2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學(xué)案 新人教A版必修3.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學(xué)案 新人教A版必修3.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第一章 算法初步 1.1 算法與程序框圖 1.1.1 算法的概念教學(xué)案 新人教A版必修3
預(yù)習(xí)課本P2~5,思考并完成以下問(wèn)題
(1)利用加減消元法求解一般的二元一次方程組的步驟有哪些?
(2)在數(shù)學(xué)中算法是如何定義的?
(3)算法的特征是什么?
(4)解決一類問(wèn)題的算法是唯一的嗎?是不是任何一個(gè)算法都有明確的結(jié)果?
1.算法的概念
在數(shù)學(xué)中,算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問(wèn)題的明確和有限的步驟.
現(xiàn)在,算法通??梢跃幊捎?jì)算機(jī)程序,讓計(jì)算機(jī)執(zhí)行并解決問(wèn)題.
2.算法的特征
(1)確定性:算法中每一步都是確定的,并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果.
(2)有限性:一個(gè)算法的步驟是有限的,不能無(wú)限地進(jìn)行下去,它能在有限步的操作后解決問(wèn)題.
(3)有序性:算法從初始步驟開(kāi)始,分為若干明確的步驟,每個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟,前一步是后一步的前提,只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步.
(4)不唯一性:解決一個(gè)問(wèn)題可以有多種不同的算法.
(5)普遍性:給出一個(gè)算法的程序步驟,它可以解決一類問(wèn)題,并且能夠多次重復(fù)使用.
1.判斷下列命題是否正確.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“”)
(1)求解一類問(wèn)題的算法是唯一的( )
(2)算法必須在有限步驟操作之后解決問(wèn)題( )
(3)算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果( )
解析:由算法具有有限性、確定性和不唯一性可知(1)錯(cuò),(2)、(3)對(duì).
答案:(1) (2)√ (3)√
2.下列敘述不能稱為算法的是( )
A.從北京到上海先乘汽車到飛機(jī)場(chǎng),再乘飛機(jī)到上海
B.解方程4x+1=0的過(guò)程是先移項(xiàng)再把x的系數(shù)化成1
C.利用公式S=πr2計(jì)算半徑為2的圓的面積得π22
D.解方程x2-2x+1=0
解析:選D 選項(xiàng)A,B給出了解決問(wèn)題的方法和步驟,是算法;選項(xiàng)C是利用公式計(jì)算,也屬于算法;選項(xiàng)D只提出問(wèn)題沒(méi)有給出解決的方法,不是算法.
3.下面是某人出家門先打車去火車站,再坐火車去北京的一個(gè)算法,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
第一步,出家門.
第二步,________________.
第三步,坐火車去北京.
答案:打車去火車站
算法概念的理解
[典例] 下列說(shuō)法正確的是( )
A.算法就是某個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程
B.算法執(zhí)行后可以產(chǎn)生不同的結(jié)果
C.解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同,則結(jié)果不同
D.算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大,否則無(wú)法實(shí)施
[解析] 選項(xiàng)B正確,例如:判斷一個(gè)整數(shù)是否為偶數(shù),結(jié)果為“是偶數(shù)”和“不是偶數(shù)”兩種;選項(xiàng)A,算法不能等同于解法;選項(xiàng)C,解決某一個(gè)具體問(wèn)題算法不同,但結(jié)果應(yīng)相同;選項(xiàng)D,算法可以為很多次,但不可以無(wú)限次.
[答案] B
算法實(shí)際上是解決問(wèn)題的一種程序性方法,它通常解決某一個(gè)或一類問(wèn)題,用算法解決問(wèn)題,體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.
[活學(xué)活用]
有人對(duì)哥德巴赫猜想“任何大于4的偶數(shù)都能寫成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”設(shè)計(jì)了如下操作步驟:
第一步,檢驗(yàn)6=3+3.
第二步,檢驗(yàn)8=3+5.
第三步,檢驗(yàn)10=5+5.
……
利用計(jì)算機(jī)一直進(jìn)行下去!
請(qǐng)問(wèn):利用這種步驟能夠證明猜想的正確性嗎?這是一個(gè)算法嗎?
解:利用這種步驟不能證明猜想的正確性.此步驟不滿足算法的有限性,因此不是算法.
算法的設(shè)計(jì)
[典例] 寫出求1+2+3+4+5+6的一個(gè)算法.
[解] 法一:第一步,計(jì)算1+2得到3.
第二步,將第一步中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加得到6.
