《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教學設(shè)計

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1、 《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》教學設(shè)計 [教學內(nèi)容]： 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 [設(shè)計理念]： 根據(jù)教材內(nèi)容和本人研究的課題《初中數(shù)學問題引探教學實驗研究》，在教學中滲透新課標的精神，注重過程數(shù)學，注重創(chuàng)新教學，注重問題意識，關(guān)注學生的學習興趣和經(jīng)驗，讓學生主動參與學習活動，主動探索并獲取知識，教師是組織者、引導者、參與者。 [教材簡析]： 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1、x2得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及以數(shù)x1、x2為根的一元二次方程的求方程模型。然后通過4個例題介

2、紹了利用根與系數(shù)的關(guān)系簡化一些計算的知識。例如，求方程中的特定系數(shù)，求含有方程根的一些代數(shù)式的值等問題，由方程的根確定方程的系數(shù)的方法等等。 根與系數(shù)的關(guān)系也稱為韋達定理（韋達是法國數(shù)學家）。韋達定理是初中代數(shù)中的一個重要定理。這是因為通過韋達定理的學習，把一元二次方程的研究推向了高級階段，運用韋達定理可以進一步研究數(shù)學中的許多問題，如二次三項式的因式分解，解二元二次方程組；韋達定理對后面函數(shù)的學習研究也是作用非凡。 通過近些年的中考數(shù)學試卷的分析可以得出：韋達定理及其應(yīng)用是各地市中考數(shù)學命題的熱點之一。出現(xiàn)的題型有選擇題、填空題和解答題，有的將其與三角函數(shù)、幾何、二次函數(shù)等內(nèi)容綜合起來，

3、形成難度系數(shù)較大的壓軸題。 通過韋達定理的教學，可以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神和綜合分析數(shù)學問題的能力，也為學生今后學習方程理論打下基礎(chǔ)。 [教學目標]： 1、知識目標：要求學生在理解的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系式，能運用根與系數(shù)的關(guān)系由已知一元二次方程的一個根求出另一個根與未知數(shù)，會求一元二次方程兩個根的倒數(shù)和與平方數(shù)，兩根之差。 2、能力目標：通過韋達定理的教學過程，使學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學活動過程，發(fā)展推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。 3、情感目標：通過情境教學過程，激發(fā)學生的求知欲望，培養(yǎng)學生積極學習數(shù)

4、學的態(tài)度。體驗數(shù)學活動中充滿著探索與創(chuàng)造，體驗數(shù)學活動中的成功感，建立自信心。 [教學重難點、教學疑點及解決辦法]： 1、重點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 2、難點：讓學生從具體方程的根發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系，并用語言表述，以及由一個已知方程求作新方程，使新方程的根與已知的方程的根有某種關(guān)系，比較抽象，學生真正掌握有一定的難度，是教學的難點。 3．教學疑點：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和，兩根的積與系數(shù)的關(guān)系。 　　4．解決辦法:在實數(shù)范圍內(nèi)運用韋達定理，必須注意b2-4ac≥0這個前提條件，而應(yīng)用判別式的前提條件是方程必須是一元二次方程，即二次項系

5、數(shù)不為零。因此，解題時，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含條件。 [教學對象分析]：本課的教學對象是初中三年級學生，學生對事物的認識多是直觀、形象的，他們所注意的多是事物外部的、直接的、具體形象的特征，所以，在教學初始，出示一些學生所熟悉和感興趣的東西，如：幻燈片、教學課件、卡片等，結(jié)合一元二次方程求根公式使他們在現(xiàn)代化的教學模式和傳統(tǒng)的教學模式相結(jié)合的基礎(chǔ)上掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。 [教學資源]：實物投影儀、卡片、教學課件 [教法與學法]： （一）教法 1、充分以學生為主體進行教學，讓學生多實踐，從實踐中反思過程，讓學生經(jīng)歷韋達定理的發(fā)生發(fā)展過程，并從中體驗成功的樂趣。 2、采

6、用“實踐（練習）——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程教學。引導學生發(fā)現(xiàn)問題，師生共同解決問題。 3、分小組討論交流，多渠道信息反饋。 4、問題引探，啟發(fā)誘導，進行創(chuàng)新教學。 （二）學法指導 1、引導學生實踐、觀察、發(fā)現(xiàn)問題、猜想并推理。 2、指導學生掌握思考問題的方法及解決問題的途徑。 3、指導學生熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，并將應(yīng)用問題和規(guī)律歸類。 [教學過程設(shè)計]： （一）問題引探 問題1.在方程ax2+bx+c=0中，a的取值決定什么？b2-4ac的取值呢？同學們可知道a、b、c的取值與一元二次方程ax2+bx+c=0的根還有其它關(guān)系？今天我們進一步研究一元二次方程的這

