2019-2020年高中數學備課資料 3.2 奇偶性 新人教A版必修1.doc

2019-2020年高中數學備課資料 3.2 奇偶性 新人教A版必修1 (1)奇偶函數的定義域關于原點對稱；奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱. (2)奇偶性是函數的整體性質，對定義域內任意一個x都必須成立. (3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函數，f(-x)=-f(x)f(x)是奇函數. (4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0. (5)兩個奇函數的和(差)仍是奇函數，兩個偶函數的和(差)仍是偶函數. 奇偶性相同的兩個函數的積(商、分母不為零)為偶函數，奇偶性相反的兩個函數的積(商、分母不為零)為奇函數；如果函數y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同，那么復合函數y=f［g(x)］是偶函數，如果函數y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反，那么復合函數y=f［g(x)］是奇函數，簡稱為“同偶異奇”. (6)如果函數y=f(x)是奇函數，那么f(x)在區(qū)間(a,b)和(-b,-a)上具有相同的單調性；如果函數y=f(x)是偶函數，那么f(x)在區(qū)間(a,b)和(-b,-a)上具有相反的單調性. (7)定義域關于原點對稱的任意函數f(x)可以表示成一個奇函數與一個偶函數的和，即 f(x)=. (8)若f(x)是(-a,a)(a＞0)上的奇函數，則f(0)＝0； 若函數f(x)是偶函數，則f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|). 若函數y=f(x)既是奇函數又是偶函數，則有f(x)=0. 本章復習 整體設計 教學分析 本節(jié)課是對第一章的基本知識和方法的總結與歸納，從整體上來把握本章，使學生的基本知識系統(tǒng)化和網絡化，基本方法條理化.本章三部分內容是獨立的，但是又相互聯系，集合是基礎，用集合定義函數，將函數拓展為映射，層層深入，環(huán)環(huán)相扣，組成了一個完整的整體. 三維目標 通過總結和歸納集合與函數的知識，能夠使學生綜合運用知識解決有關問題，培養(yǎng)學生分析、探究和思考問題的能力，激發(fā)學生學習數學的興趣，培養(yǎng)分類討論的思想和抽象思維能力. 重點難點 教學重點：①集合與函數的基本知識. ②含有字母問題的研究. ③抽象函數的理解. 教學難點：①分類討論的標準劃分. ②抽象函數的理解. 課時安排 1課時 教學過程 導入新課 思路1.建設高樓大廈的過程中，每建一層，都有質量檢查人員驗收，合格后，再繼續(xù)建上一層，否則返工重建.我們學習知識也是這樣，每學完一個章節(jié)都要總結復習，引出課題. 思路2.為了系統(tǒng)掌握第一章的知識，教師直接點出課題. 推進新課 新知探究 提出問題 ①第一節(jié)是集合，分為幾部分？ ②第二節(jié)是函數，分為幾部分？ ③第三節(jié)是函數的基本性質，分為幾部分？ ④畫出本章的知識結構圖. 活動：讓學生自己回顧所學知識或結合課本，重新對知識整合，對沒有思路的學生，教師可以提示按課本的章節(jié)標題來分類.對于畫知識結構圖，學生可能比較陌生，教師可以引導學生先畫一個本班班委的結構圖或學校各個處室的關系結構圖，待學生了解了簡單的畫法后，再畫本章的知識結構圖. 討論結果:①分為：集合的含義、集合間的基本關系和集合的運算三部分. ②分為：定義、定義域、解析式、值域四部分；其中又把函數的概念拓展為映射. ③分為：單調性、最值和奇偶性三部分. ④第一章的知識結構圖如圖1-1所示， 圖1-1 應用示例 思路1 例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，則必有( ) A.P∩Q= B.PQ C.P=Q D.PQ 分析：從選項來看，本題是判斷集合P,Q的關系，其關鍵是對集合P,Q的意義的理解.集合P是函數y=x2的定義域，則集合P是數集，集合Q是函數y=x2的圖象上的點組成的集合，則集合Q是點集，∴P∩Q=. 