2019年高考數(shù)學二輪專題復習課件：第二部分 數(shù)列的求和及綜合應用

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1、專題三 數(shù) 列 第 2 講 數(shù)列的求和及綜合應用 1 (2017 全國卷 ) 設(shè)數(shù)列 a n 滿足 a 1 3 a 2 (2 n 1) a n 2 n . (1) 求 a n 的通項公式； (2) 求數(shù)列 a n 2 n 1 的前 n 項和 解： (1) 因為 a 1 3 a 2 (2 n 1) a n 2 n ， 故當 n 2 時， a 1 3 a 2 (2 n 3) a n 1 2( n 1) ， 得 (2 n 1) a n 2 ，所以 a n 2 2 n 1 ， 又 n 1 時， a 1 2 適合上式， 從而 a n 的通項公式為 a n 2 2 n 1 . (2) 記 a n 2 n

2、1 的前 n 項和為 S n ， 由 (1) 知 a n 2 n 1 2 （ 2 n 1 ）（ 2 n 1 ） 1 2 n 1 1 2 n 1 ， 則 S n 1 1 3 1 3 1 5 1 2 n 1 1 2 n 1 1 1 2 n 1 2 n 2 n 1 . 2 (2017 山東卷 ) 已知 a n 是各項均為正數(shù)的等比數(shù) 列，且 a 1 a 2 6 ， a 1 a 2 a 3 . (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) b n 為各項非零的等差數(shù)列，其前 n 項和為 S n ， 已知 S 2 n 1 b n b n 1 ，求數(shù)列 b n a n 的 前 n 項和 T n . 解：

3、(1) 設(shè) a n 的公比為 q ， 由題意知 a 1 (1 q ) 6 ， a 2 1 q a 1 q 2 ， 又 a n 0 ， 解得 a 1 2 ， q 2 ，所以 a n 2 n . (2) 由題意知 S 2 n 1 （ 2 n 1 ）（ b 1 b 2 n 1 ） 2 (2 n 1) b n 1 ， 又 S 2 n 1 b n b n 1 ， b n 1 0 ， 所以 b n 2 n 1. 令 c n b n a n ，則 c n 2 n 1 2 n ， 因此 T n c 1 c 2 c n 3 2 5 2 2 7 2 3 2 n 1 2 n 1 2 n 1 2 n ， 又 1 2

4、T n 3 2 2 5 2 3 7 2 4 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1 ， 兩式相減得 1 2 T n 3 2 ( 1 2 1 2 2 1 2 n 1 ) 2 n 1 2 n 1 ， 所 以 T n 5 2 n 5 2 n . 從近年高考命題看，本講主要考查的內(nèi)容： (1) 以等 差 ( 比 ) 數(shù)列為背景，考查等差 ( 比 ) 的通項與求和公式、分 組轉(zhuǎn)化求和； (2) 以簡單的遞推關(guān)系為背景，考查錯位相 減 、裂項相消、倒序相加等求和的基本方法主要以解 答題的形式呈現(xiàn)，中檔難度，且常與函數(shù)、不等式知識 交匯 熱點 1 數(shù)列求和 ( 多維探究 ) 數(shù)列求和的關(guān)鍵是分析其通項，

5、數(shù)列的基本求和方法 有倒序相加、裂 ( 拆 ) 項相消法、錯位相減法、分組轉(zhuǎn)化求 和裂項相消法和錯位相減法是常用的兩種方法 (1) 分組轉(zhuǎn)化求和：一個數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不 是等比數(shù)列，若將這個數(shù)列適當拆開，重新組合，就會變 成幾個可以求和的部分，分別求和，然后再合并 (2) 錯位相減法：主要用于求數(shù)列 a n b n 的前 n 項和， 其中 a n ， b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 (3) 裂項相消法：即將數(shù)列的通項分成兩個式子的代 數(shù)差的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂 項相消法適用于形如 c a n a n 1 ( 其中 a n 是各項均不為零的 等差數(shù)列， c 為常數(shù)

