合情合理設(shè)計出真知

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1、 合情合理設(shè)計出真知 ——對“多邊形”概念教學(xué)認識 晉江市金山中學(xué) 顏謀壇 數(shù)學(xué)是講“合乎情理”的學(xué)科，數(shù)學(xué)科以事實為根據(jù)，不浮夸、不矯情造作。那么對于數(shù)學(xué)概念教學(xué)“合情合理”的追求，就應(yīng)該是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)永恒的話題。以下將結(jié)合初中學(xué)段“多邊形”概念教學(xué)中“情理交融”的認識，探討數(shù)學(xué)概念教學(xué)的相關(guān)問題。 一． 關(guān)于概念的引入 1．從實際應(yīng)用的需要引入 數(shù)學(xué)概念，是人對客觀事物中有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象，對某個數(shù)學(xué)概念的認識，應(yīng)建立在對一類事物共同屬性認識的基礎(chǔ)之上。 教學(xué)“多邊形”的概念教學(xué)也不例外。老師通過出示大街上、飯店等許多地方各種形狀的地磚、瓷磚平整地貼

2、合在一起的圖片，并從中抽象出基本的幾何圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考它們的共同特點，使學(xué)生在這些典型、豐富且合乎實際的感性材料的基礎(chǔ)上，獲得對多邊形屬性的初步認識。 這樣，通過生活中熟悉的素材，設(shè)置符合“常情”的教學(xué)情境，不僅賦予了“多邊形”概念的現(xiàn)實背景，也使學(xué)生感悟到學(xué)習(xí)“多邊形”概念的必要性，明白了學(xué)習(xí)的“道理”。 2．從數(shù)學(xué)知識發(fā)展的需要引入 學(xué)習(xí)一個新的數(shù)學(xué)概念，還應(yīng)該把這個概念放到相應(yīng)的概念體系中，考查它的“來龍去脈”，即分析學(xué)習(xí)這一概念需要怎樣的基礎(chǔ)，知道掌握它以后可以做什么。 關(guān)于多邊形，學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)接觸過三角形、四邊形，但對多邊形的概念基本沒有涉足。初中學(xué)段，必須是在三角

3、形或四邊形的類比的基礎(chǔ)上來研究多邊形。初中老師一般都會告訴同學(xué)三角形是最簡單的多邊形，因為三角形就是一種特殊多邊形，根據(jù)特殊到一般思想方法，我們可以借鑒三角形定義對多邊形進行下定義。因此教學(xué)中，教師要抓住三角形（特殊多邊形）的概念“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”類比引導(dǎo)學(xué)生思考n邊形定義，就可以使學(xué)生自然地建立起對新概念（多邊形）的本質(zhì)屬性理解。 另外，學(xué)習(xí)了“多邊形”的概念之后，再附加條件“邊數(shù)為4”、“邊數(shù)為5”…“邊數(shù)為100” …分別叫四邊形、五邊形…一百邊形…；若再滿足“每條邊都相等，每個內(nèi)角也相等”，就分別叫正四邊形（正方形）、正五邊形…正一百邊形…。

4、可見，從數(shù)學(xué)知識面發(fā)展的需要出發(fā)，對“概念體系”進行分析，可以了解到概念間的內(nèi)在聯(lián)系，形成明晰的知識結(jié)構(gòu)，并清晰地認識到學(xué)習(xí)“多邊形”概念的“合理性”。 二、關(guān)于概念的形成 1．概念的明確 所謂明確概念，實質(zhì)就是讓學(xué)生理解一類事物的共同本質(zhì)屬性，如何利用學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中已有的概念，以定義的方式直接揭示概念的本質(zhì)特征。 （1）明確概念的內(nèi)涵 概念的內(nèi)涵就是明確概念中的對象的本質(zhì)屬性，它說明概念所反映的事物是什么樣的?！岸噙呅危╪邊形）”的含義是“由不在同一條直線上的n條線段首尾順次相接所組成的圖形”，這就是“多邊形”的內(nèi)涵。它揭示了“多邊形”與“三角形”的“一般與特殊”

5、的關(guān)系，以及它們的區(qū)別與聯(lián)系，反映了“多邊形”的本質(zhì)屬性。其中關(guān)鍵詞“n條線段首尾順次相接”即可作為多邊形的判定方法，又可以作為多邊形的一個性質(zhì)。 （2）明確概念的外延 概念的外延是指具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對象，它說明概念所反映的是哪些事物?！岸噙呅巍笔侵溉切巍⑺倪呅?、五邊形…的全體，這就是“多邊形”的外延。它反映的是概念的量的方面，是概念的使用范圍。 教學(xué)中，給“多邊形”下定義之后，教師不僅要指出符合“多邊形”定義的對象，而且也要讓學(xué)生自己舉比例子來。這樣，從概念的引入（具體）到明確概念（一般），再到舉出實例（具體），形成了一個完整的概念認知的過程。符合學(xué)生的認

6、知需要，又體現(xiàn)了概念的形成特點，從而做到“合情合理”。 2．概念的表示 在描述數(shù)學(xué)概念時，除了上述使用文字語言的方式外，還可以用符號語言和圖形語言。 （1）用符號表示概念 數(shù)學(xué)符號是數(shù)學(xué)專有的特殊文字，其含義的高度概括和形式的高度濃縮，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)簡明性的特點。在概念教學(xué)中，真正讓學(xué)生掌握概念符號的意義尤為重要。用符號語言描述多邊形（n邊形）定義為：n邊形A1A2A3A4…An，又如：四邊形ABCD，五邊形ABCDE等，每個大寫字母表示一個頂點。 （2）用圖形表示概念 如圖1，畫出“n條線段”的n邊形，即n邊形A1A2A3A4…An。一般地，為了便于研究，我們經(jīng)常以

