《機械工程測試技術》第五章

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1、2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 1 第 五 章 信 號 處 理 初 步 2 重 點 ：數(shù) 字 信 號 處 理 的 初 步 概 念 。相 關 分 析 及 其 應 用 、 功 率 譜 分 析 及 其 應 用 。難 點 ：信 號 數(shù) 字 化 中 出 現(xiàn) 的 問 題 ：采 樣 、 混 疊 、 截 斷 、 泄 漏 和 窗 函 數(shù) 等 概 念 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 3 測 試 的 目 的 是 獲 取 反 映 被 測 對 象 狀 態(tài) 和 特 征 的 信息 。 實 際 中 有 用 的 信 息 總 是 和

2、各 種 噪 聲 混 雜 在 一起 ， 難 于 直 接 識 別 和 利 用 。 只 有 分 離 信 號 和 噪 聲并 經 過 必 要 處 理 和 分 析 ， 消 除 和 修 正 系 統(tǒng) 誤 差 之后 ， 才 能 準 確 提 取 信 息 中 有 用 信 息 。信 號 處 理 目 的 :（ 1） 分 離 信 號 和 噪 聲 ， 提 高 信 噪 比 。（ 2） 從 信 號 中 提 取 有 用 的 特 征 信 號 。（ 3） 修 正 測 試 系 統(tǒng) 的 某 些 誤 差 （ 如 非 線 性 誤 差 ，溫 度 影 響 ） 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 20

3、21年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 4 信 號 分 析 （ Signal analysis） ： 研 究 信 號 的 構 成 和 特 征 值 （ 對 信 號 結 構 無 影 響 ） 。信 號 處 理 （ Signal process） ： 把 信 號 經 過 必 要 的 變 換 ， 以 獲 得 所 需 信 息 的 過 程（ 有 可 能 改 變 信 號 本 身 結 構 ） 。二 者 密 切 相 關 ， 沒 明 確 的 界 限 ， 有 時 作 同 義 語 。信 號 處 理 類 型模 擬 信 號 處 理 系 統(tǒng) ： 由 模 擬 濾 波 器 、 乘 法 器 、 微

4、 分 放 大 器 等 實 現(xiàn) 模 擬 運算 功 能 的 電 路 組 成 。 作 為 數(shù) 字 信 號 處 理 的 前 奏 。數(shù) 字 信 號 處 理 系 統(tǒng) ： 用 數(shù) 學 方 法 處 理 信 號 ， 通 常 在 計 算 機 上 實 現(xiàn) ， 也 可用 專 用 信 號 處 理 機 完 成 。 優(yōu) 點 ： 穩(wěn) 定 ， 靈 活 ， 快 速 ，高 效 ， 應 用 廣 ， 設 備 輕 。 51） 電 壓 幅 值 調 理 ， 以 適 宜 采 樣 。2） 濾 波 ， 以 提 高 信 噪 比 。 3） 隔 離 信 號 中 的 直 流 分 量 。 4） 調 制 信 號 的 解 調 。 模 擬 信 號 經 采樣 、

5、量 化 并 轉化 為 二 進 制 。 數(shù) 字 信 號 處 理 器或計 算 機預 處 理預 處 理 A/D轉 換x(t)y(t) A/D轉 換 結 果 顯 示第 一 節(jié) 數(shù) 字 信 號 處 理 的 基 本 步 驟 圖 5-1 數(shù) 字 信 號 處 理 系 統(tǒng) 的 簡 圖 對 采 集 到 的數(shù) 字 信 號 進行 分 析 、 計算 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 6 x(t)xq(nTS) 量 化計 算 機x(n) 編 碼 x(n) n001 011 100 010 010

6、011 tx(t)xq(nTS) tq2q3q4q TS 2TS 3TS 測 試 信 號 的 數(shù) 字 化 過 程xS(nTS)采 樣 /保 持 txS(nTS) TS 2TS3TS TsH ow Long時 間 離 散 化幅 值 離 散 化 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 7 模 數(shù) 轉 換 （ A D） 指 模 擬 信 號 經 采 樣 、 量 化 并 轉 換 為 二 進 制 的 過 程 。（ 1） 采 樣 ： 是 將 連 續(xù) 信 號 變 為 離 散 時 間 序 列 信 號 的過 程 。（ 2） 截 斷 ： 將 采 樣 得 到 的 離 散 時 間

7、序 列 乘 以 窗 函 數(shù) ，使 之 成 為 有 限 時 間 序 列 的 過 程 。（ 3） 量 化 ： 是 把 采 樣 信 號 經 過 舍 入 變 為 有 限 個 有 效數(shù) 字 的 數(shù) 的 過 程 。（ 4） 編 碼 ： 將 經 過 量 化 的 值 變 為 二 進 制 數(shù) 字 的 過 程 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 8 第 二 節(jié) 信 號 數(shù) 字 化 出 現(xiàn) 的 問 題 一 概 述 （ 以 計 算 一 個 模 擬 信 號 的 頻 譜 為 例 ）采 樣 圖 5-2 原 模 擬 信 號 及 其 幅 頻 譜 圖 5-3 采 樣 函 數(shù) 及 其