6、) 的數(shù)列 溫馨提醒： 裂項求和時，易把系數(shù)寫成它的倒數(shù)或 忘記系數(shù)導致錯誤 命題視角 分組轉(zhuǎn)化求和 【例 1 1 】 已知數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S n ，且 1 ， a n ， S n 成等差數(shù)列 (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 若數(shù)列 b n 滿足 a n b n 1 2 na n ，求數(shù)列 b n 的前 n 項和 T n . 解： (1) 由已知 1 ， a n ， S n 成等差數(shù)列得 2 a n 1 S n ， 當 n 1 時， 2 a 1 1 S 1 1 a 1 ，所以 a 1 1 ， 當 n 2 時， 2 a n 1 1 S n 1 ， 得 2 a n 2

7、 a n 1 a n ， 所以 a n 2 a n 1 ( n 2) ，且 a 1 1. 所以數(shù)列 a n 是以 1 為首項， 2 為公比的等比數(shù)列， 所以 a n a 1 q n 1 1 2 n 1 2 n 1 . (2) 由 a n b n 1 2 na n 得 b n 1 a n 2 n ， 所以 T n b 1 b 2 b n 1 a 1 2 1 a 2 4 1 a n 2 n 1 a 1 1 a 2 1 a n (2 4 2 n ) 1 1 1 2 n 1 1 2 （ 2 2 n ） n 2 n 2 n 2 1 2 n 1 . 規(guī)律方法 1 在處理一般數(shù)列求和時，一定要注意運用轉(zhuǎn)化思

8、 想把一般的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化 為等差數(shù)列或等比數(shù)列進行 求和在利用分組求和法求和時，常常根據(jù)需要對項數(shù) n 進行討論，最后再驗證是否可以合并為一個表達式 2 分組求和的策略： (1) 根據(jù)等差、等比數(shù)列分組； (2) 根據(jù)正號、負號分組 變式訓練 已知數(shù)列 a n 的前 n 項和 S n n 2 n 2 ， n N * . (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 設(shè) b n 2 a n ( 1) n a n ，求數(shù)列 b n 的前 2 n 項和 解： (1) 當 n 1 時， a 1 S 1 1 ； 當 n 2 時， a n S n S n 1 n 2 n 2 （ n 1 ） 2 （ n 1

9、 ） 2 n . 而 a 1 也滿足 a n n ，故數(shù)列 a n 的通項公式為 a n n . (2) 由 (1) 知 a n n ，故 b n 2 n ( 1) n n . 記數(shù)列 b n 的前 2 n 項和為 T 2 n ， 則 T 2 n (2 1 2 2 2 2 n ) ( 1 2 3 4 2 n ) 記 A 2 1 2 2 2 2 n ， B 1 2 3 4 2 n ， 則 A 2 （ 1 2 2 n ） 1 2 2 2 n 1 2 ， B ( 1 2) ( 3 4) (2 n 1) 2 n n . 故數(shù)列 b n 的前 2 n 項和 T 2 n A B 2 2 n 1 n 2.

10、命題視角 裂項相消法求和 【例 1 2 】 (2018 石家莊質(zhì)檢 ) 設(shè)正項等比數(shù)列 a n ， a 4 81 ，且 a 2 ， a 3 的等差中項為 3 2 ( a 1 a 2 ) (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 若 b n lo g 3 a 2 n 1 ，數(shù)列 b n 的前 n 項和為 S n ，數(shù)列 c n 滿足 c n 1 4 S n 1 ， T n 為數(shù)列 c n 的前 n 項和，若 T n n 恒成立，求 的取值范圍 解： (1) 設(shè)等比數(shù)列 a n 的公比為 q ( q 0) ， 由題意，得 a 4 a 1 q 3 81 ， a 1 q a 1 q 2 3 （ a