答案：A 點評：判斷用描述法表示的集合間關系時，一定要搞清兩集合的含義，明確集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是數集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是點集，數集和點集的交集是空集. 變式訓練 1.xx山東威海一模，文1設集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，則下列關系中正確的是( ) A.M=P B.PM C.MP D.M∩P=R 分析：P={3}，∵3>1,∴3∈M.∴PM. 答案：B 2.xx河南周口高三期末調研，理6定義集合A與B的運算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},則(A*B)*A等于( ) A.A∩B B.A∪B C.A D.B 分析：設A={1,2,3,4},B={1,2,5,6,7},則A*B={3,4,5,6,7}，于是(A*B)*A={1,2,5,6,7}=B. 答案：D 點評：解決新定義集合運算問題的關鍵是抓住新運算定義的本質，本題A*B的本質就是集合A與B的并集中除去它們公共元素組成的集合. 例2求函數y=x2+1的最小值. 分析：思路一:利用實數運算的性質x2≥0，結合不等式的性質得函數的最小值； 思路二:直接利用二次函數的最值公式，寫出此函數的最小值. 解：方法一（觀察法）∵函數y=x2+1的定義域是R, ∴觀察到x2≥0.∴x2+1≥1.∴函數y=x2+1的最小值是1. 方法二:（公式法）函數y=x2+1是二次函數，其定義域是x∈R，則函數y=x2+1的最小值是f(0)=1. 點評：求函數最值的方法： 觀察法：當函數的解析式中僅含有x2或|x|或時，通常利用常見的結論x2≥0,|x|≥0,≥0等，直接觀察寫出函數的最值； 公式法：求基本初等函數（正、反比例函數，一次、二次函數）的最值時，應用基本初等函數的最值結論（看成最值公式），直接寫出其最值. 例3求函數y=的最大值和最小值. 分析：把變量y看成常數，則函數的解析式可以整理成必有實數根的關于x的方程，利用判別式的符號得關于y的不等式，解不等式得y的取值范圍，從而得函數的最值. 解：（判別式法）由y=得yx2-3x+4y=0， ∵x∈R，∴ 關于x的方程yx2-3x+4y=0必有實數根. 當y=0時，則x=0.故y=0是一個函數值； 當y≠0時，則關于x的方程yx2-3x+4y=0是一元二次方程, 則有Δ=(-3)2-44y2≥0. ∴0<y2≤.∴≤y<0或0<y≤. 綜上所得，≤y≤. ∴ 函數y=的最小值是，最大值是. 點評：形如函數y=(d≠0)，當函數的定義域是R（此時e2-4df<0）時，常用判別式法求最值，其步驟是①把y看成常數，將函數解析式整理為關于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分類討論m＝0是否符合題意；③當m≠0時，關于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，則此一元二次方程必有實數根，得n2-4mk≥0即關于y的不等式，解不等式組此不等式組的解集與②中y的值取并集得函數的值域，從而得函數的最大值和最小值. 例4xx河南開封一模，文10函數f(x)=x2-2ax+a在區(qū)間（-∞，1）上有最小值，則函數g(x)=在區(qū)間（1，+∞）上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是減函數 D.是增函數 分析：函數f(x)=x2-2ax+a的對稱軸是直線x=a，由于函數f(x)在開區(qū)間（-∞，1）上有最小值，所以直線x=a位于區(qū)間（-∞，1）內，即a<1.g(x)＝=，下面用定義法判斷函數g(x)在區(qū)間（1，+∞）上的單調性. 設1<x1<x2，則g(x1)-g(x2)=(x1+-2)-(x2+-2) =(x1-x2)+()=(x1-x2)(1)=(x1-x2). ∵1<x1<x2，∴x1-x2<0，x1x2>1>0. 又∵a<1，∴x1x2>a.∴x1x2-a>0.∴g(x1)-g(x2)<0.