8、幅 頻 譜Ts采 樣 間 隔 1/Ts=fs采 樣 頻 率圖 5-4 采 樣 后 信 號 及 其 幅 頻 譜 若 fm1/2Tsfm-fm 采 樣 ： 就 是 用 一 個 等 時 距 的 周 期 脈 沖 序 列 s(t)去 乘 x(t)， Ts 采 樣 間 隔 ； 1/Ts=fs 采 樣頻 率 ； 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 9 圖 5-5 時 窗 函 數(shù) 及 其 幅 頻 譜T：窗 寬 圖 5-6 有 限 長 離 散 信 號 及 其 幅 頻 譜N=T/Ts ： 序 列 長 度截 斷截 斷 ： 就 是 再 乘 一 個 窗 口 函 數(shù) （ 矩 形

9、） ， T 為 窗 寬 ； N=T/Ts 所 截 取 的 時 間 序 列 數(shù)據 點 數(shù) （ 序 列 長 度 ） ； 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 10 離 散 頻 率 序 列 )1()( n TnffD f=f s/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T圖 5-8 DFT后 的 頻 譜 及 其 時 域 函 數(shù)圖 5-7 頻 域 采 樣 函 數(shù) 及 其 時 域 函 數(shù)N點 的 離 散 頻 率 序 列 離 散 頻 率 序 列 ： 就 是 離 散 傅 立 葉 變 換 ； 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基

10、 礎 11 計 算 機 按 照 一 定 算 法 離 散 傅 立 葉 變 換 (Discrete Fourie Transform)將 N點 長 的 離 散 時 間 序 列x(t)s(t)w(t)變 換 為 N點 的 離 散 頻 率 序 列 ， 并 輸 出 。輸 出 離 散 頻 率 序 列 的 頻 率 間 距 f = 1/T。頻 域 采 樣 函 數(shù) 是計 算 機 實 際 輸 出 是 ： (5-1) 頻 域 采 樣 形 成 的 頻 域 函 數(shù) 離 散 化 ， 把 其 時 域 函 數(shù) 周期 化 了 。上 述 處 理 過 程 的 每 一 個 步 驟 ： 采 樣 、 截 斷 、 DFT計算 都 會 引

11、起 失 真 或 誤 差 。 )1()( n TnffD )()()()()( P fDfWfSfXfX 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 12 二 時 域 采 樣 、 混 疊 和 采 樣 定 理長 度 為 T 的 連 續(xù) 信 號 x(t)， 采 樣 得 到 的 離 散 時 間 序 列 為 x(n)=x(nTs)=x(n/fs) n=0,1,2,N-1 (5-2)Ts采 樣 間 隔 ； N序 列 長 度 ， N=T/Ts； fs采 樣 頻 率采 樣 間 隔 太 小 ， 其 數(shù) 字 序 列 就 長 ， 效 率 低 ；采 樣 間 隔 太 大 ， 可 能 丟

12、 掉 有 用 的 數(shù) 據 ， 出 現(xiàn) 混 疊 現(xiàn) 象 。圖 5-9混 疊 現(xiàn) 象 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 13 圖 5-4 采 樣 后 信 號 及 其 幅 頻 譜 r sTrfXsT r sTrfsTfXfSfX fSfXtstx r )sTr(fsTfSn )snT(ts(t) )(1 )(1)()()( )()()()( 1)( 2sf2sf 2f s2f s f1 f2 f1混 疊 必 定 出 現(xiàn) 在 f=fs/2 左 右 兩 側 的 頻 率 處 ，稱 為 折 疊 頻 率 ， 高 于 折 疊 頻 率 的 高 頻 成 分 f1 和 低

13、于 折 疊 頻 率 的 低 頻 成 分 f2， 它 們 之間 的 關 系 是 (f1+f2)/2=fs/2。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 14 抗 混 疊 濾 波 預 處 理 后 ， 若 采 樣 頻 率 fs 大 于 帶 限 信 號最 高 頻 率 fh 的 2 倍 ， 即 (5-5) 就 不 會 發(fā) 生 混 疊 。 實 際 上 考 慮 高 于 截 止 頻 率 fc有 過渡 帶 ， 采 樣 頻 率 fs常 選 用 (34)fc。 hfsTsf 21 圖 5-10 不 產 生 混 疊 的 條 件采 樣 定 理 ， 也 稱 香 農 （ Shannon

14、） 定 理 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 15 三 量 化 和 量 化 誤 差 若 采 樣 點 的 電 平 落 在 兩 相 鄰 量 化 之 間 ， 就 必 須含 入 到 相 近 的 一 個 量 化 電 平 上 。 一 般 認 為 ， 量化 誤 差 (n) 為( ) ( ) ( )量 化 電 平實 際 nxnxn e x/2-x/2-x/2(n) x/2 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 16 可 認 為 (n)在 x/2之 間 等 概 率 分 布 。 則 x.xx方 差標 準 差 x均 方 值均 值 x

15、概 率 密 度 2903201221220 1設 A/D轉 換 器 位 數(shù) 為 b， 允 許 的 動 態(tài) 工 作 范 圍 D ( 5V， 010V)， 相 鄰 量 化 電 平 之 間 差 為 (5-6)12 bDx-x/2(n) 20 221 Tt TttTtwT( ) 2sin222sin2 22 fTcTfTfTTfWT 特 點 ： 主 瓣 寬 度 約 為 矩 形 窗的 2倍 ， 但 旁 瓣 低 且 不 會 出現(xiàn) 負 值 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 23 旁 瓣 明 顯 降 低 ， 有抑 制 泄 漏 的 作 用 ， 但 主 瓣 較寬 ，

