2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等比數(shù)列 第七課時(shí) 第三章.doc
2019-2020年高一數(shù)學(xué) 等比數(shù)列 第七課時(shí) 第三章
●課 題
3.4.1 等比數(shù)列(一)
●教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)
1.等比數(shù)列的定義.
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(二)能力訓(xùn)練要求
1.掌握等比數(shù)列的定義.
2.理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo).
(三)德育滲透目標(biāo)
1.培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)意識.
2.提高學(xué)生創(chuàng)新意識.
3.提高學(xué)生的邏輯推理能力.
4.增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識.
●教學(xué)重點(diǎn)
等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式.
●教學(xué)難點(diǎn)
靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式及通項(xiàng)公式解決一些相關(guān)問題.
●教學(xué)方法
比較式教學(xué)法
采用比較式數(shù)學(xué)法,從而使學(xué)生抓住等差數(shù)列與等比數(shù)列各自的特點(diǎn),以便理解、掌握與應(yīng)用.
●教具準(zhǔn)備
幻燈片一張:記作3.4.1
內(nèi)容:1.等差數(shù)列定義:an-an-1=d(n≥2)(d為常數(shù))
2.等差數(shù)列性質(zhì):(1)若a,A,b成等差數(shù)列,則A=,(2)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(3)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k…成等差數(shù)列.
3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:Sn==na1+d
●教學(xué)過程
Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧
[師]前面幾節(jié)課,我們共同探討了等差數(shù)列,現(xiàn)在我們再來回顧一下等差數(shù)列的主要內(nèi)容.(師生共同完成以下活動)
(打出幻燈片3.4.1)
Ⅱ.講授新課
[師]下面我們來看這樣幾個數(shù)列,看其又有何共同特點(diǎn)?
1,2,4,8,16,…,263; ①
5,25,125,625,…; ②
1,-,…; ③
[生]仔細(xì)觀察數(shù)列,尋其共同特點(diǎn).
對于數(shù)列①,an=2n-1;=2(n≥2)
對于數(shù)列②,an=5n;=5(n≥2)
對于數(shù)列③,an=(-1)n+1=- (n≥2)
共同特點(diǎn):從第二項(xiàng)起,第一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一個常數(shù).
[師]也就是說,這些數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都具有“相等”的特點(diǎn).
1.定義
等比數(shù)列:一般地,如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:an∶an-1=q(q≠0)
如:數(shù)列①,②,③都是等比數(shù)列,它們的公比依次是2,5,-.與等差數(shù)列比較,僅一字之差.
總之,若一數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)之“差”為常數(shù),則為等差數(shù)列,之“比”為常數(shù),則為等比數(shù)列,此常數(shù)稱為“公差”或“公比”.
注意(1)公差“d”可為0,(2)公比“q”不可為0.
[師]等比數(shù)列的通項(xiàng)公式又如何呢?
2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
[師]請同學(xué)們想想等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程,試著推一下等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解法一:由定義式可得:a2=a1q,a3=a2q=(a1q)q=a1q2,a4=a3q=(a1q2)q=a1q3,…,
an=an-1q=a1qn-1(a1,q≠0),n=1時(shí),等式也成立,即對一切n∈N*成立.
解法二:由定義式得:(n-1)個等式
①
②
…
n-1
若將上述n-1個等式相乘,便可得:
即:an=a1qn-1(n≥2)
當(dāng)n=1時(shí),左=a1,右=a1,所以等式成立,
∴等比數(shù)列通項(xiàng)公式為:an=a1qn-1(a1,q≠0)
如:數(shù)列①,an=12n-1=2n-1(n≤64)
[生]寫出數(shù)列②、③的通項(xiàng)公式
數(shù)列②:an=55n-1=5n,數(shù)列③:an=1(-)n-1=(-1)n-1與等差數(shù)列比較,兩者均可用歸納法求得通項(xiàng)公式.
或者,等差數(shù)列是將由定義式得到的n-1個式子相“加”,便可求得通項(xiàng)公式;而等比數(shù)列則需將由定義式得到的n-1個式子相“乘”,方可求得通項(xiàng)公式.
[師]下面看一些例子:
[例1]培育水稻新品種,如果第一代得到120粒種子,并且從第一代起,由以后各代的每一粒種子都可以得到下一代的120粒種子,到第5代大約可以得到這個新品種的種子多少粒(保留兩個有效數(shù)字)?
分析:下一代的種子數(shù)總是上一代種子數(shù)的120倍,逐代的種子數(shù)可組成一等比數(shù)列,然后可用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決題目所要求的問題.
