2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 .DOC

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2019-2020年高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.2空間幾何體的表面積與體積教案 理 新人教A版 xx高考會這樣考　1.與三視圖相結(jié)合，考查幾何體的表面積、體積；2.作為解答題中的某一問，與空間線面關(guān)系相結(jié)合考查幾何體體積的計(jì)算． 復(fù)習(xí)備考要這樣做　1.熟記公式，理解公式的意義；2.結(jié)合幾何體的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用公式解決一些計(jì)算問題． 1． 柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積 面積 體積 圓柱 S側(cè)＝2πrh V＝Sh＝πr2h 圓錐 S側(cè)＝πrl V＝Sh＝πr2h＝πr2 圓臺 S側(cè)＝π(r1＋r2)l V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h 直棱柱 S側(cè)＝Ch V＝Sh 正棱錐 S側(cè)＝Ch′ V＝Sh 正棱臺 S側(cè)＝(C＋C′)h′ V＝(S上＋S下＋)h 球 S球面＝4πR2 V＝πR3 2 .幾何體的表面積 (1)棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是各面面積之和． (2)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖分別是矩形、扇形、扇環(huán)形；它們的表面積等于側(cè)面積與底面面積之和． [難點(diǎn)正本　疑點(diǎn)清源] 1． 幾何體的側(cè)面積和全面積 幾何體的側(cè)面積是指(各個(gè))側(cè)面面積之和，而全面積是側(cè)面積與所有底面積之和．對側(cè)面積公式的記憶，最好結(jié)合幾何體的側(cè)面展開圖來進(jìn)行．要特別留意根據(jù)幾何體側(cè)面展開圖的平面圖形的特點(diǎn)來求解相關(guān)問題．如直棱柱(圓柱)側(cè)面展開圖是一矩形，則可用矩形面積公式求解．再如圓錐側(cè)面展開圖為扇形，此扇形的特點(diǎn)是半徑為圓錐的母線長，圓弧長等于底面的周長，利用這一點(diǎn)可以求出展開圖扇形的圓心角的大小． 2． 等積法 等積法包括等面積法和等體積法．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高，這一方法回避了具體通過作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值． 1． 圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是________． 答案　4πS 解析　設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r＝， 又側(cè)面展開圖為正方形，∴圓柱的高h(yuǎn)＝2， ∴S圓柱側(cè)＝4πS. 2． 設(shè)某幾何體的三視圖如下(尺寸的長度單位為m)．則該幾何體的體積為________m3. 答案　4 解析　這個(gè)空間幾何體是一個(gè)三棱錐，這個(gè)三棱錐的高為2，底面是一個(gè)一條邊長為4、這條邊上的高為3的等腰三角形，故其體積V＝432＝4. 3． 表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的底面直徑為________． 答案　2 解析　設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r.則πl(wèi)2＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2. 4． 一個(gè)球與一個(gè)正方體的各個(gè)面均相切，正方體的邊長為a，則球的表面積為________． 答案　πa2 解析　由題意知，球的半徑R＝. 所以S球＝4πR2＝πa2. 5. 如圖所示，在棱長為4的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P是A1B1上 一點(diǎn)，且PB1＝A1B1，則多面體P—BB1C1C的體積為________． 答案　 解析　∵四棱錐P—BB1C1C的底面積為16，高PB1＝1， ∴VP—BB1C1C＝161＝. 題型一　空間幾何體的表面積 例1　一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為 (　　) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 思維啟迪：先通過三視圖確定空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，然后再求表面積． 答案　C 解析　由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)面是矩形，寬為4，長為＝.所以S表＝42＋24＋(2＋4)42＋42＝48＋8. 探究提高　(1)以三視圖為載體考查幾何體的表面積，關(guān)鍵是能夠?qū)o出的三視圖進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆治觯瑥娜晥D中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系． (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理． (3)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 一個(gè)幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的表面積是________cm2. 