16、 致 使 頻 率 分 辨 能 力 較 差 。 在 截 斷 隨 機 信 號 或非 整 周 期 截 斷 周 期 函 數(shù) 時 ，為 了 平 滑 或 削 弱 截 取 信 號 的兩 端 ， 減 小 泄 漏 ， 宜 加 漢 寧窗 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 24 （ 四 ） 、 指 數(shù) 窗 無 旁 瓣 ， 主 瓣 很 寬 ， 其 頻 率 分 辨 力 低 。 對 脈 沖 響 應 類 信 號 宜 加 指 數(shù) 窗 ， 若 適 當 選 擇 衰 減 函 數(shù) ， 可 起 到 抑 制 噪 聲 的 作 用 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測

17、試 技 術 基 礎 25 常 用 窗 函 數(shù) 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 26 五 頻 域 采 樣 、 時 域 周 期 延 拓 和 柵 欄 效 應頻 域 采 樣 頻 率 離 散 化 ， 無 疑 是 將 時 域 信 號“ 改 造 ” 成 周 期 信 號 。 相 當 于 在 時 域 中 將 窗 內的 信 號 波 形 在 窗 外 進 行 周 期 延 拓 。采 樣 就 是 “ 摘 取 ” 采 樣 點 上 對 應 的 函 數(shù) 值 ， 如透 過 柵 欄 的 縫 隙 看 景 ， 不 全 面 ， 此 現(xiàn) 象 稱 之 為柵 欄 效 應 （ picket-fenc

18、e effect） 。擋 住 或 丟 失 的 頻 率 成 分 有 可 能 是 重 要 的 或 具 有特 征 的 成 分 ， 以 至 于 整 個 處 理 失 去 意 義 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 27 六 頻 率 分 辨 率 、 整 周 期 截 斷 TTT TNff sss 1/1 u 從 DFT的 原 理 看 ， 譜 線 落 在 某 頻 率 f0處 的 條 件是 ：u 考 慮 到 f=1/T， 簡 諧 信 號 的 周 期 T0=1/f0， 因此即 ， 只 有 截 取 的 信 號 長 度 T正 好 等 于 信 號 周 期 的 整數(shù) 倍 時

19、， 才 能 使 分 析 譜 線 落 在 簡 諧 信 號 的 頻 率 上 。整 數(shù)ff0 整 數(shù)T 0Tu 頻 率 采 樣 間 隔 f也 是 頻 率 分 辨 率 的 指 標 。 此間 隔 越 小 ， 頻 率 分 辨 率 越 高 。 利 用 DFT變 換 時 ： 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 28 離 散 傅 立 葉 變 換 的 圖 解 推 演 t( )tx 0 f( )fX 0 t( )tn sT0 sT/10sT/1 ( )fn f( ) ( ) ( )ttxtx n1 0 t f( ) ( ) ( )ffXfX n1 0 sT/1sT/1 mf

20、mf mfmf t f0 0( )tu ( )fU2/T2/T )a)b ( ) ( ) ( )tutxtx 12 0 t f( ) ( ) ( )fUfXfX 12 0 sT/1sT/1 mfmf( )tk 0 fT/10 t( )tk f( ) ( ) ( )ffXfX k 23 0N( ) ( ) ( )ttxtx n 23 0N t )c )d )e)f )g a)模 擬 信 號 及 其 傅 立 葉 變 換b)采 樣 信 號 及 其 傅 立 葉 變 換 c)離 散 信 號 及 其 傅 立 葉 變 換 d)矩 形 窗 函 數(shù) 及 其 傅 立 葉 變換 e)矩 形 窗 函 數(shù) 采 樣 信

21、號 及 其傅 立 葉 變 換 f)頻 域 采 樣 函 數(shù) 及 其 傅 立 葉逆 變 換 g)離 散 信 號 傅 立 葉 變 換 離 散 傅 立 葉 變 換 步 驟 ：1） 時 域 采 樣2） 時 域 截 斷3） 頻 域 采 樣 時 域 采 樣 引 起 頻 域 周 期 化頻 域 采 樣 引 起 時 域 周 期 化當 窗 函 數(shù) 的 寬 度 T 時 ，sinc函 數(shù) 就 變 成 函 數(shù) 。由 于 T不 夠 寬 帶 來 誤 差 從而 產 生 波 紋 和 泄 漏信 號 時 域 、 頻 域 的 離 散 化導 致 時 域 、 頻 域 的 周 期 化 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測

22、 試 技 術 基 礎 29 待 變 換 時 域 信 號時 域 采 樣 ： Ts 采 樣 間 隔 ； 1/Ts=fs 采 樣 頻 率 ； T 為 窗 寬 ；N=T/Ts 所 截 取 的 時 間 序 列 數(shù) 據 點 數(shù) （ 序 列 長 度 ） f=fs/N=1/(TsN)=1/Ts(T/Ts)=1/T輸 出 離 散 頻 率 序 列 的 頻 率 間 距 f = 1/T折 疊 頻 率 ， 高 于折 疊 頻 率 的 高 頻 成 分 f1 和 低 于 折 疊 頻 率 的 低 頻 成 分 f2，它 們 之 間 的 關 系 是 (f1+f2)/2=fs/2 hfsTsf 21 2021年 7月 30日 星 期