∴g(x1)<g(x2). ∴函數g(x)在區(qū)間（1，+∞）上是增函數，函數g(x)在區(qū)間（1，+∞）上沒有最值. 答案：D 點評：定義法判斷函數f(x)的單調性的步驟是①在所給區(qū)間上任取兩個變量x1、x2；②比較f(x1)與f(x2)的大小，通常利用作差比較它們的大小，先作差，后將差變形，變形的手段是通分、分解因式，變形的結果常是完全平方加上一個常數或因式的積（商）等；③由②中差的符號確定函數的單調性.注意：函數f(x)在開區(qū)間D上是單調函數，則f(x)在開區(qū)間D上沒有最大值，也沒有最小值. 變式訓練 求函數f(x)=的單調區(qū)間. 分析：函數f(x)是復合函數，利用口訣“同增異減”來求單調區(qū)間. 解：函數的定義域是(-∞,-1］∪［1,+∞).設y=，u=x2-1， 當x≥0時，u=x2-1是增函數，y=也是增函數， 又∵函數的定義域是(-∞,-1］∪［1,+∞)， ∴函數f(x)=在［1,+∞)上是增函數. 當x≤0時，u=x2-1是減函數，y=也是增函數， 又∵函數的定義域是(-∞,-1］∪［1,+∞)， ∴函數f(x)=在(-∞,-1］上是減函數, 即函數f(x)的單調遞增區(qū)間是［1,+∞)，單調遞減區(qū)間是(-∞,-1］. 點評：復合函數是指由若干個函數復合而成的函數，它的單調性與構成它的函數的單調性有密切聯系，其單調性的規(guī)律為：“同增異減”，即復合函數y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)有相同的單調性時，函數y=f［g(x)］為增函數，如果具有相異（即相反）的單調性，則函數y=f［g(x)］為減函數.討論復合函數單調性的步驟是：①求復合函數的定義域；②把復合函數分解成若干個常見的基本初等函數并判斷其單調性；③依據復合函數的單調性規(guī)律口訣：“同增異減”，判斷或寫出函數的單調性或單調區(qū)間. 注意：本題如果忽視函數的定義域，會錯誤地得到單調遞增區(qū)間是［0,+∞)，單調遞減區(qū)間是(-∞,0］.其避免方法是討論函數的性質要遵守定義域優(yōu)先的原則. 思路2 例1集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，則實數m＝________. 分析：集合B是關于x的方程mx-1=0的解集，∵BA，∴B=或B≠. 當B=時，關于x的方程mx-1=0無解，則m=0； 當B≠時，x=∈A，則有()2-4=0，即4m2+3m-1=0.解得m=-1,. 答案：-1,0, 黑色陷阱：本題任意忽視B=的情況，導致出現錯誤m=-1,.避免此類錯誤的方法是考慮問題要全面，要注意空集是任何集合的子集. 變式訓練 已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求實數p的取值范圍. 分析：理解集合A是不等式組的解集是關鍵，又A∩B=B說明了BA，包含=和B≠兩種情況，故要分類討論解決問題. 解：A={x|-2≤x≤5}，∵A∩B=B，∴BA.∴B=或B≠. 當B=時，p+1>2p-1，解得p<2. 當B≠時，則有解得2≤p≤3. 綜上所得實數p的取值范圍是p<2或2≤p≤3,即(-∞,3］. 點評：本題是已知集合運算的結果，求參數的值，解決此類問題的關鍵是依據集合運算的含義，觀察明確各集合中的元素，要注意集合元素的互異性在解決含參數集合問題中的作用；空集是一個特殊的集合，是任何集合的子集，求解有關集合間的關系問題時一定要首先考慮空集； 要重視常見結論A∩B=BA∪B=ABA的應用，此時通常要分類討論解決集合問題，分類討論時要考慮全面，做到不重不漏. 例2求函數y=|x+2|-|x-2|的最小值. 分析：思路一:畫出函數的圖象，利用函數最小值的幾何意義，寫出函數的最小值； 思路二:利用絕對值的幾何意義，轉化為數軸上的幾何問題：數軸上到2兩點的距離和的最小值. 解：方法一（圖象法）:y=|x+2|-|x-2|=-4,2x,4, x≤-2,-2<x<2, x≥2.其圖象如圖1-2所示: 圖1-2 由圖象,得函數的最小值是-4，最大值是4. 方法二（數形結合）:函數的解析式y(tǒng)=|x+2|-|x-2|的幾何意義是：y是數軸上任意一點P到2的對應點A、B的距離的差，即y=|PA|-|PB|,如圖1-3所示， 圖1-3 觀察數軸,可得-|AB|≤|PA|-|PB|≤|AB|，即函數y=|x+2|-|x-2|有最小值-4，最大值4. 