7、種關(guān)系。 板書課題：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 問題2.解方程x2-5x+6=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？ 出示卡片 問題3.解下列方程： （1）2x2+5x+3=0（2）3x2-2x-8=0 并根據(jù)問題2和以上的求解填寫下表 請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？ 問題4.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________。 問題5.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 分小組討論以上的問

8、題，并作出推理證明。 若方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根為x1=，x2=。 則 x1+x2=+=； x1x2= = 板書：如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。 由此得出一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；還可以讓學生用自己的語言表述這種關(guān)系，來加深理解和記憶。 這個關(guān)系是一個法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)的，所以也稱之為韋達定理。 板書：問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c的作用嗎？（引導學生反思性小結(jié)） ①二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)；

9、 ③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況； ④當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2=，x1x2=。 ⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。 設(shè)計意圖：1、本設(shè)計采用“實踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程，使學生既動手又動腦，且又動口，教師引導啟發(fā)，避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，體現(xiàn)學生的主體學習特性，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。 2、本設(shè)計遵循由特殊到一般，從實踐到理論（即從感性認識上升到理性認識）的認知規(guī)律。 3、本設(shè)計注重了學生的反思過程，使學生將知識系統(tǒng)化、格式化。 （二）嘗試發(fā)展 投影展現(xiàn) 試一試：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩

10、根之和與兩根之積（方程兩根為x1，x2、k是常數(shù)） （1）2x2-3x+1=0 x1+x2=________ x1x2=_________ （2）3x2+5x=0 x1+x2=________ x1x2=__________ （3）5x2+x-2=0 x1+x2=_________ x1x2=__________ （4）5x2+kx-6=0 x1+x2=_________ x1x2=__________ （此試一試作為鞏固知識而用）嘗試題1、已知方程6x2+kx-5=0的一個根為-1，求它的另一個根及k的值。 組織學生自己分析解決，然后一學生板演，其余學生在草稿本上練習。 學生

11、練習：P322。 嘗試題2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x-1=0的兩個根的（1）平方和，（2）倒數(shù)和。 討論：解上面問題的思路是什么？ 得出：x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2; .(將平方和、倒數(shù)和轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式) （三）拓展創(chuàng)新 1、在嘗試2中能否求（x1－x2）的值？2、已知實數(shù)滿足關(guān)系式a2-5a+6=0，b2-5b+6=0，且a≠b，能否求a+b與ab的值？ 設(shè)計意圖：1、“試一試”是引導學生及時鞏固本節(jié)所學的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”，其中第（3）小題是培養(yǎng)學生思維嚴謹性和批判性；（4）小題是起過渡作用設(shè)計。 2、嘗試題1、2讓

12、學生討論完成或獨立完成，可以看書完成，其系數(shù)與例題有別。 3、“拓展創(chuàng)新”中是培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性教學設(shè)計，也是開放性教學，使有的學生的奇異思維得到發(fā)展。 （四）師生共同歸納小結(jié)：本課主要研究了什么？1、方程的根是由系數(shù)決定的。2、a≠0時，方程ax2+bx+c=0是一元二次方程。3、當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2=，x1x2=。4、b2-4ac的值可判定根的情況。5、方程根與系數(shù)關(guān)系的有關(guān)應(yīng)用。 （1）已知一根求另一根及k的值；（2）求有關(guān)代數(shù)式的值。 （五）作業(yè)優(yōu)化設(shè)計： P33A1、2 B 1（1） 鞏固練習：１．已知等腰三角形的兩邊長a、b是方程x2-kx+12=

13、0的兩個根，此三角形的另一條邊c=4,求這個等腰三角形的周長。 2、已知關(guān)于x的方程x2－2mx+m2=0.其中x1、x2分別是一個等腰三角形的腰和底邊的長. （1）求證這個方程有兩個不相等實數(shù)根. （2）若方程的兩個實數(shù)根差的絕對值是8，并且等腰三角形的面積是12，求這個等腰三角形的邊長。 3、已知關(guān)于x的方程x2－3x-8=0的兩根分別是x1、x2，求： （1）x1-x2的值 （2）x12+x22的值 板書設(shè)計： 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=。 問題6.在方程ax2+bx+c=0（a≠0）

14、中，a、b、c的作用嗎？ ①二次項系數(shù)a是否為零，決定著方程是否為二次方程； ②當a≠0時，b=0，a、c異號，方程兩根互為相反數(shù)； ③當a≠0時，△=b2-4ac可判定根的情況； ④當a≠0，b2-4ac≥0時，x1+x2=，x1x2=。 ⑤當a≠0，c=0時，方程必有一根為0。 教學設(shè)計思路說明： 1、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的推導是在求根公式的基礎(chǔ)上進行。它深化了兩根的和與積同系數(shù)之間的關(guān)系，是我們今后繼續(xù)研究一元二次方程根的情況的主要工具，必須熟記，為進一步使用打下基礎(chǔ)。 　　2．以一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的探索與推導，向?qū)W生展示認識事物的一般規(guī)律，提倡積極思維，勇