23、 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 30 第 三 節(jié) 隨 機 信 號 一 概 述隨 機 信 號 不 能 用 確 定 數(shù) 學 公 式 描 述 ， 不 能 預 測 其未 來 瞬 時 值 ， 任 何 一 次 觀 察 結 果 不 能 代表 全 部 ， 其 值 變 動 服 從 統(tǒng) 計 規(guī) 律 。樣 本 函 數(shù) 對 隨 機 信 號 按 時 間 歷 程 所 作 的 各 次 長 時間 觀 測 記 錄 稱 為 樣 本 函 數(shù) ， 記 為 xi(t)。樣 本 記 錄 樣 本 函 數(shù) 在 有 限 時 間 區(qū) 間 上 的 部 分 稱 為樣 本 記 錄 。 ),(),(),()( 21 txtxtxtx i

24、（ 1-61） 隨 機 過 程 全 部 樣 本 函 數(shù) 的 集 合 （ 總 體 ） 就 是 隨 機過 程 ， 記 為 x(t)， 即 將 集 合 中 所 有 樣 本函 數(shù) 對 同 一 時 刻 ti的觀 測 值 取 平 均 稱 為（ ti時 刻 的 ） 集 合 平均 。 （ 隨 機 過 程 的平 均 ） 按 單 個 樣 本的 時 間 歷 程進 行 平 均 的計 算 稱 為（ 該 樣 本 的 ）時 間 平 均 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 31 x(t)=x1(t), x2(t), x3(t), ,xn(t), 圖 5-1 隨 機 過 程 與 樣

25、 本 函 數(shù) 任 意 時 刻 ti的 統(tǒng)計 特 征 參 數(shù) 都 相同 的 隨 機 過 程 。 在 平 穩(wěn) 隨 機過 程 中 ， 若任 一 單 個 樣本 函 數(shù) 的 時間 平 均 統(tǒng) 計特 征 等 于 該過 程 集 合 平均 統(tǒng) 計 特 征 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 32 隨 機 過 程 分 類 : （ 1） 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 其 統(tǒng) 計 特 征 參 數(shù) 不 隨 時 間而 變 化 的 隨 機 過 程 。 （ 2） 非 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 與 上 述 相 反 則 為 非 平 穩(wěn)隨 機 過 程 。 （ 3） 各 態(tài) 歷 經 隨 機 過 程

26、 在 平 穩(wěn) 隨 機 過 程 中 ，若 任 一 單 個 樣 本 函 數(shù) 的 時 間 平 均 統(tǒng) 計 特 征等 于 該 過 程 集 合 平 均 統(tǒng) 計 特 征 ， 這 樣 的 平穩(wěn) 隨 機 過 程 叫 各 態(tài) 歷 經 隨 機 過 程 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 33 工 程 中 很 多 隨 機 信 號 具 有 各 態(tài) 歷 經 性 ， 即使 不 嚴 格 遵 守 各 態(tài) 歷 經 性 ， 也 按 各 態(tài) 歷 經 隨 機過 程 處 理 。 也 就 是 說 在 測 試 工 作 中 常 以 一 個 或幾 個 有 限 長 度 的 樣 本 記 錄 來 推 斷

27、 整 個 隨 機 過 程 。以 時 間 平 均 來 估 計 集 合 平 均 。 在 測 試 中 確 定 性 信 號 一 般 是 在 一 定 條 件 下出 現(xiàn) 的 特 殊 情 況 ， 或 者 是 忽 略 了 信 號 的 隨 機 性部 分 ， 實 際 中 測 試 信 號 總 是 受 到 環(huán) 境 噪 聲 污 染的 ， 故 研 究 隨 機 信 號 具 有 普 遍 意 義 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 34 二 隨 機 信 號 的 主 要 特 征 參 數(shù)各 態(tài) 歷 經 隨 機 信 號 主 要 特 征 參 數(shù) ： （ 1） 均 值 、 方 差 和 均 方

28、 值 （ 2） 概 率 密 度 函 數(shù) （ 3） 自 相 關 函 數(shù) （ 4） 功 率 譜 密 度 函 數(shù)（ 一 ） 均 值 x、 方 差 2x和 均 方 值 2x 1 均 值 x （ 1-62）T觀 測 時 間 ; x (t)樣 本 函 數(shù) ;均 值 x表 示 信 號 的常 值 分 量2 方 差 2x （ 1-63）描 述 隨 機 信 號 的 波 動 分 量 ， 它 是 x(t) 偏 離 均 值 x 的 平 方 的 均 值 ， 方 差 的 正 平 方 根 叫 標 準 偏 差 x。 TTx dttxTu 0 )(1lim dttxT T xTx 0 22 )(1lim 2021年 7月 30日

29、 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 35 3 均 方 值 2x 描 述 隨 機 信 號 的 強 度 ， 它 是 x (t) 平 方的 均 值 ， 即 （ 1-64）均 方 值 的 正 平 方 根 稱 為 均 方 根 值 rms4 均 值 x、 方 差 2x和 均 方 值 2x的 關 系 （ 1-65） （ 當 x= 0 時 ， ）5 集 合 平 均 ， t1 時 刻 的 均 值 x , t1和 均 方 值 2x , t1為 （ 1-66） （ 1-67）M樣 本 記 錄 總 數(shù) ; i樣 本 記 錄 序 號 ; t 1觀 察 時 刻 TTx dttxT 0 22 )(1lim

