中,AD=10,
AC=14,DC=6,
由余弦定理得cos∠ADC=
==-,
∴∠ADC=120,∴∠ADB=60.
在△ABD中,AD=10,∠B=45,∠ADB=60,
由正弦定理得=,
∴AB====5.
B組 專項(xiàng)能力提升
(時(shí)間:25分鐘,滿分:43分)
一、選擇題(每小題5分,共15分)
1. 在△ABC中,已知∠A=45,AB=,BC=2,則∠C等于 ( )
A.30 B.60 C.120 D.30或150
答案 A
解析 利用正弦定理可得=,
∴sin C=,∴∠C=30或150.
又∵∠A=45,且∠A+∠B+∠C=180,
∴∠C=30,故選A.
2. 某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是 km,那么x的值為 ( )
A. B.2
C.或2 D.3
答案 C
解析 如圖所示,設(shè)此人從A出發(fā),則AB=x,BC=3,AC=,∠ABC
=30,
由余弦定理得()2=x2+32-2x3cos 30,
整理,得x2-3x+6=0,解得x=或2.
3. 一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直 線航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是 ( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
答案 A
解析 如圖,易知,在△ABC中,AB=20,∠CAB=30,∠ACB=45,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10(海里).
二、填空題(每小題5分,共15分)
4. 一船由B處向正北方向航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔C、D恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時(shí)后到達(dá)A處,看見燈塔C在它的南偏西60方向,燈塔D在它的南偏西75方向,則這艘船的速度是______海里/小時(shí).
答案 10
解析 如圖所示,依題意有∠BAC=60,∠BAD=75,所以∠CAD=∠CDA=15,從而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是這艘船的速度是=10(海里/小時(shí)).
5. 某路邊一樹干被大風(fēng)吹斷后,折成與地面成45角,樹干也傾斜為與地面成75角,樹干底部與樹尖著地處相距20米,則折斷點(diǎn)與樹干底部的距離是__________米.
答案
解析 如圖,設(shè)樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點(diǎn)為A,
則∠ABO=45,∠AOB=75,∴∠OAB=60.
由正弦定理知,=,
∴AO=(米).
6. 在△ABC中,D為邊BC上一點(diǎn),BD=DC,∠ADB=120,AD=2.若△ADC的面積為3-,則∠BAC=_____.
答案 60
解析 S△ADC=2DC=3-,
解得DC=2(-1),
∴BD=-1,BC=3(-1).
在△ABD中,AB2=4+(-1)2-22(-1)cos 120=6,∴AB=.
在△ACD中,AC2=4+[2(-1)]2-222(-1)cos 60=24-12,
∴AC=(-1),則cos∠BAC==,
∴∠BAC=60.
三、解答題
7. (13分)如圖,A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B、D
為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰
角分別為75、30,于水面C處測得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60,AC
=0.1 km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點(diǎn)間距離相等,
然后求B、D的距離(計(jì)算結(jié)果精確到0.01 km,≈1.414,≈2.449).
解 在△ACD中,∠DAC=30,
∠ADC=60-∠DAC=30,所以CD=AC=0.1.
又∠BCD=180-60-60=60,
故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA.
在△ABC中,=,
所以AB==,
即BD=≈0.33(km).
故B、D的距離約為0.33 km.