15、于探索的精神，借此鍛煉學生分析、觀察、歸納的能力及推理論證的能力 　　3．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，在中考中多以填空，選擇，解答題的形式出現(xiàn)，考查的頻率較高，也常與幾何、二次函數(shù)等問題結(jié)合考查，是考試的熱點，它是方程理論的重要組成部分。 4、使學生體會解題方法的多樣性，開闊解題思路，優(yōu)化解題方法，增強擇優(yōu)能力。力求讓學生在自主探索和合作交流的過程中進行學習，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗，教師應(yīng)注意引導。 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教學案例反思 【案例主題：】學生積極參與教學，體現(xiàn)了教學理念：學生主體、嘗試教學、合作交流 ［背景］：數(shù)學教學，要緊密聯(lián)系學生的生活實際，從學生的生活經(jīng)驗和

16、已有知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動有趣的情境，引導學生通過數(shù)學活動，掌握基本的數(shù)學知識和技能，初步學會從數(shù)學的角度去觀察事物．思考問題，激發(fā)對數(shù)學的興趣，以及學好數(shù)學的愿望。數(shù)學課程不僅要考慮數(shù)學自身的特點，更應(yīng)遵循學生學習數(shù)學的心理規(guī)律，強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應(yīng)用的過程。 ［情景描述］： 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的知識內(nèi)容主要是以前一單元中的求根公式為基礎(chǔ)的。教材通過一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根 得出一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系而我在教學

17、時打亂了教材順序是這樣設(shè)計的： 問題1解方程x2-3x+4=0，并先指出a、b、c各是多少，然后再解方程，計算兩根的和與積，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論（現(xiàn)象）？ 問題2.解下列方程： （1）2x2+5x+3=0 （2）3x2-2x-2=0 并根據(jù)問題1和以上的求解填寫下表 一元二次方程 x1= x2= x1+x2 = x1*x2= x2-3x+4=0 2x2+5x+3=0 3x2-2x-2=0

18、 請觀察上表，你能發(fā)現(xiàn)兩根之和、兩根之積與方程的系數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？ 問題3.請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想：方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根x1，x2與a、b、c之間的關(guān)系：____________. 問題4.你能證明上面的猜想嗎？請證明，并用文字語言敘述說明。 分小組討論以上的問題，并作出推理證明。 【理念反思】：１、充分以學生為主體進行教學，調(diào)動學生學習積極性。 瑞士心理學家皮亞杰曾指出：“一切真理都要由學生自己獲得，或者由他重新發(fā)現(xiàn)，至少由他重建，而不是簡單地傳遞給他?！睌?shù)學課堂上，學生在教師指導下，自

19、覺地、主動地探索知識、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學生積極參與到學習活動中來，這是充分發(fā)揮學生主體作用的最重要的內(nèi)容。 本學案注重學生主體作用,在教學過程中,學生作為學習活動的主體出現(xiàn),教師?教材?教學手段都應(yīng)為學生的“學”服務(wù)?教師營造寬松愉悅的課堂氛圍，給予適當?shù)募?，引導學生積極參與教學活動,并充當教學活動的主角，教師則是這一活動過程的組織者和指導者?， ２. 學生的學習方式被確定為“嘗試學習” 嘗試教學理論的基本觀點是“學生能嘗試，嘗試能成功，成功能創(chuàng)新”，特征是“先試后導、先練后講”。 嘗試教學法符合現(xiàn)代教學論思想的要求，改變了傳統(tǒng)的注入式教法，把知識傳授和能力培養(yǎng)統(tǒng)一起來，引

20、起了教學過程中一系列的變化，如從教師講、學生聽轉(zhuǎn)變?yōu)樵诮處煹闹笇?，學生自學、先練，教師再講，從單純傳授知識轉(zhuǎn)變?yōu)樵趥魇谥R的同時培養(yǎng)能力、發(fā)展智力，等等。從心理學角度上說，嘗試教學運用了心理學中的遷移規(guī)律，重視學生已有的舊知識和生活經(jīng)驗在新知識學習中的作用，使先前的知識結(jié)構(gòu)改組，結(jié)合新學得的知識，使學生形成能容納新知識的更高一級的新知識結(jié)構(gòu)。 本教學案例中學生的學被確定為嘗試學習，那么教師的教學行為就應(yīng)根據(jù)學生的這一學習特點來設(shè)計相應(yīng)的教學方法以及教學的組織形式。即教師在指導學生學習，只給他們一些事實和問題，讓學生積極思考，獨立探索，自己發(fā)現(xiàn)并掌握相應(yīng)的法則，對此本教學案例中一元二次