30、 22x2 xx 2x2 x Mi iMtx txM 1 1, )(1lim1 12 2, 111lim ( )Mx t iM i x tM 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 36 （ 二 ） 概 率 密 度 函 數(shù)概 率 密 度 函 數(shù) 表 示 信 號 幅 值 落 在 指 定 區(qū) 間 內 的 概率 。 見 圖 1-22所 示 ，圖 1-22 概 率 密 度 函 數(shù) 的 計 算 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 37 x(t) 值 落 在 (x, x+ x) 區(qū) 間 內 的 時 間 為 Tx （ 1-68）

31、當 樣 本 函 數(shù) 的 記 錄 時 間 T時 ， Tx / T的 比 值 就 是x(t)的 幅 值 落 在 (x, x +x) 區(qū) 間 內 的 概 率 ， 即 （ 1-69）幅 值 概 率 密 度 函 數(shù) p(x)為 （ 1-70）概 率 密 度 函 數(shù) 提 供 了 隨 機 信 號 幅 值 分 布 的 信 息 ， 不同 的 隨 機 信 號 有 不 同 的 概 率 密 度 圖 形 。 圖 1-23是 四種 常 見 的 隨 機 信 號 （ 假 設 x =0） 的 概 率 密 度 函 數(shù)圖 形 。 當 不 知 道 所 處 理 的 隨 機 數(shù) 據 服 從 何 種 分 布 時 ，可 用 統(tǒng) 計 概 率

32、分 布 圖 來 估 計 概 率 密 度 函 數(shù) 。 ni inx ttttT 121 x xxtxxPxp rx )(lim)( 0 TTxxtxxP xTr lim)( 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 38圖 1-23 四 種 隨 機 信 號a)正 弦 函 數(shù) （ 初 始 相 角 為 隨 機 量 ） b)正 弦 函 數(shù) 加 隨 機 信 號c)窄 帶 隨 機 信 號 d)寬 帶 隨 機 信 號 通 過 概 率 密 度 函 數(shù) 的 圖形 特 征 可 以 定 性 的 判 斷原 信 號 中 是 否 含 有 周 期成 分 ， 若 原 信 號 中 周 期成

33、分 越 多 ， 則 p(x)-x曲 線的 “ 馬 鞍 形 ” 現(xiàn) 象 就 越明 顯 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 39 第 四 節(jié) 相 關 分 析 及 應 用 通 常 兩 個 變 量 之 間 若 存 在 一 一 對 應 的 確 定 關 系 ， 則稱 兩 者 之 間 存 在 著 函 數(shù) 關 系 。 而 當 兩 個 隨 機 變 量 之間 具 有 某 種 關 系 ， 隨 著 一 個 變 量 數(shù) 值 的 確 定 ， 另 一變 量 卻 可 能 取 許 多 不 同 值 ， 但 取 值 有 一 定 的 概 率 統(tǒng)計 規(guī) 律 ， 這 時 稱 兩 個 隨 機

34、變 量 存 在 著 相 關 關 系 。 一 兩 個 隨 機 變 量 的 相 關 系 數(shù)圖 5-14表 示 由 兩個 隨 機 變 量 x 和 y 組 成 的 數(shù) 據 點分 布 情 況 。 0 xy 0 xy a) x與 y 無 關 b) 線 性 關 系圖 5-14 兩 隨 機 變 量 的 相 關 性 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 40 變 量 x 和 y 之 間 的 相 關 程 度 常 用 相 關 系 數(shù) xy 表 示 ： yx yxxy yxE )( （ 5-16） 離 散 :連 續(xù) : ni ixnxE 11 式 中 E數(shù) 學 期 望 x隨 機

35、 變 量 x 的 均 值 x = E x y隨 機 變 量 y 的 均 值 y = E y x隨 機 變 量 x 的 標 準 差 2x=E (x x )2 y隨 機 變 量 y 的 標 準 差 2y=E (y y )2 T 0 )(1lim dttxTxE T各 態(tài) 歷 經隨 機 過 程用 柯 西 許 瓦 茲 不 等 式 E (x-x)(y-y) 2 E (x-x) 2 E (y-y) 2 （ 5-17）故 知 : xy 1 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 41 xy 1xy xy 1xyxy 10 xy xy 0 xy 當 數(shù) 據 點 分 布 越

36、 接 近 于 一 條 直 線 時 ， xy 的 絕 對 值 越接 近 1， x 和 y 的 線 性 相 關 性 程 度 越 好 ， 將 這 樣 的數(shù) 據 回 歸 成 直 線 才 越 有 意 義 。 xy 的 正 付 號 表 示 一 變量 隨 另 一 變 量 增 加 而 增 加 或 減 少 。當 xy 接 近 零 時 ， 則 認 為 x 和 y 之 間 完 全 無 關 。 但 仍可 能 存 在 某 種 非 線 性 的 相 關 關 系 甚 至 函 數(shù) 關 系 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 42 在 任 何 t =ti 時 刻 ， 從 兩 個 樣

