2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 .DOC

2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 7.4基本不等式教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.利用基本不等式求最值、證明不等式；2.利用基本不等式解決實際問題． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.注意基本不等式求最值的條件；2.在復(fù)習(xí)過程中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的應(yīng)用． 1． 基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號． 2． 幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同號)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 3． 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4． 利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2.(簡記：積定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是.(簡記：和定積最大) [難點正本　疑點清源] 1． 在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤． 2． 運用公式解題時，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2＋b2≥2ab逆用就是ab≤；≥ (a，b>0)逆用就是ab≤2 (a，b>0)等．還要注意“添、拆項”技巧和公式等號成立的條件等． 3． 對使用基本不等式時等號取不到的情況，可考慮使用函數(shù)y＝x＋(m>0)的單調(diào)性． 1． 若x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值是________． 答案　81 解析　由于x>0，y>0，則x＋y≥2， 所以xy≤2＝81， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時，xy取到最大值81. 2． 已知t>0，則函數(shù)y＝的最小值為________． 答案　－2 解析　∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，且在t＝1時取等號． 3． 已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則＋的最小值是_____________． 答案　8 解析　因為＋＝(2x＋y) ＝4＋＋≥4＋2＝8，等號當(dāng)且僅當(dāng)y＝，x＝時成立． 4． (xx浙江)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是 (　　) A. B. C．5 D．6 答案　C 解析　∵x>0，y>0，由x＋3y＝5xy得＝1. ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝ ＝＋≥＋2 ＝5(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時取等號)， ∴3x＋4y的最小值為5. 5． 圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0關(guān)于直線2ax－by＋2＝0 (a，b∈R)對稱，則ab的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由題可知直線2ax－by＋2＝0過圓心(－1,2)，故可得a＋b＝1，又因ab≤2＝ (a＝b時取等號)． 故ab的取值范圍是. 題型一　利用基本不等式證明簡單不等式 例1　已知x>0，y>0，z>0. 求證：≥8. 思維啟迪：由題意，先局部運用基本不等式，再利用不等式的性質(zhì)即可得證． 證明　∵x>0，y>0，z>0， ∴＋≥>0，＋≥>0， ＋≥>0， ∴ ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時等號成立． 探究提高　利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，證明思路是從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理最后轉(zhuǎn)化為需證問題． 　已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1. 求證：＋＋≥9. 證明　∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，取等號． 題型二　利用基本不等式求最值 例2　(1)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，則＋的最小值為________； (2)當(dāng)x>0時，則f(x)＝的最大值為________． 思維啟迪：利用基本不等式求最值可以先對式子進行必要的變換．如第(1)問把＋中的“1”代換為“2x＋y”，展開后利用基本不等式；第(2)問把函數(shù)式中分子分母同除“x”，再利用基本不等式． 答案　(1)3＋2　(2)1 解析　(1)∵x>0，y>0，且2x＋y＝1， ∴＋＝＋ ＝3＋＋≥3＋2.當(dāng)且僅當(dāng)＝時，取等號． (2)∵x>0，∴f(x)＝＝≤＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝1時取等號． (1)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是 (　　) A．3 B．4 C. D. (2)已知a>b>0，則a2＋的最小值是________． 答案　(1)B　(2)16 解析　(1)依題意，得(x＋1)(2y＋1)＝9， ∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6， 即x＋2y≥4. 當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立． ∴x＋2y的最小值是4. (2)∵a>b>0，∴b(a－b)≤2＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時等號成立． ∴a2＋≥a2＋＝a2＋ ≥2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2時等號成立． ∴當(dāng)a＝2，b＝時，a2＋取得最小值16. 題型三　基本不等式的實際應(yīng)用 例3　某單位建造一間地面面積為12 m2的背面靠墻的矩形小房，由于地理位置的限制，房子側(cè)面的長度x不得超過5 m．房屋正面的造價為400元/m2，房屋側(cè)面的造價為150元/m2，屋頂和地面的造價費用合計為5 800元，如果墻高為3 m，且不計房屋背面的費用．