21、方程根與系數(shù)的關(guān)系沒有直接給學生，而是在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中讓學生多實踐，從實踐中反思過程，發(fā)現(xiàn)而獲得。在經(jīng)歷了觀 察、分析、發(fā)現(xiàn)、猜想證明的過程中，使學生思維能力得到了發(fā)展，在自主合作探究的學習過程中，嘗到了探索的樂趣，體驗了成功的喜悅，并獲得了戰(zhàn)勝困難積極向上的心理體驗 3、合作學習，多渠道信息反饋。 小組合作學習在教學過程中有著不可忽視的優(yōu)勢，它可以使每個學生都能參與到教學中來。本教學案我把水平不同的前后四個同學分為一組，編好學號并選好組長。當需要進行分組討論時，由組長負責，學生按不同的編號順序進行討論。討論時小組內(nèi)可以以一人為中心發(fā)言人，其他同學如意見基本相同，可

22、適當補充；如有不明白的地方可以質(zhì)疑；如有不同觀點可以反駁。這樣通過小組成員互相幫助，互相交流，可以共同進步，并促進良好學習習慣的養(yǎng)成。 在這節(jié)課里，我充分運用直觀性教學原則、現(xiàn)實性教學原則、多樣性教學原則、活動性教學原則和過程性教學原則，在本節(jié)課的教學中，力求做到了以下幾點：： 1、注意創(chuàng)設(shè)良好的問題情景。教學中注意了用學生自身和周圍環(huán)境中的現(xiàn)象、以其他學科中的問題為知識學習的切入點。突出了數(shù)學與現(xiàn)實世界、與其他學科之間的聯(lián)系，使學生感受到數(shù)學的現(xiàn)實意義和應(yīng)用價值，為教學內(nèi)容的展開奠定了比較好的基礎(chǔ)。 2、較好地貫徹了循序漸進的教學原則。在教學中，我注意先從單個幾何體的觀察研究再到

23、多個幾何體的組合的研究。這樣，分散了學習上的難點，使學生對新的知識有一個不斷深入的過程，效果較好。 3、注重在教學中發(fā)揮學生的積極主動性和參與性。在整節(jié)課的教學中，我始終注重讓學生在教學活動中自主探索、參與。例如，通過小組活動，讓學生自己體會與感受從不同的方向看同一物體看到不同的結(jié)果，發(fā)展學生的空間觀念。讓學生在參與活動的過程中“做數(shù)學”,親身體驗概念的形成過程,采取自主探索與小組合作學習的學習方法,使學生快樂、輕松的成為學習的“主人”,體會獲得成功的喜悅.通過實施小組合作學習,提高了學生的合作參與意識和能力，為學生學生提供了互相交流、認識、了解的機會，培養(yǎng)了學生的合群性，培養(yǎng)了學生善于傾聽

24、別人意見和幫助他人共同提高的好品質(zhì)。 4、注意拉近數(shù)學和現(xiàn)實生活的距離。在教學中，通過欣賞生活中物體坦克、戰(zhàn)斗機的三視圖圖片，讓學生感受三視圖在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用價值，體會現(xiàn)實生活中處處有圖形，處處有數(shù)學。 5、注意了知識的遷移。整個教學過程的舉例、活動等不是為了就事論事，到此為止，而是讓學生由“從不同方向觀察物體”遷移到能在學習和生活中“從多角度認識問題、多種形式表現(xiàn)問題、多種策略思考問題”，從而提高他們的整體素質(zhì)，效果比較好。 6、多媒體的運用促進了教學目的的實現(xiàn)。在這節(jié)課中，認真地制作了教學課件，整個課堂圖、文、聲三者并茂，調(diào)動了學生的興趣，較好地促進了教學目標的實現(xiàn)。 新教材的一

25、個顯著特點是，每一節(jié)都為教師搭建了一塊平臺，給了教師在這個平臺再創(chuàng)造的空間，要求教師創(chuàng)造性的開發(fā)使用教材。教學內(nèi)容的設(shè)計要具有多樣性、開放性、挑戰(zhàn)性，善于創(chuàng)設(shè)情境使學生參與到知識發(fā)生、發(fā)展過程中，充分保障學生自主學習的時間和空間，不失時機地創(chuàng)造學生合作交流、動手實踐的機會，使學生真正成為課堂的主人。課堂氣氛活躍、民主、和諧、活動廣泛并恰當運用現(xiàn)代化教學技術(shù)。 新課程，新的教學過程和新的教學方式，對教師是巨大的挑戰(zhàn)，這種挑戰(zhàn)不僅是來自觀念方面的，也來自專業(yè)發(fā)展方面的。個人專業(yè)方面的發(fā)展最重要的是依靠個人的實踐、反思。因此，“與新課程一起成長”絕非是一句口號，我們應(yīng)努力地實踐——反思——再實踐！