11、 1 a 1 q ）， 解得 a 1 3 ， q 3. 所以 a n a 1 q n 1 3 n . (2) 由 (1 ) 得 b n log 3 a 2 n 1 log 3 3 2 n 1 2 n 1. 則 S n n （ b 1 b n ） 2 n 1 （ 2 n 1 ） 2 n 2 ， 所以 c n 1 4 n 2 1 1 2 1 2 n 1 1 2 n 1 ， 所以 T n 1 2 1 1 3 1 3 1 5 ( 1 2 n 1 1 2 n 1 ) n 2 n 1 . 若 T n n 2 n 1 n 恒成立，則 1 2 n 1 ( n N * ) 恒成 立， 則 1 2 n 1 max

12、 ，所以 1 3 . 規(guī)律方法 1 裂項相消法求和就是將數(shù)列中的每一項裂成兩項 或多項，使這些裂開的項出現(xiàn)有規(guī)律的相互抵消，要注 意消去了哪些項，保留了哪些項 2 消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項， 前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項 變式訓練 設(shè) S n 為數(shù)列 a n 的前 n 項和， S n 2 n 2 5 n . (1) 求證：數(shù)列 3 a n 為等比數(shù)列； (2) 設(shè) b n 2 S n 3 n ，求數(shù)列 n a n b n 的前 n 項和 T n . (1) 證明： S n 2 n 2 5 n ， 所以當 n 2 時， a n S n S n 1 4 n 3. 又當 n 1

13、時， a 1 S 1 7 也滿足 a n 4 n 3 ， 故 a n 4 n 3( n N * ) 由 a n 1 a n 4 ，得 3 a n 1 3 a n 3 a n 1 a n 3 4 81. 所以數(shù)列 3 a n 是公比為 81 的等比數(shù)列 (2) 解： 因為 b n 2 S n 3 n 4 n 2 10 n 3 n 4 n 2 7 n . 所以 n a n b n n （ 4 n 3 ）（ 4 n 2 7 n ） 1 4 1 4 n 3 1 4 n 7 . 因此 T n 1 4 ( 1 7 1 11 1 11 1 15 1 4 n 3 1 4 n 7 ) 1 4 ( 1 7 1 4

14、 n 7 ) n 7 （ 4 n 7 ） . 命題視角 錯位相減法求和 【例 1 3 】 (2018 長郡中學聯(lián)考 ) 已知 a n 是等差數(shù) 列， b n 是等比數(shù)列， a 1 1 ， b 1 2 ， b 2 2 a 2 ， b 3 2 a 3 2. (1) 求 a n ， b n 的通項公式； (2) 若 a n b n 的前 n 項和為 S n ，求證： S n 2. (1) 解： 設(shè)數(shù)列 a n 的公差為 d ， b n 的公比為 q . 由題意得 2 q 2 （ 1 d ）， 2 q 2 2 （ 1 2 d ） 2 ， 解得 d 1 ， q 2 ， 或 d 1 ， q 0 ， ( 舍

15、去 ) ， 所以 a n n ， b n 2 n . (2) 證明： 由 (1) 知 a n b n n 2 n ， 所以 S n 1 2 2 2 2 3 2 3 n 1 2 n 1 n 2 n ， 1 2 S n 1 2 2 2 2 3 3 2 4 n 2 2 n 1 n 1 2 n n 2 n 1 ， 兩式相減得 1 2 S n 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 n n 2 n 1 1 2 1 1 2 n 1 1 2 n 2 n 1 ， 所以 S n 2 1 2 n 1 n 2 n ，所以 S n 2. 規(guī)律方法 1 一般地，如果數(shù)列 a n 是等差數(shù)列， b n 是等比數(shù) 列，求數(shù)

16、列 a n b n 的前 n 項和時，可采用錯位相減法求和， 一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 b n 的公比，然后作差求 解 2 在寫 “ S n ” 與 “ qS n ” 的表達式時應特別注意將兩式 “ 錯項對齊 ” ，以便下一步準確地寫出 “ S n qS n ” 的表達 式 變式訓練 (2018 合肥聯(lián)考 ) 公差不為 0 的等差數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S n ，已知 S 4 10 ，且 a 1 ， a 3 ， a 9 成等比 數(shù)列 (1) 求 a n 的通項公式； (2) 求數(shù)列 a n 3 n 的前 n 項和 T n . 解： (1) 設(shè) a n 的公差為 d ， 由題設(shè)得 4