第三步,將第二步中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加得到10.
第四步,將第三步中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加得到15.
第五步,將第四步中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加得到21.
法二:第一步,將原式變形為(1+6)+(2+5)+(3+4)=37.
第二步,計(jì)算37.
設(shè)計(jì)具體問(wèn)題的算法的一般步驟
(1)分析問(wèn)題,找出解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法;
(2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述;
(3)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟;
(4)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將這個(gè)步驟表示出來(lái).
[活學(xué)活用]
1.求1357911的值的一個(gè)算法如下,請(qǐng)補(bǔ)充完整.
第一步,求13得結(jié)果3.
第二步,將第一步所得結(jié)果3乘以5,得到結(jié)果15.
第三步,_________________________________________________________________.
第四步,再將第三步所得結(jié)果105乘以9,得到結(jié)果945.
第五步,再將第四步所得結(jié)果945乘以11,得到結(jié)果10 395,即為最后結(jié)果.
解析:依據(jù)算法功能可知,第三步應(yīng)為“再將第二步所得結(jié)果15乘以7,得到結(jié)果105”.
答案:再將第二步所得結(jié)果15乘以7,得到結(jié)果105
2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個(gè)算法.
解:法一:第一步,移項(xiàng)得x2-2x=3.①
第二步,①式兩邊同時(shí)加1,并配方得(x-1)2=4.②
第三步,②式兩邊開(kāi)方,得x-1=2.③
第四步,解③式得x1=3,x2=-1.
法二:第一步,計(jì)算出一元二次方程的判別式的值,并判斷其符號(hào).顯然Δ=(-2)2-41(-3)=16>0.
第二步,將a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x1,2=,得x1=3,x2=-1.
[層級(jí)一 學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)]
1.下列關(guān)于算法的說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)有( )
①求解某一類問(wèn)題的算法是唯一的;②算法必須在有限步驟操作之后停止;③x2-x>2是一個(gè)算法;④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果.
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B 依據(jù)算法的多樣性(不唯一性)知①錯(cuò)誤;由算法的有限性,確定性知②④正確;因?yàn)閤2-x>2僅僅是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,不能表達(dá)一個(gè)算法,所以③是錯(cuò)誤的;由于算法具有可執(zhí)行性,正確的有②④.
2.已知直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a,b,求斜邊長(zhǎng)c的一個(gè)算法分下列三步:( )
①計(jì)算c=;②輸入直角三角形兩直角邊長(zhǎng)a,b的值;③輸出斜邊長(zhǎng)c的值.其中正確的順序是( )
A.①②③ B.②③①
C.①③② D.②①③
解析:選D 明確各步驟間的關(guān)系即可知D選項(xiàng)正確.
3.下列敘述中,
①植樹(shù)需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;
②按順序進(jìn)行下列運(yùn)算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…99+1=100;
③從青島乘火車到濟(jì)南,再?gòu)臐?jì)南乘飛機(jī)到廣州;
④3x>x+1;
⑤求所有能被3整除的正數(shù),即3,6,9,12,….
能稱為算法的個(gè)數(shù)為( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:選B 根據(jù)算法的含義和特征知:①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④,3x>x+1不是一個(gè)明確的步驟,不符合確定性;⑤的步驟是無(wú)窮的,與算法的有限性矛盾.
4.下列所給問(wèn)題中,不能設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解的是( )
A.用“二分法”求方程x2-3=0的近似解(精確度0.01)
B.解方程組
C.求半徑為2的球的體積
D.求S=1+2+3+…的值
解析:選D 對(duì)于D,S=1+2+3+…,不知道需要多少步完成,所以不能設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解.
[層級(jí)二 應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)]
1.一個(gè)廠家生產(chǎn)商品的數(shù)量按照每年比前一年都增加18%的比率遞增,若第一年的產(chǎn)量為a,“計(jì)算第n年的產(chǎn)量”的算法中用到的一個(gè)函數(shù)解析式是( )
A.y=an0.18 B.y=a(1+18%)n
C.y=a(1+18%)n-1 D.y=n(1+18%)n
解析:選C 根據(jù)已知條件可以得出滿足題意的函數(shù)解析式為y=a(1+18%)n-1.
2.如下算法:
第一步,輸入x的值.
第二步,若x≥0,則y=x.
第三步,否則,y=x2.
第四步,輸出y的值.
若輸出的y值為9,則x的值是( )
A.3 B.-3
C.3或-3 D.-3或9
解析:選D 根據(jù)題意可知,此為分段函數(shù)
y=的算法,
當(dāng)x≥0時(shí),x=9;
當(dāng)x<0時(shí),x2=9,所以x=-3.