當(dāng)側(cè)面的長度為多少時，總造價最低？ 思維啟迪：用長度x表示出造價，利用基本不等式求最值即可．還應(yīng)注意定義域0<x≤5；函數(shù)取最小值時的x是否在定義域內(nèi)，若不在定義域內(nèi)，不能用基本不等式求最值，可以考慮單調(diào)性． 解　由題意可得，造價y＝3(2x150＋400)＋5 800 ＝900＋5 800 (0<x≤5)， 則y＝900＋5 800 ≥9002＋5 800＝13 000(元)， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝，即x＝4時取等號． 故當(dāng)側(cè)面的長度為4米時，總造價最低． (xx北京)某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準備費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準備費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品 (　　) A．60件 B．80件 C．100件 D．120件 答案　B 解析　設(shè)每件產(chǎn)品的平均費用為y元，由題意得 y＝＋≥2＝20. 當(dāng)且僅當(dāng)＝(x>0)，即x＝80時“＝”成立，故選B. 忽視最值取得的條件致誤 典例：(12分)已知a、b均為正實數(shù)，且a＋b＝1，求y＝的最小值． 易錯分析　在求最值時兩次使用基本不等式，其中的等號不能同時成立，導(dǎo)致最小值不能取到． 審題視角　(1)求函數(shù)最值問題，可以考慮利用基本不等式，但是利用基本不等式，必須保證“正、定、等”，而且還要符合已知條件．(2)可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，但要注意變量的取值范圍． 規(guī)范解答 解　方法一　y＝ ＝＋≥＋2 ＝2＝2 ≥2＝2＝.[10分] 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，y＝取最小值，最小值為.[12分] 方法二　y＝＝ab＋＋＋ ＝ab＋＋＝ab＋＋ ＝＋ab－2.[6分] 令t＝ab≤2＝，即t∈. 又f(t)＝＋t在上是單調(diào)遞減的，[10分] ∴當(dāng)t＝時，f(t)min＝，此時，a＝b＝. ∴當(dāng)a＝b＝時，y有最小值.[12分] 溫馨提醒　(1)這類題目考生總感到比較容易下手．但是解這類題目卻又常常出錯．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意應(yīng)用條件：即一正、二定、三相等．否則求解時會出現(xiàn)等號成立、條件不具備而出錯．(3)本題出錯的原因前面已分析，關(guān)鍵是忽略了等號成立的條件. 方法與技巧 1． 基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，常常用于比較數(shù)(式)的大小或證明不等式，解決問題的關(guān)鍵是分析不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特點，選擇好利用基本不等式的切入點． 2． 恒等變形：為了利用基本不等式，有時對給定的代數(shù)式要進行適當(dāng)變形．比如： (1)當(dāng)x>2時，x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4. (2)0<x<，x(8－3x)＝(3x)(8－3x) ≤2＝. 失誤與防范 1．使用基本不等式求最值，其失誤的真正原因是對其前提“一正、二定、三相等”的忽視．要利用基本不等式求最值，這三個條件缺一不可． 2．在運用重要不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足重要不等式中“正”“定”“等”的條件． 3．連續(xù)使用公式時取等號的條件很嚴格，要求同時滿足任何一次的字母取值存在且一致． A組　專項基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx陜西)設(shè)0<a<b，則下列不等式中正確的是 (　　) A．a(chǎn)<b<< B．a(chǎn)<<<b C．a(chǎn)<<b< D.<a<<b 答案　B 解析　∵0<a<b，∴a<<b，A、C錯誤； －a＝(－)>0，即>a，D錯誤，故選B. 2． (xx福建)下列不等式一定成立的是 (　　) A．lg>lg x(x>0) B．sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R) D.>1(x∈R) 答案　C 解析　當(dāng)x>0時，x2＋≥2x＝x， 所以lg≥lg x(x>0)，故選項A不正確； 而當(dāng)x≠kπ，k∈Z時，sin x的正負不定，故選項B不正確； 由基本不等式可知，選項C正確； 當(dāng)x＝0時，有＝1，故選項D不正確． 3． 設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2，則＋的最大值為 (　　) A．2 B. C．1 D. 答案　C 解析　由ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由a>1，b>1知x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時“＝”成立，則＋的最大值為1. 4． 已知0<x<1，則x(3－3x)取得最大值時x的值為 (　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵0<x<1，∴1－x>0. ∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝. 當(dāng)x＝1－x，即x＝時取等號． 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． 已知x，y∈R＋，且滿足＋＝1，則xy的最大值為________． 答案　3 解析　∵x>0，y>0且1＝＋≥2，∴xy≤3.當(dāng)且僅當(dāng)＝時取等號． 6． (xx湖南)設(shè)x，y∈R，且xy≠0，則的最小值為________． 答案　9 解析?。?＋＋4x2y2 ≥5＋2＝9， 當(dāng)且僅當(dāng)x2y2＝時“＝”成立． 7． 某公司一年需購買某種貨物200噸，平均分成若干次進行購買，每次購買的運費為2萬元，一年的總存儲費用數(shù)值(單位：萬元)恰好為每次的購買噸數(shù)數(shù)值，要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則每次購買該種貨物的噸數(shù)是_______． 答案　20 解析　設(shè)每次購買該種貨物x噸，則需要購買次，則一年的總運費為2＝，一年的總存儲費用為x，所以一年的總運費與總存儲費用為＋x≥2＝40，當(dāng)且僅當(dāng)＝x，即x＝20時等號成立，故要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，每次應(yīng)購買該種貨物20噸． 