17、 a 1 6 d 10 ， a 2 3 a 1 a 9 ， 即 4 a 1 6 d 10 ， （ a 1 2 d ） 2 a 1 （ a 1 8 d ） . 解得 a 1 1 ，且 d 1. 所以 a n 1 ( n 1) 1 n . (2) 令 c n a n 3 n n 3 n ， 則 T n c 1 c 2 c n 1 3 2 3 2 3 3 3 n 1 3 n 1 n 3 n ， 1 3 T n 1 3 2 2 3 3 n 1 3 n n 3 n 1 ， 得， 2 3 T n 1 3 1 3 2 1 3 n n 3 n 1 1 2 1 1 3 n n 3 n 1 1 2 1 2 3 n

18、 n 3 n 1 ， 所以 T n 3 4 2 n 3 4 3 n . 熱點 2 a n 與 S n 的相關(guān)問題 1 數(shù)列通項 a n 與前 n 項和 S n 的關(guān)系， a n S 1 （ n 1 ）， S n S n 1 （ n 2 ） . 2 應用 a n 與 S n 的關(guān)系式 f ( a n ， S n ) 0 時，應特別注 意 n 1 時的情況，防止產(chǎn)生錯誤 【例 2 】 設(shè)數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S n ，對任意的正 整數(shù) n ，都有 a n 5 S n 1 成立， b n 1 l og 2 | a n |，數(shù)列 b n 的前 n 項和為 T n ， c n b n 1 T

19、n T n 1 . (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 求數(shù)列 c n 的前 n 項和 A n ，并求出 A n 的最值 解： (1) 因為 a n 5 S n 1 ， n N * ， 所以 a n 1 5 S n 1 1 ， 兩式相減，得 a n 1 1 4 a n ， 又當 n 1 時， a 1 5 a 1 1 ，知 a 1 1 4 ， 所以數(shù)列 a n 是公比、首項均為 1 4 的等比數(shù)列 所以數(shù)列 a n 的通項公式為 a n 1 4 n . (2) b n 1 log 2 | a n | 2 n 1 ， 所以數(shù)列 b n 的前 n 項和 T n n 2 ， c n b n

20、1 T n T n 1 2 n 1 n 2 （ n 1 ） 2 1 n 2 1 （ n 1 ） 2 ， 所以 A n 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2 1 n 2 1 （ n 1 ） 2 1 1 （ n 1 ） 2 . 因此 A n 是單調(diào)遞增數(shù)列， 所以當 n 1 時， A n 有最小值 A 1 1 1 4 3 4 ； A n 沒有 最大值 規(guī)律方法 1 給出 S n 與 a n 的遞推關(guān)系求 a n ，常用思路是：一 是利用 S n S n 1 a n ( n 2) 轉(zhuǎn)化為 a n 的遞推關(guān)系，再求其 通項公式；二是轉(zhuǎn)化為 S n 的遞推關(guān)系，先求出 S n 與 n 之 間的

21、關(guān)系，再求 a n . 2 形如 a n 1 pa n q ( p 1 ， q 0) ，可構(gòu)造一個新的 等比數(shù)列 變式訓練 (2018 西安質(zhì)檢 ) 已知數(shù)列 a n 的首項 a 1 1 ， S n 是數(shù)列 a n 的前 n 項和，且滿足 2( S n 1) ( n 3) a n . (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式； (2) 設(shè)數(shù)列 b n 滿足 b n 1 a n a n 1 ，求數(shù)列 b n 的前 n 項 和 T n . 解： (1)2( S n 1) ( n 3) a n ， 當 n 2 時， 2( S n 1 1) ( n 2) a n 1 ， 由 得， 2 a n ( n 3)