37、本 上 分 別 得 到 兩 個 量值 x(ti) 和 x(ti+)， 而 且 x(t)和 x(t+)具 有 相 同 的 均 值和 標 準 差 。 假 如 把 簡 寫 成 ， 那 么 有 假 如 x(t) 是 某 各 態(tài) 歷 經 隨 機 過 程 的 一 個 樣 本 記 錄 。x(t+) 是 x(t) 時 移 后 的 樣 本 記 錄 ， 見 圖 5-15。)()( txtx )(x 201 )()(lim)( xT xxTTx dttxtx 二 信 號 的 自 相 關 函 數(shù)0 tx(t)0 tx(t+ ) tit i圖 5-15 自 相 關 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程

38、測 試 技 術 基 礎 43 將 分 子 展 開 并 注 意 到 xTT dttxT 0 )(1lim xTT dttxT 0 )(1lim從 而 20 21 )()(lim)( xT xTTx dttxtx （ 5-18） 定 義 各 態(tài) 歷 經 隨 機 信 號 自 相 關 函 數(shù) 為 )( xR TTx dttxtxTR 0 )()(1lim)( （ 5-19） 則 2 2)()( x xxx R （ 5-20） 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 44 顯 然 ， 和 均 隨 而 變 化 ， 且 兩 者 成 線 性關 系 。 如 果 隨 機 過

39、程 均 值 ， 則 0 x 2 )()( xxx R 自 相 關 函 數(shù) 性 質 ：（ 1） 由 式 （ 5-20） 有 22)()( xxxxR （ 5-21） 因 為 ， 所 以 1 xy 2222 )( xxxxx R （ 5-22） )(xR)(x（ 2） 自 相 關 函 數(shù) 在 = 0時 為 最 大 值 ， 并 等 于 該 隨機 信 號 的 均 方 值 2 x 20 )()(1lim)0( xTTx dttxtxTR （ 5-23） 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 45 （ 3） 當 足 夠 大 或 時 ， x(t) 和 x(t+)不 存

40、在 內 在 聯(lián) 系 ， 彼 此 無 關 。 0)( x（ 4） 自 相 關 函 數(shù) 為 偶 函 數(shù) ， 即)()( xx RR （ 5-24） （ 5） 周 期 函 數(shù) 的 自 相 關 函 數(shù) 仍 為 同 頻 率 的 周 期 函數(shù) ， 其 幅 值 與 原 周 期 信 號 幅 值 有 關 ， 而 丟 失 了 原信 號 的 相 位 信 息 。 2)( xx R 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 46 Rx( )0 2x 2x+ 2x2x - 2x圖 5-16 自 相 關 函 數(shù) 的 性 質 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技

41、 術 基 礎 47 例 5-1求 正 弦 函 數(shù) x (t) = x0 sin ( t+)的 自 相 關 函 數(shù) 。 初相 角 為 一 隨 機 變 量 。 T TTx dtttxTdttxtxTR 0 0 200 0 )(sin)sin(1)()(1lim)( 式 中 為 正 弦 函 數(shù) 周 期20 T令 則 ， 于 是 t ddt 2 02020 20 )sin(sin2)sin(sin2)( dxdxRx 解 ： 此 正 弦 函 數(shù) 是 一 個 零 均 值 的 各 態(tài) 歷 經 隨 機 過 程 ， 其平 均 值 可 用 一 個 周 期 內 平 均 值 表 示 。 該 函 數(shù) 的 自 相 關

42、函數(shù) 為 : 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 48 由 2sin sin cos( ) cos( ) 可 見 正 弦 函 數(shù) 的 自 相 關 函 數(shù) 是 一 個 余 弦 函 數(shù) ，在 =0 時 具 有 最 大 值 ， 它 不 隨 的 增 加 而 衰減 至 零 。 保 留 了 原 正 弦 信 號 的 幅 值 和 頻 率 信 息 ，而 丟 失 了 相 位 信 息 。 上 式 為 2020 )cos()2)cos(21(2)( dxRx )cos(22)cos(212)( 2020 xxRx 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試

43、技 術 基 礎 49 （ 1） 由 于 x= 0； 2202 xx 22 )( xxx R （ 2） T xTx RxdttxT 0 2022 )0(2)(1lim（ 4） )()(cos2)( 20 xx RxR （ 5） 丟 失 相 位 信 息 。 cos2)( 20 xRx 性 質 討 論 ： )cos(22)cos(212)( 2020 xxRx )sin()( 0 txtx 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 50 0 tRx( )0 tx(t) 0 tRx( )0 tx(t)0 tx(t) 0 tRx( )0 tx(t) 0 tR x( )

44、圖 5-17 四 種 典 型 信 號 的 自 相 關 函 數(shù) 正 弦 波正 弦 波 加隨 機 噪 聲窄 帶 隨 機噪 聲寬 帶 隨 機噪 聲 信 號 中 含 有 周 期 成 分 ，其 自 相 關 函 數(shù) 在 很 大時 都 不 會 衰 減 ， 并 具 有明 顯 周 期 性 。不 包 含 周 期 成 分 ，當 稍 大 時 Rx()0。窄 帶 隨 機 噪 聲 的 Rx ()有 較 慢 衰 減特 性 。寬 帶 隨 機 噪 聲 的 R x()很 快 衰 減 為 零 。自 相 關 函 數(shù) 是 區(qū) 別 信 號 類 型 的 一 個 非 常 有 效 的 手 段 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工