答案　4π＋12 解析　由三視圖知該幾何體為一個(gè)四棱柱、一個(gè)半圓柱和一個(gè)半球的組合體，其中四棱柱上表面與半球重合部分之外的面積為12－π12＝2－，四棱柱中不重合的表面積為2－＋122＋22＋2＝12－，半圓柱中不重合的表面積為2π2＋π＝π，半球的表面積為4π＝2π，所以該幾何體的表面積為4π＋12. 題型二　空間幾何體的體積 例2　如圖所示，已知E、F分別是棱長為a的正方體 ABCD—A1B1C1D1的棱A1A、CC1的中點(diǎn)，求四棱錐C1—B1EDF 的體積． 思維啟迪：思路一：先求出四棱錐C1—B1EDF的高及其底面積，再利用棱錐的體積公式求出其體積； 思路二：先將四棱錐C1—B1EDF化為兩個(gè)三棱錐B1—C1EF與D—C1EF，再求四棱錐C1—B1EDF的體積． 解　方法一　連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過O1作O1H⊥B1D于H.∵EF∥A1C1，且A1C1?平面B1EDF，∴A1C1∥平面B1EDF. ∴C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離． ∵平面B1D1D⊥平面B1EDF， 平面B1D1D∩平面B1EDF＝B1D， ∴O1H⊥平面B1EDF，即O1H為棱錐的高． ∵△B1O1H∽△B1DD1， ∴O1H＝＝a. ∴VC1—B1EDF＝S四邊形B1EDFO1H＝EFB1DO1H＝aaa＝a3. 方法二　連接EF，B1D. 設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1＋h2＝B1D1＝a. 由題意得，VC1—B1EDF＝VB1—C1EF＋VD—C1EF ＝S△C1EF(h1＋h2)＝a3. 探究提高　在求解一些不規(guī)則的幾何體的體積以及兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，常常需要用到分割法．在求一個(gè)幾何體被分成兩部分的體積之比時(shí)，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可用整個(gè)幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積． (xx課標(biāo)全國)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為 (　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由于三棱錐S－ABC與三棱錐O－ABC底面都是△ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐S－ABC的高是三棱錐O－ABC高的2倍， 所以三棱錐S－ABC的體積也是三棱錐O－ABC體積的2倍． 在三棱錐O－ABC中，其棱長都是1，如圖所示， S△ABC＝AB2＝， 高OD＝＝， ∴VS－ABC＝2VO－ABC＝2＝. 題型三　幾何體的展開與折疊問題 例3　(1)如圖所示，在邊長為4的正方形紙片ABCD中，AC與BD相交于O， 剪去△AOB，將剩余部分沿OC、OD折疊，使OA、OB重合，則以A、B、 C、D、O為頂點(diǎn)的四面體的體積為________． (2)有一根長為3π cm，底面直徑為2 cm的圓柱形鐵管，用一段鐵絲在鐵管上纏繞2圈，并使鐵絲的兩個(gè)端點(diǎn)落在圓柱的同一母線的兩端，則鐵絲的最短長度為________ cm. 思維啟迪：(1)考慮折疊后所得幾何體的形狀及數(shù)量關(guān)系；(2)可利用圓柱的側(cè)面展開圖． 答案　(1)　(2)5π 解析　(1)折疊后的四面體如圖所示． OA、OC、OD兩兩相互垂直，且OA＝OC＝OD＝2，體積V＝ S△OCDOA＝(2)3＝. (2)把圓柱側(cè)面及纏繞其上的鐵絲展開，在平面上得到矩形ABCD(如圖)，由題意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，點(diǎn)A與點(diǎn)C分別是鐵絲的起、止位置，故線段AC的長度即為鐵絲的最短長度． AC＝＝5π (cm)， 故鐵絲的最短長度為5π cm. 探究提高　(1)有關(guān)折疊問題，一定要分清折疊前后兩圖形(折前的平面圖形和折疊后的空間圖形)各元素間的位置和數(shù)量關(guān)系，哪些變，哪些不變． (2)研究幾何體表面上兩點(diǎn)的最短距離問題，常選擇恰當(dāng)?shù)哪妇€或棱展開，轉(zhuǎn)化為平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題． 如圖，已知一個(gè)多面體的平面展開圖由一邊長為1的正方形和4個(gè)邊長為1的正三角形組成，則該多面體的體積是________． 答案　 解析　如圖，四棱錐的高 h＝＝， ∴V＝Sh＝1＝. 轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計(jì)算中的應(yīng)用 典例：(12分)如圖，在直棱柱ABC—A′B′C′中，底面是邊長為3的等邊三 角形，AA′＝4，M為AA′的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面 經(jīng)過棱CC′到M的最短路線長為，設(shè)這條最短路線與CC′的交點(diǎn)為 N，求： (1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長； (2)PC與NC的長； (3)三棱錐C—MNP的體積． 審題視角　(1)側(cè)面展開圖從哪里剪開展平；(2)MN＋NP最短在展開圖上呈現(xiàn)怎樣的形式；(3)三棱錐以誰做底好． 規(guī)范解答 解　(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖為一邊長分別為4和9的矩形，故對角線長為＝.