22、a n ( n 2) a n 1 ，即 ( n 1) a n ( n 2) a n 1 ， 又 a 1 1 ， a n 0 ， 則 a n n 2 a n 1 n 1 ( n 2) ， 故數(shù)列 a n n 2 是首項為 1 3 的常數(shù)列 因此， a n 1 3 ( n 2) ， n N * . (2) 由 (1) 知， b n 1 a n a n 1 9 （ n 2 ）（ n 3 ） 9 1 n 2 1 n 3 . 所以 T n b 1 b 2 b 3 b n 9( 1 3 1 4 ) 1 4 1 5 1 n 2 1 n 3 9 1 3 1 n 3 3 9 n 3 . 熱點 3 數(shù)列與函數(shù)不等

23、式的交匯問題 數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景， 給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點在曲線上給出 S n 的 表達式，還有以曲線上的切點為背景的問題，解決這類 問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對應關(guān)系，將條件進 行準確的轉(zhuǎn)化數(shù)列與不等式的綜合問題一般以數(shù)列為 載體，考查最值問題、不等關(guān)系或恒成立問題 【例 3 】 已知等差數(shù)列 a n 的公差為 1 ，且 a 2 a 7 a 12 6. (1) 求數(shù)列 a n 的通項公式 a n 與前 n 項和 S n ； (2) 數(shù)列 a n 的前 4 項抽去其中一項后，剩下三項按原 來順序恰為等比數(shù)列 b n 的前 3 項，記 b n 的前 n 項和

24、為 T m ，若存在 m N * ，使對任意 n N * ，總有 S n T m 恒成立，求實數(shù) 的取值范圍 解： (1) 由 a 2 a 7 a 12 6 得 a 7 2 ， 又 d 1 ，所以 a 1 4 ， 所以 a n 5 n ， S n n （ 9 n ） 2 . (2) 由題意知 b 1 4 ， b 2 2 ， b 3 1 ， 設(shè)等比數(shù)列 b n 的公比為 q ， 則 q b 2 b 1 1 2 ， 所以 T m 4 1 1 2 m 1 1 2 8 1 1 2 m ， 因為 1 2 m 隨 m 增加而遞減， 所以 T m 為遞增數(shù)列，得 4 T m 8. 又 S n n （ 9 n

25、 ） 2 1 2 ( n 2 9 n ) 1 2 ( n 9 2 ) 2 81 4 ， 故 ( S n ) m a x S 4 S 5 10 ， 若存在 m N * ，使對任意 n N * 總有 S n T m ， 則 10 8 ，得 2 ，即實數(shù) 的取值范圍為 (2 ， ) 規(guī)律方法 1 求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題注意兩點： (1) 數(shù)列是一 類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)或其子集，在求數(shù) 列最值或不等關(guān)系 時要特別重視； (2) 解題時準確構(gòu)造函 數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件 2 數(shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明，多與 數(shù)列的求和相聯(lián)系，最后利用數(shù)列或數(shù)列對應函數(shù)的單 調(diào)性處理 變式訓

26、練 (2018 北京燕博園質(zhì)檢 ) 已知數(shù)列 a n 滿 足 na n ( n 1) a n 1 2 n 2 2 n ( n 2 ， 3 ， 4 ， ) ， a 1 6. (1) 求證 a n n 1 為等差數(shù)列，并求出 a n 的通項公式； (2) 數(shù)列 1 a n 的前 n 項和為 S n ，求證： S n 5 12 . (1) 解： 因為 na n ( n 1) a n 1 2 n 2 2 n ， 所以 a n n 1 a n 1 n 2( n 2) 所以數(shù)列 a n n 1 是以 a 1 2 3 為首項， 2 為公差的等差 數(shù)列 則 a n n 1 3 2( n 1) 2 n 1 ，所以 a n ( n 1)( 2 n 1) (2) 證明： 因為 1 a n 1 （ n 1 ）（ 2 n 1 ） 1 2 n （ n 1 ） 1 2 1 n 1 n 1 ， 所以 S n 1 a 1 1 a 2 1 a n 1 6 1 2 ( 1 2 1 3 1 n 1 n 1 ) 1 6 1 4 1 2 （ n 1 ） 1 6 1 4 5 12 .