點評：求函數最值的方法： 圖象法：如果能夠畫出函數的圖象，那么可以依據函數最值的幾何意義，借助圖象寫出最值.其步驟是①畫函數的圖象；②觀察函數的圖象，找出圖象的最高點和最低點，并確定它們的縱坐標；③由最高點和最低點的縱坐標寫出函數的最值. 數形結合：如果函數的解析式含有絕對值或根號，那么能將函數的解析式賦予幾何意義,結合圖形利用其幾何意義求最值.其步驟是：①對函數的解析式賦予幾何意義；②將函數的最值轉化為幾何問題；③應用幾何知識求最值. 例3求函數y=x+,x∈［1,3］的最大值和最小值. 分析：利用函數的單調性來求得函數的最值.轉化為討論函數的單調性. 解：可以證明當x∈［1,2］時，函數y=x+是減函數， 此時函數的最大值是f(1)=5，最小值是f(2)=4. 可以證明當x∈［2,3］時，函數y=x+是增函數， 此時函數的最大值是f(3)=，最小值是f(2)=4. 綜上所得，函數y=x+,x∈［1,3］的最大值為5，最小值為4. 點評：如果能夠確定函數的單調性，那么可以利用函數的單調性求函數最值，這種方法稱為單調法，主要應用以下結論：函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上是減函數，在區(qū)間［b,c］上是增函數，那么函數y=f(x)在區(qū)間［a,c］上的最大值是f(a)與f(c)的最大值，最小值是f(b)；函數y=f(x)在區(qū)間［a,b］上是增函數，在區(qū)間［b,c］上是減函數，那么函數y=f(x)在區(qū)間［a,c］上的最小值是f(a)與f(c)的最大值，最大值是f(b).單調法求函數最值的難點是確定函數的單調區(qū)間，借助于函數的圖象，常用單調性的定義來判斷，還要靠經驗的積累. 例4求函數y=x4+2x2-2的最小值. 解：函數的定義域是R，設x2=t，則t≥0. 則y=t2+2t-2=(t+1)2-3,t≥0， 則當t=0時，y取最小值-2， 所以函數y=x4+2x2-2的最小值為-2. 點評：求形如函數y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+(ab≠0)的最值時，常用設xm=t或=t，利用換元法轉化為求二次函數等常見函數的最值問題，這種求最值的方法稱為換元法.此時要注意換元后函數的定義域. 例5xx江西金太陽全國第二次大聯考，理22定義在(-1，1)上的函數f(x)滿足：對任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f(). (1) 求證：函數f(x)是奇函數； (2) 若當x∈(-1，0)時，有f(x)>0，求證：f(x)在(-1，1)上是減函數. 分析：（1）定義法證明，利用賦值法獲得f(0)的值進而取x=-y是解題關鍵；（2）定義法證明，其中判定的范圍是關鍵. 解： (1)函數f(x)的定義域是(-1，1)， 由f(x)+f(y)=f()，令x=y=0,得f(0)+f(0)=f()，∴f(0)=0. 令y=-x,得f(x)+f(-x)=f()=f(0)=0, ∴f(-x)=-f(x). ∴f(x)為奇函數. (2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減，令0<x1<x2<1,則 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f()＝f(). ∵0<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1-x1x2>0，∴>0. 又(x2-x1)-(1-x1x2)=(x2-1)(x1+1)<0， ∴0＜x2-x1<1-x1x2. ∴-1<<0.由題意知f()＞0， ∴f(x1)＞f(x2). ∴f(x)在(0，1)上為減函數， 又f(x)為奇函數， ∴f(x)在(-1，1)上也是減函數. 點評：對于抽象函數的單調性和奇偶性問題時，必用單調性和奇偶性的定義來解決，即定義法是解決抽象函數單調性和奇偶性問題的通法；判斷抽象函數的奇偶性與單調性時，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性， 知能訓練 1.xx陜西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},則P∩Q等于( ) A.