45、程 測 試 技 術 基 礎 51 例 ： 自 相 關 分 析 測 量 轉 速理 想 信 號干 擾 信 號 實 測 信 號 自 相 關 系 數(shù)提 取 周 期 性 轉 速 成 分 自 相 關 分 析 的 主 要 應 用 ：用 來 檢 測 混 淆 在 干 擾 信 號中 的 確 定 性 周 期 信 號 成 分 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 52 三 信 號 的 互 相 關 函 數(shù) 兩 個 各 態(tài) 歷 經 隨 機 過 程 的 隨 機 信 號 x(t)和 y(t)的 互 相關 函 數(shù) Rxy()定 義 為 TTxy dttytxTR 0 )()(1lim

46、)( （ 5-25） 由 式 （ 5-16） 1 01 0 lim ( ) ( ) ( )( )lim ( ) ( )= T x yTx y Txy x y x yT x yTT x y x t y t dtE x yx t y t dt 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 53 當 時 移 足 夠 大 或 時 ， x(t)和 y(t)互 不 相 關 ， 0 xy yxxyR )(Rxy( )最 大 變 動 量 范 圍 在 之 間 ， 即yxyx yxyxxyyxyx R )( （ 5-26） 如 果 x(t) 和 y(t) 兩 信 號 是 同 頻 率

47、 的 周 期 信 號 或 者包 含 有 同 頻 率 的 周 期 成 分 ， 那 么 ， 即 使 ，互 相 關 函 數(shù) 也 不 收 斂 并 出 現(xiàn) 該 頻 率 的 周 期 成 分 。如 果 兩 信 號 含 有 頻 率 不 等 的 周 期 成 分 ， 則 兩 者 不相 關 。結 論 ： 同 頻 相 關 ， 異 頻 無 關 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 54 例 5-2 設 有 兩 個 周 期 信 號 ( ) ( )0 0( ) sin( ) sinx t x t y t y t 式 中 ： - x(t) 相 對 t = 0 的 相 位 角 - x

48、(t)與 y(t)的 相 位 差試 求 其 互 相 關 函 數(shù) Rxy( ) 解 ： 因 為 信 號 是 周 期 信 號 ,可 用 一 個 周 期 T0 代 替 整 個歷 程 T 0 000 0000 0 00 1( ) lim ( ) ( )1 sin( ) sin ( ) 1( )cos2( ) cos( )2Txy T T TR x t y t dtT x t y t dtTx y t dtT 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 55 000 00 )cos()(2)cos21(T dttTyx 令 2; 0 Tddtt 200 00 )cos(

49、)2cos(1)21()( dTyxRxy )cos(22)cos(22 000 000 yxTTyx由 此 可 見 ， 兩 個 均 值 為 零 ， 且 具 有 相 同 頻 率 的 周期 信 號 ， 其 互 相 關 函 數(shù) 中 保 留 了 這 兩 個 信 號 的 圓頻 率 ， 對 應 的 幅 值 x0和 y0以 及 相 位 差 的 信 息 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 56 例 5-3 若 兩 個 周 期 信 號 圓 頻 率 不 等 , )sin( 10 txx )sin( 20 tyy試 求 其 互 相 關 函 數(shù) TTxy dttytxT

50、R 0 )()(1lim)( TT dttytxT 0 2010 )(sin)sin(1lim 根 據 正 （ 余 ） 弦 函 數(shù) 的 正 交 性 ， 可 知 0)( xyR可 見 ， 兩 個 非 同 頻 周 期 信 號 是 不 相 關 的 。 解 ： 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 57 第 五 章 作 業(yè)教 科 書 175頁 ， 思 考 題 與 習 題5-15-25-3 下 次 課 交 作 業(yè) 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 58 互 相 關 函 數(shù) 性 質 ：（ 1） 互 相 關 函 數(shù) 不 是

51、偶 函 數(shù) 證 明 ： TTxy dttytxTR 0 )()(1lim)( 令 tt + 1( ) lim ( ) ( )Txy TR x t y t dtT 令 tt 1( ) lim ( ) ( ) ( )Txy yxTR y t x t dt RT 可 見 )()( xyxy RR )()( yxxy RR 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 59 Rxy( )0 x y x y + x y x y - x y圖 5-19 互 相 關 函 數(shù) 的 性 質 0 （ 2） 圖 中 表 明 = 0 時 呈 現(xiàn) 最 大 值 ， 時 移 0 反 映 x(

52、t) 和 y(t) 之 間 的 滯 后 時 間 ?；?相 關 函 數(shù) 的 性 質 ， 使 它 在 工 程 應 用 中 有 重 要 價值 。 它 是 在 噪 聲 背 景 下 提 取 有 用 信 息 的 一 個 非 常有 效 的 手 段 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 60 相 關 濾 波 ： 例 如 在 線 性 系 統(tǒng) 中 測 振 。 根 據 頻 率保 持 性 ， 只 有 和 激 振 頻 率 相 同 的 成 分 才 能 是 由激 振 而 引 起 的 響 應 ， 而 其 它 成 分 是 干 擾 。 因 此將 激 振 信 號 與 所 測 得 的 響