綜上所述,x的值是-3或9.
3.對(duì)于算法:
第一步,輸入n.
第二步,判斷n是否等于2,若n=2,則n滿足條件;若n>2,則執(zhí)行第三步.
第三步,依次從2到(n-1)檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨,若不能整除n,則執(zhí)行第四步;若能整除n,則結(jié)束算法.
第四步,輸出n.
滿足條件的n是( )
A.質(zhì)數(shù) B.奇數(shù)
C.偶數(shù) D.約數(shù)
解析:選A 此題首先要理解質(zhì)數(shù),只能被1和自身整除的大于1的整數(shù)叫質(zhì)數(shù).2是最小的質(zhì)數(shù),這個(gè)算法通過(guò)對(duì)2到(n-1)一一驗(yàn)證,看是否有其他約數(shù),來(lái)判斷其是否為質(zhì)數(shù).
4.早上從起床到出門需要洗臉?biāo)⒀?5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽(tīng)廣播(8 min)幾個(gè)過(guò)程.從下列選項(xiàng)中選出最好的一種算法( )
A.第一步,洗臉?biāo)⒀溃诙?,刷水壺.第三步,燒水.第四步,泡面.第五步,吃飯.第六步,?tīng)廣播
B.第一步,刷水壺.第二步,燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谌剑菝妫谒牟?,吃飯.第五步,?tīng)廣播
C.第一步,刷水壺.第二步,燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谌?,泡面.第四步,吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播
D.第一步,吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播.第二步,泡面.第三步,燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃谒牟?,刷水?
解析:選C 因?yàn)锳選項(xiàng)共用時(shí)間36 min,B選項(xiàng)共用時(shí)間31 min,C選項(xiàng)共用時(shí)間23 min,D選項(xiàng)的算法步驟不符合常理,故選C.
5.以下是解二元一次方程組的一個(gè)算法,請(qǐng)將該算法補(bǔ)充完整.
第一步,①②兩式相加得3x+9=0. ?、?
第二步,由③式可得________. ④
第三步,將④式代入①式,得y=0.
第四步,輸出方程組的解________.
解析:由3x+9=0,得x=-3,即④處應(yīng)填x=-3;把x=-3代入2x-y+6=0,得y=0,即方程組的解為
答案:x=-3
6.已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9,數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?6,外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9,求他的總分和平均成績(jī)的一個(gè)算法為:
第一步,輸入A=89,B=96,C=99.
第二步,__________________________.
第三步,__________________________.
第四步,輸出計(jì)算的結(jié)果.
解析:應(yīng)先計(jì)算總分D=A+B+C,然后再計(jì)算平均成績(jī)E=.
答案:計(jì)算總分D=A+B+C 計(jì)算平均成績(jī)E=
7.使用配方法解方程x2-4x+3=0的算法的步驟是________(填序號(hào)).
①配方得(x-2)2=1;
②移項(xiàng)得x2-4x=-3;
③解得x=1或x=3;
④開(kāi)方得x-2=1.
解析:使用配方法的步驟應(yīng)按移項(xiàng)、配方、開(kāi)方、得解的順序進(jìn)行.
答案:②①④③
8.對(duì)任意三個(gè)整數(shù)a,b,c,寫出求最大數(shù)的算法.
解:算法如下:
第一步,令max=a.
第二步,比較max與b的大小,若b>max,則令max=b;否則,執(zhí)行第三步.
第三步,比較max與c的大小,若c>max,則令max=c;否則,執(zhí)行第四步.
第四步,max就是a,b,c中的最大數(shù).
9.已知直線l1:3x-y+12=0和直線l2:3x+2y-6=0,設(shè)計(jì)一個(gè)算法,求l1和l2及y軸所圍成的三角形的面積.
解:算法如下:
第一步,解方程組得l1,l2的交點(diǎn)為P(-2,6).
第二步,在方程3x-y+12=0中,令x=0,得y=12,從而得到l1與y軸的交點(diǎn)為A(0,12).
第三步,在方程3x+2y-6=0中,令x=0,得y=3,從而得到l2與y軸的交點(diǎn)為B(0,3).
第四步,求出△ABP的邊長(zhǎng)AB=12-3=9.
第五步,求出△ABP的邊AB上的高h(yuǎn)=2.
第六步,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算S=ABh=92=9.
第七步,輸出S.