{1,2,3} B.{2,3} C.{1,2} D.{2} 分析：明確集合P、Q的運算，依據交集的定義求P={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，Q={-3,2},則P∩Q＝{2}. 答案：D 點評：解決本題關鍵是集合P是大于等于1且小于等于10的自然數組成的集合，集合Q是方程x2+x-6=0的解集，將這兩個集合化簡后再運算. 2.xx安徽高考，文1設全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，則(S∪T)等于( ) A. B.{2,4,7,8} C.{1,3,5,6} D.{2,4,6,8} 分析：直接觀察（或畫出Venn圖）得S∪T={1,3,5,6}，則(S∪T)＝{2,4,7,8}. 答案：B 點評：求解用列舉法表示的數集運算時，首先看清集合元素的特征，理解并確定集合中的元素，最后通過觀察或借助于數軸、Venn圖寫出運算結果. 3.已知二次函數f（x）滿足條件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x. （1）求f（x）； （2）求f（x）在區(qū)間［-1，1］上的最大值和最小值. 分析：（1）由于已知f（x）是二次函數，用待定系數法求f（x）；（2）結合二次函數的圖象，寫出最值. 解：（1）設f（x）＝ax2＋bx＋c， 由f（0）＝1，可知c＝1. 而f（x＋1）-f（x）＝［a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c］-（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b. 由f（x＋1）-f（x）＝2x，可得2a＝2，a＋b＝0. 因而a＝1，b＝-1. 故f（x）＝x2-x＋1. （2）∵f(x)=x2-x+1=(x-)2+， ∴當x∈[-1，1]時，f（x）的最小值是f()=，f（x）的最大值是f（-1）＝3. 拓展提升 問題：某人定制了一批地磚.每塊地磚 (如圖14所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖15所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH. (1) 求證：四邊形EFGH是正方形； (2) E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最?。? 圖1-4圖1-5 思路分析：（1）由于四塊地磚拼出了四邊形EFGH，只需證明△CFE、△CFG、△CGH、△CEH為等腰直角三角形即可；（2）建立數學模型，轉化為數學問題.設CE=x，每塊地磚的費用為W，求出函數W=f(x)的解析式，轉化為討論求函數的最小值問題. 解：(1)圖1-5可以看成是由四塊如圖1-4所示地磚繞點C按順時針旋轉90后得到，則有CE=CF，∠ECF=90, ∴△CFE為等腰直角三角形， 同理可得△CFG、△CGH、△CEH為等腰直角三角形. ∴ 四邊形EFGH是正方形. (2)設CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為W，設制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)， W=x23a+0.4(0.4-x)2a+［0.16-x2-0.4(0.4-x)］a =a(x2-0.2x+0.24) =a［(x-0.1)2+0.23］(0<x<0.4). 由于a>0，則當x=0.1時，W有最小值，即總費用為最省. 即當CE=CF=0.1米時，總費用最省. 課堂小結 本節(jié)課學習了：總結了第一章的基本知識并形成知識網絡，歸納了常見的解題方法. 作業(yè) 復習參考題任選兩題. 設計感想 本節(jié)在設計過程中，注重了兩點：一是體現學生的主體地位，注重引導學生思考，讓學生學會學習；二是為了滿足高考的要求，對課本內容適當拓展，例如關于函數值域的求法，課本中沒有專題學習，本節(jié)課對此進行了歸納和總結.