[2分] (2)將該三棱柱的側(cè)面沿棱BB′展開，如下圖，設(shè)PC＝x，則MP2＝MA2＋(AC＋x)2. ∵M(jìn)P＝，MA＝2，AC＝3， ∴x＝2，即PC＝2. 又NC∥AM，故＝，即＝. ∴NC＝.[8分] (3)S△PCN＝CPCN＝2＝. 在三棱錐M—PCN中，M到面PCN的距離， 即h＝3＝. ∴VC—MNP＝VM—PCN＝hS△PCN ＝＝.[12分] 溫馨提醒　(1)解決空間幾何體表面上的最值問題的根本思路是“展開”，即將空間幾何體的“面”展開后鋪在一個(gè)平面上，將問題轉(zhuǎn)化為平面上的最值問題． (2)如果已知的空間幾何體是多面體，則根據(jù)問題的具體情況可以將這個(gè)多面體沿多面體中某條棱或者兩個(gè)面的交線展開，把不在一個(gè)平面上的問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上． 如果是圓柱、圓錐則可沿母線展開，把曲面上的問題轉(zhuǎn)化為平面上的問題． (3)本題的易錯(cuò)點(diǎn)是，不知道從哪條側(cè)棱剪開展平，不能正確地畫出側(cè)面展開圖．缺乏空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化意識. 方法與技巧 1．對于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識來解決． 2．要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題． 3．求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解． 4．一些幾何體表面上的最短距離問題，常常利用幾何體的展開圖解決． 失誤與防范 1．幾何體展開、折疊問題，要抓住前后兩個(gè)圖形間的聯(lián)系，找出其中的量的關(guān)系． 2．與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑． A組　專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 (時(shí)間：35分鐘，滿分：57分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． (xx課標(biāo)全國)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為 (　　) A．6 B．9 C．12 D．18 答案　B 解析　結(jié)合三視圖知識求解三棱錐的體積． 由題意知，此幾何體是三棱錐，其高h(yuǎn)＝3，相應(yīng)底面面積為S＝63＝9， ∴V＝Sh＝93＝9. 2. 已知高為3的直棱柱ABC—A′B′C′的底面是邊長為1的正三角形 (如右圖所示)，則三棱錐B′—ABC的體積為 (　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　VB′—ABC＝BB′S△ABC＝312＝. 3． 正六棱柱的高為6，底面邊長為4，則它的全面積為 (　　) A．48(3＋) B．48(3＋2) C．24(＋) D．144 答案　A 解析　S底＝642＝24，S側(cè)＝646＝144， ∴S全＝S側(cè)＋2S底＝144＋48＝48(3＋)． 4． (xx北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是 (　　) A．28＋6 B．30＋6 C．56＋12 D．60＋12 答案　B 解析　根據(jù)幾何體的三視圖畫出其直觀圖，利用直觀圖的圖形特征求其表面積． 由幾何體的三視圖可知，該三棱錐的直觀圖如圖所示， 其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4. ∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE， 則CD⊥平面ABD， 故CD⊥AD， 所以AC＝且S△ACD＝10. 在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2. 在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4， 故S△BCD＝10，且BC＝. 在△ABD中，AE＝4，BD＝5，故S△ABD＝10. 在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝， 則AB邊上的高h(yuǎn)＝6，故S△ABC＝26＝6. 因此，該三棱錐的表面積為S＝30＋6. 二、填空題(每小題5分，共15分) 5． (xx山東)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別 為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 答案　 解析　利用三棱錐的體積公式直接求解． VD1－EDF＝VF－DD1E＝S△D1DEAB＝111＝. 6． (xx天津)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為________m3. 答案　4 解析　此幾何體是兩個(gè)長方體的組合，故V＝211＋112＝4. 7． 已知三棱錐A—BCD的所有棱長都為，則該三棱錐的外接球的表面積為________． 答案　3π 解析　如圖，構(gòu)造正方體ANDM—FBEC.因?yàn)槿忮FA—BCD的所有棱長都為，所以正方體ANDM—FBEC的棱長為1.所以該正方體的外接球的半徑為. 易知三棱錐A—BCD的外接球就是正方體ANDM—FBEC的外接球，所以三棱錐A—BCD的外接球的半徑為.所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為S球＝4π2＝3π. 