7、四邊形或五邊形為例，再應(yīng)用歸納法推導(dǎo)出n邊形的相同結(jié)論。結(jié)合圖形可以使學(xué)生對“多邊形”概念有一個更加直觀、清晰的認識。 圖1 通常情況下，學(xué)習(xí)幾何概念，往往把圖形語言聯(lián)系在一起。 需要注意，盡量排除標準圖形的負遷移作用，防止出現(xiàn)符號與概念意義的脫節(jié)，避免把個性特征作為概念的本質(zhì)特征。四邊形有四個頂點、四個內(nèi)角、內(nèi)角和（4-2）180，五邊形有五個頂點、五個內(nèi)角、內(nèi)角和（5-2）180，同樣n邊形也具有本質(zhì)特征“n邊形有五個頂點、五個內(nèi)角、內(nèi)角和（n-2）180。 符號語言的簡明性與圖形語言直觀性，合乎學(xué)生對“多邊形”概念的理解和記憶，符合“人之常情”，教師再適時地提醒“

8、回到定義去”，讓學(xué)生牢記其中的“道理”，即“n條線段首尾順次相接”，可以很好地實現(xiàn)“情理交融”。 3．概念的深化 幾何概念，無外乎從位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系兩個角度進行刻畫?！岸噙呅巍倍x中的“n條線段首尾順次相接”，是從“位置關(guān)系”出發(fā)，刻畫“線段”的本質(zhì)。如果從“數(shù)量關(guān)系”的角度，再來研究“多邊形”的某些幾何要素“邊”“角”，自然可以得到進一步的結(jié)論，這是對“多邊形”概念的深化。 在研究多邊形“邊”或“角”的數(shù)量關(guān)系時，教師不妨通過引導(dǎo)學(xué)生從多邊形的“位置關(guān)系”出發(fā)，從“三條線段首尾順次相接”、“四條線段首尾順次相接”、“五條線段首尾順次相接”至“n條線段首尾順次相接”，經(jīng)歷觀察、猜想、實

9、驗、概括直至論證的過程。一方面突出合情合理在解決問題中的作用，詮釋“實驗幾何”與“論證幾何”相輔相成的關(guān)系；另一方面，可使學(xué)生對多邊形的概念理解得更深入，即“n邊形內(nèi)角和等于（n-2）180”，相對于定義中的“n條線段首尾順次相接”，由是由位置關(guān)系向數(shù)量關(guān)系的一種延伸，“n邊形內(nèi)角和等于（n-2）180”相對于“n條線段首尾順次相接”，是從“從n邊形一個頂點出發(fā)連結(jié)對角線可把它分成（n-2）個三角形”產(chǎn)生一種思維深化。 三、關(guān)于概念的應(yīng)用 為了更好地理解概念，需要有一個應(yīng)用概念的過程，即通過運用概念，去認識同類事物，推進對概念本質(zhì)的理解。這是一個應(yīng)用與理解同步的過程，概念的應(yīng)用可以

10、在知覺水平上進行，也可以在思維水平上進行。 1．在知覺水平上的應(yīng)用 在知覺水平上的應(yīng)用，就是要引導(dǎo)學(xué)生用概念去判斷面臨的某一事物是否屬于概念反映的具體對象。 例如：如圖2是不是五邊形？其內(nèi)角和與線段數(shù)有什么關(guān)系？ 圖2 此題首先要求學(xué)生判斷一個的圖形是否為五邊形（多邊形），由于這個圖形滿足“五條線段首尾順次相接”，屬于“五邊形“（多邊形）的概念，因此學(xué)生只要可以正確完成這樣的判斷，我們就認為他從知覺上理解了“多邊形”的概念。另外，此題還要求判斷“其內(nèi)角和與線段數(shù)有什么關(guān)系”，由于我們已經(jīng)得到了“n邊形內(nèi)角和等于（n-2）180”的結(jié)論，學(xué)生已不需要

11、再重復(fù)一系列的認識過程，可以直接從知覺上應(yīng)用的另一種情形。 2．在思維水平上的應(yīng)用 在思維水平上的應(yīng)用，就是需要將“多邊形”的概念，納入到原有的概念或例題中，或者在復(fù)雜的問題時，與原有概念或命題中或者在解決復(fù)雜的問題時，與原有的概念或命題重新組合。 例如圖3，以多邊形的每個頂點為圓心，1為半徑的畫圓，則圖中陰影部分的面積等于多少？ 此題要求陰影部分面積，由圖2可觀察到扇形的圓心角是多邊形內(nèi)角，而多邊形有六條邊是六邊形，這就需要用到多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系，得六邊形內(nèi)角和是（6-2）180=720，所以各陰影部分的扇形面積之和恰為一個以半徑為1的整圓面積的2倍。 圖3 上述分析過程中，我們看到，此題主要綜合了“多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系”的性質(zhì)—“n邊形內(nèi)角和等于（n-2）180”以及圓面積公式，將“多邊形”概念應(yīng)用其中，將“整圓周角360”與“六邊形內(nèi)角和720”（多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系求得）重新組合、整理，使學(xué)生在尋求解題方案的同時，獲得新舊知識之間的聯(lián)系，對“多邊形”概念達到靈活應(yīng)用的水平。 課堂教學(xué)應(yīng)該追求一種“合情合理”的境界。當(dāng)我們看到每一個教學(xué)環(huán)節(jié)都那樣的順暢、每一個問題都是那么自然、每一名學(xué)生都是那樣心領(lǐng)神會，細細口味，一切都在情理之中。