53、應 信 號 進 行 互 相 關（ =0不 用 時 移 ） ， 就 可 得 到 由 激 振 引 起 的 響應 的 幅 值 和 相 位 差 ， 消 除 了 噪 聲 干 擾 的 影 響 。這 種 處 理 方 法 叫 相 關 濾 波 。 互 相 關 技 術 廣 泛 應用 于 各 種 測 試 中 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 61 可 調 延 遲相 關 器Rxy( ) y(t)x(t)鋼 帶 速 度 vd 透 鏡光 電 池0 Rxy( ) d圖 5-20 鋼 帶 運 動 速 度 的 非 接 觸 測 量例 子 ： 圖 5-20是 測 定 熱 軋 鋼 帶

54、運 動 速 度 的 示 意 圖 。ddv 鋼 帶 表 面 反 射光 經 透 射 鏡 聚焦 在 相 距 d 的兩 個 光 電 池 上 。反 射 光 強 度 的波 動 ， 通 過 光電 池 轉 變 為 電信 號 ， 再 進 行相 關 處 理 。 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 62 圖 5-21是 確 定 深 埋 地 下 的 油 管 裂 損 位 置 的 例 子 。相關分析x1(t)x2(t) 傳 感 器 1傳 感 器 2 sK漏損處 中心處 0 R x1x2( ) m石 油 0圖 5-21 確 定 輸 油 管 裂 損 位 置 mvs 21 2021年

55、7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 63 由 式 （ 5-19） （ 5-25） 所 定 義 的 相 關 函 數(shù) 只 適用 于 各 態(tài) 歷 經 隨 機 信 號 和 功 率 信 號 。 對 于 能 量有 限 信 號 的 相 關 函 數(shù) ， 其 中 的 積 分 若 除 以 無 窮大 的 T 時 間 后 ， 無 論 時 移 為 何 值 ， 其 結 果 都將 趨 于 零 ， 因 此 對 能 量 有 限 信 號 進 行 相 關 分 析時 ， 應 按 如 下 定 義 來 計 算 ： dttxtxRx )()()( （ 5-28） dttytxRxy )()()( （ 5-29

56、） 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 64 四 相 關 函 數(shù) 估 計按 照 定 義 ， 相 關 函 數(shù) 應 該 在 無 窮 長 時 間 進 行 觀 察 和 計算 。 實 際 上 任 何 的 觀 察 時 間 都 是 有 限 的 ， 我 們 只 能 根據 有 限 時 間 的 觀 察 值 去 估 計 相 關 函 數(shù) 的 真 值 。 對 于 隨機 信 號 ， 可 用 有 限 時 間 T內 樣 本 記 錄 所 求 得 的 相 關 函數(shù) 值 來 作 為 隨 機 信 號 相 關 函 數(shù) 估 計 。 Tx dttxtxTR 0 )()(1)( （ 5-30） Tx

57、y dttytxTR 0 )()(1)( （ 5-31） 為 了 簡 便 ， 假 定 信 號 在 T+ 上 存 在 ， 則 用 下 式 代 替式 （ 5-30） （ 5-31） Tx dttxtxTR 0 )()(1)( （ 5-32） Txy dttytxTR 0 )()(1)( （ 5-32） 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 65 使 模 擬 信 號 不 失 真 地 沿 時 軸 平 移 是 一 種 困 難 的 工 作 。因 此 模 擬 相 關 處 理 技 術 只 適 用 于 幾 種 特 定 信 號 （ 如正 弦 信 號 ） 。 在 數(shù) 字 信

58、號 處 理 中 ， 信 號 時 移 非 常 方便 ， 所 以 實 際 上 相 關 處 理 都 是 用 數(shù) 字 技 術 來 完 成 的 。對 于 有 限 個 序 列 點 N 的 數(shù) 字 信 號 的 相 關 函 數(shù) 估 計 ，仿 照 式 （ 5-32） 可 寫 成 （ 5-33） r =0， 1， 2， 3， .mN ； 式 中 m最 大 時 移 數(shù) 10 )()(1)( Nnx rnxnxNR r 10 )()(1)( Nnxy rnynxNR r 結 束 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 66 大 型 空 氣 壓 縮 機 傳 動 裝 置 簡 圖 和

59、在 減 速 箱 上 測 得 的 振 動信 號 波 形 和 頻 譜 ， 請 從 頻 譜 上 讀 出 信 號 的 特 征 參 數(shù) ， 并判 斷 那 一 根 傳 動 軸 是 主 要 的 振 動 源 ， 說 明 判 斷 依 據 ？ 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 67 自 相 關 函 數(shù) 是 偶 函 數(shù) 證 明 因 為 01( ) lim ( ) ( )Tx TR x t x t dtT 則 01( ) lim ( ) ( )Tx TR x t x t dtT 令 ; ;t v dt dv t v 上 式 為 01( ) lim ( ) ( )Tx TR x v x v dvT 令 v t 01( ) lim ( ) ( ) ( )Tx xTR x t x t dt RT 則 證 畢 -T- 2021年 7月 30日 星 期 五 機 械 工 程 測 試 技 術 基 礎 68 0 tx(t)0 tx(t-) titi自 相 關 是 偶 函 數(shù)x()00 x(+) 0 T T TT )x()dx(T1lim)R( )R()x()dx(T1lim T0T t