三、解答題(共22分) 8． (10分)如圖所示，在邊長為5＋的正方形ABCD中，以A為圓心 畫一個(gè)扇形，以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓，M，N，K為切點(diǎn)，以扇形為 圓錐的側(cè)面，以圓O為圓錐底面，圍成一個(gè)圓錐，求圓錐的全面積 與體積． 解　設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r，高為h， 由已知條件， 解得r＝，l＝4，S＝πrl＋πr2＝10π， h＝＝，V＝πr2h＝2π. 9． (12分)如圖，已知某幾何體的三視圖如下(單位：cm)． (1)畫出這個(gè)幾何體的直觀圖(不要求寫畫法)； (2)求這個(gè)幾何體的表面積及體積． 解　(1)這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示． (2)這個(gè)幾何體可看成是正方體AC1及直三棱柱B1C1Q—A1D1P的組合體． 由PA1＝PD1＝， A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1. 故所求幾何體的表面積 S＝522＋22＋2()2 ＝22＋4(cm2)， 體積V＝23＋()22＝10(cm3)． B組　專項(xiàng)能力提升 (時(shí)間：25分鐘，滿分：43分) 一、選擇題(每小題5分，共15分) 1． 某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個(gè)半圓，則該幾何體的表面積為 (　　) A.π B．π＋ C.π＋ D.π＋ 答案　C 解析　由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐，底面半徑為1，高為，∴表面積S＝2＋π12＋π12＝＋. 2． 在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為梯形，AB∥CD,2AB＝3CD，M為AE的中點(diǎn)，設(shè)E—ABCD的體積為V，那么三棱錐M—EBC的體積為 (　　) A.V B.V C.V D.V 答案　D 解析　設(shè)點(diǎn)B到平面EMC的距離為h1，點(diǎn)D到平面EMC的距離為h2. 連接MD. 因?yàn)镸是AE的中點(diǎn)， 所以VM—ABCD＝V. 所以VE—MBC＝V－VE—MDC. 而VE—MBC＝VB—EMC，VE—MDC＝VD—EMC， 所以＝＝. 因?yàn)锽，D到平面EMC的距離即為到平面EAC的距離，而AB∥CD，且2AB＝3CD，所以＝. 所以VE—MBC＝VM－EBC＝V. 3． (xx遼寧)已知球的直徑SC＝4，A、B是該球球面上的兩點(diǎn)，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30，則棱錐S－ABC的體積為 (　　) A．3 B．2 C. D．1 答案　C 解析　由題意知，如圖所示，在棱錐S－ABC中，△SAC，△SBC都是有一個(gè)角為30的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D點(diǎn)，連接AD，易證SC⊥平面ABD，因此V＝()24＝. 二、填空題(每小題5分，共15分) 4. 如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2 cm，高為5 cm，則 一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線 的長為______ cm. 答案　13 解析　根據(jù)題意，利用分割法將原三棱柱分割為兩個(gè)相同的三棱柱，然后 將其展開為如圖所示的實(shí)線部分，則可知所求最短路線的長為＝13 cm. 5． 已知一個(gè)幾何體是由上、下兩部分構(gòu)成的組合體，其三視圖如圖所示， 若圖中圓的半徑為1，等腰三角形的腰長為，則該幾何體的體積是 ________． 答案　π 解析　這個(gè)幾何體是由一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐和一個(gè)半徑為1的半球組成的幾何體，故其體積為π122＋π13＝π. 6． (xx上海)如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC＝ 2.若AD＝2c，且AB＋BD＝AC＋CD＝2a，其中a、c為常數(shù)，則四面 體ABCD的體積的最大值是________． 答案　c 解析　利用橢圓的定義及割補(bǔ)法求體積． ∵AB＋BD＝AC＋CD＝2a>2c＝AD， ∴B、C都在以AD的中點(diǎn)O為中心，以A、D為焦點(diǎn)的兩個(gè)橢圓上， ∴B、C兩點(diǎn)在橢圓兩短軸端點(diǎn)時(shí)，到AD距離最大，均為， 此時(shí)△BOC為等腰三角形，且AD⊥OC，AD⊥OB， ∴AD⊥平面OBC.取BC的中點(diǎn)E，顯然OE⊥BC， OEmax＝， ∴(S△BOC)max＝2＝. ∴VD－ABC＝VD－OBC＋VA－OBC ＝ODS△OBC＋OAS△OBC ＝(OD＋OA)S△OBC ＝2c ＝c. 三、解答題 7． (13分)如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D—ABC，如圖2所示． 　圖1　　　　 　圖2 (1)求證：BC⊥平面ACD； (2)求幾何體D—ABC的體積． (1)證明　在圖中，可得AC＝BC＝2， 從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC. 又平面ADC⊥平面ABC， 平面ADC∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC， ∴BC⊥平面ACD. (2)解　由(1)可知BC為三棱錐B—ACD的高， BC＝2，S△ACD＝2， ∴VB—ACD＝S△ACDBC＝22＝， 由等體積性可知，幾何體D—ABC的體積為.