解:由題意可得:逐代的種子數(shù)可組成一以a1=120,q=120的等比數(shù)列{an}.
由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得:an=a1qn-1=120120n-1=120n
∴a5=1205≈2.51010.
答:到第5代大約可以得到種子2.51010粒.
評述:遇到實(shí)際問題,首先應(yīng)仔細(xì)分析題意,以準(zhǔn)確恰當(dāng)建立數(shù)學(xué)模型.
[例2]一個等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18,求它的第1項(xiàng)與第2項(xiàng).
分析:應(yīng)將已知條件用數(shù)學(xué)語言描述,并聯(lián)立,然后求得通項(xiàng)公式.
解:設(shè)這個等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比是q,
①②
則:
②①得:q= ③
③代入①得:a1=,
∴an=a1qn-1=,8.
答:這個數(shù)列的第1項(xiàng)與第2項(xiàng)分別是和8.
評述:要靈活應(yīng)用等比數(shù)列定義式及通項(xiàng)公式.
Ⅲ.課堂練習(xí)
[生](自練)課本P126練習(xí)1,2
1.求下面等比數(shù)列的第4項(xiàng)與第5項(xiàng):
(1)5,-15,45,……;(2)1.2,2.4,4.8,……;(3),……;(4)…….
解:(1)∵q==-3,a1=5
∴an=a1qn-1=5(-3)n-1
∴a4=5(-3)3=-135,
a5=5(-3)4=405.
(2)∵q==2,a1=1.2
∴an=a1qn-1=1.22n-1
∴a4=1.223=9.6,
a5=1.224=19.2
(3)∵q=
∴an=a1qn-1=
∴a4=,
a5=
(4)∵q=1
∴an=a1qn-1=
∴a4=.
2.(1) 一個等比數(shù)列的第9項(xiàng)是,公比是-,求它的第1項(xiàng).
解:由題意得a9=,q=-
∵a9=a1q8,
∴,
∴a1=2916
答:它的第1項(xiàng)為2916.
(2)一個等比數(shù)列的第2項(xiàng)是10,第3項(xiàng)是20,求它的第1項(xiàng)與第4項(xiàng).
解:由已知得a2=10,a3=20.在等比數(shù)列中
∵=q=2,
∴a1==5,a4=a3q=40.
答:它的第1項(xiàng)為5,第4項(xiàng)為40.
3.已知{an}是無窮等比數(shù)列,公比為q.
(1)將數(shù)列{an}中的前k項(xiàng)去掉,剩余各項(xiàng)組成一個新數(shù)列,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)和公比各是多少?
解:設(shè){an}為:a1,a2,…,ak,ak+1,…
則去掉前k項(xiàng)的數(shù)可列為:ak+1,ak+2,…,an,…
可知,此數(shù)列是等比數(shù)列,它的首項(xiàng)為ak+1,公比為q.
(2)取出數(shù)列{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng),組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的首項(xiàng)和公比各是多少?
解:設(shè){an}為:a1,a2,a3,…,a2k-1,a2k,…,取出{an}中的所有奇數(shù)項(xiàng),分別為:a1,a3,a5,a7,…,
a2k-1,a2k+1,…
∵=q2(k≥1)
∴此數(shù)列為等比數(shù)列,這個數(shù)列的首項(xiàng)是a1,公比為q2.
(3)在數(shù)列{an}中,每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng),組成一個新的數(shù)列,這個數(shù)列是等比數(shù)列嗎?如果是,它的公比是多少?
解:設(shè)數(shù)列{an}為:a1,a2,…,an,…
每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)的數(shù)可列為:a11,a22,a33,……
可知,此數(shù)列為等比數(shù)列,其公式為:.
評述:注意靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義式和通項(xiàng)公式.
Ⅳ.課時(shí)小結(jié)
[師]本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義,即:=q(q≠0,q為常數(shù),n≥2)
等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=a1qn-1(n≥2)及推導(dǎo)過程.
Ⅴ.課后作業(yè)
(一)課本P127習(xí)題3.4 1
(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:課本P125~P126
2.預(yù)習(xí)提綱:
(1)什么是等比中項(xiàng)?(2)等比數(shù)列有哪些性質(zhì)?(3)怎樣應(yīng)用等比數(shù)列的定義式、通項(xiàng)公式以及重要性質(zhì)解決一些相關(guān)問題.
●板書設(shè)計(jì)
3.4.1 等比數(shù)列(一)
1.定義
2.通項(xiàng)公式推導(dǎo)
an=a1qn-1(a1,q≠0)
3.例題