三、解答題(共22分) 8． (10分)已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8； (2)≥9. 證明　(1)＋＋＝＋＋ ＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9. ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時等號成立)． 方法二?。?＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9. 9． (12分)為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2 m的無蓋長 方體沉淀箱(如圖所示)，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè) 箱的底長為a m，高度為b m．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分別與 a，b的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60 m2.問：當(dāng)a，b各為多少米時， 經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小(A，B孔的面積忽略不計)? 解　方法一　設(shè)y為流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)， 則y＝，其中k>0為比例系數(shù)，依題意，求使y值最小的a，b的值． 根據(jù)題設(shè)，有4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 解得b＝ (0<a<30)．① 于是y＝＝＝ ＝ ≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＋2＝時等號成立，y取得最小值． 這時a＝6或a＝－10(舍)，將其代入①式，得b＝3. 故當(dāng)a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小． 方法二　依題意，求使ab值最大的a，b的值． 由題設(shè)，知4b＋2ab＋2a＝60 (a>0，b>0)， 即a＋2b＋ab＝30 (a>0，b>0)． 因為a＋2b≥2，所以2＋ab≤30， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時，上式取等號． 由a>0，b>0，解得0<ab≤18， 即當(dāng)a＝2b時，ab取得最大值，其最大值為18. 所以2b2＝18，解得b＝3，進而求得a＝6. 故當(dāng)a為6 m，b為3 m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小． B組　專項能力提升 (時間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 不等式a2＋b2≥2|ab|成立時，實數(shù)a，b一定是 (　　) A．正數(shù) B．非負數(shù) C．實數(shù) D．不存在 答案　C 解析　原不等式可變形為a2＋b2－2|ab|＝|a|2＋|b|2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，對任意實數(shù)都成立． 2． 如果0<a<b<1，P＝log，Q＝(loga＋logb)，M＝log(a＋b)，那么P，Q，M的大小順序是 (　　) A．P>Q>M B．Q>P>M C．Q>M>P D．M>Q>P 答案　B 解析　因為P＝log，Q＝(loga＋logb)， M＝log(a＋b)，所以只需比較，，的大小，顯然>.又因為<(因為a＋b>，也就是<1)，所以>>，而對數(shù)函數(shù)當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時為減函數(shù)，故Q>P>M. 3． 函數(shù)y＝loga(x＋3)－1 (a>0，且a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mx＋ny＋1＝0上，其中m，n均大于0，則＋的最小值為 (　　) A．2 B．4 C．8 D．16 答案　C 解析　點A(－2，－1)，所以2m＋n＝1. 所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n＝2m，即m＝，n＝時等號成立． 二、填空題(每小題5分，共15分) 4． 若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 答案　18 解析　由x>0，y>0,2x＋y＋6＝xy，得 xy≥2＋6(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時，取“＝”)， 即()2－2－6≥0， ∴(－3)(＋)≥0. 又∵>0，∴≥3，即xy≥18. ∴xy的最小值為18. 5． 已知m、n、s、t∈R＋，m＋n＝2，＋＝9，其中m、n是常數(shù)，且s＋t的最小值是，滿足條件的點(m，n)是圓(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中點，則此弦所在的直線方程為__________． 答案　x＋y－2＝0 解析　因(s＋t)＝m＋n＋＋ ≥m＋n＋2，所以m＋n＋2＝4， 從而mn＝1，得m＝n＝1，即點(1,1)， 而已知圓的圓心為(2,2)，所求弦的斜率為－1， 從而此弦的方程為x＋y－2＝0. 6． 定義“*”是一種運算，對于任意的x，y，都滿足x*y＝axy＋b(x＋y)，其中a，b為正實數(shù)，已知1]　　　　. 答案　1 解析　∵1]∵2a＋3b≥2，∴ab≤. 當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝1時等號成立， 所以當(dāng)a＝1時，ab取最大值. 三、解答題 7． (13分)甲、乙兩地相距s千米，一船由甲地逆水勻速行駛至乙地，水速為常量p(單位：千米/小時)，船在靜水中的最大速度為q千米/小時(q>p)．已知船每小時的燃料費用(單位：元)與船在靜水中的速度v(單位：千米/小時)的平方成正比，比例系數(shù)為k. (1)把全程燃料費用y(單位：元)表示為船在靜水中的速度v的函數(shù)，并求出這個函數(shù)的定義域； (2)為了使全程燃料費用最小，船的實際前進速度應(yīng)為多少？ 解　(1)由題意，知船每小時的燃料費用是kv2，全程航行時間為， 于是全程燃料費用y＝kv2 (p<v≤q)． (2)由(1)，知y＝kv2 ＝ks＝ks[v＋p＋] ＝ks[v－p＋＋2p] ≥ks[2＋2p]＝4ksp(當(dāng)且僅當(dāng)v－p＝，即v＝2p時等號成立)． ①當(dāng)2p∈(p，q]，即2p≤q時，ymin＝4ksp，此時船的前進速度為2p－p＝p； ②當(dāng)2p?(p，q]，即2p>q時，函數(shù)y＝kv2在(p，q]內(nèi)單調(diào)遞減，所以ymin＝ks，此時船的前進速度為q－p. 故為了使全程燃料費用最小，當(dāng)2p≤q時，船的實際前進速度應(yīng)為p千米/小時；當(dāng)2p>q時，船的實際前進速度應(yīng)為(q－p)千米/小時．