【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】關(guān)于某些線性幾何不等式的研究與推廣

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1、 19 20 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題目: 關(guān)于某些線性幾何不等式的研究與推廣 學(xué)生姓名 學(xué)號 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級 指導(dǎo)教師 評閱教師 完成日期 **年 **月 **日

2、 學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的研究成果。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。本人完全意識到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 作者簽名： 年 月 日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解學(xué)校有關(guān)保障、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意學(xué)校保留并向有關(guān)學(xué)位論文管理部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)省級優(yōu)秀學(xué)士學(xué)位論文評選機(jī)構(gòu)將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫

3、進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編本學(xué)位論文。 本學(xué)位論文屬于 1、保密 □，在_________年解密后適用本授權(quán)書。 2、不保密 □。 （請?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“√”） 作者簽名： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 年 月 日 目 錄 摘要……………………………………………………………………………………………（4） 關(guān)鍵詞…………………………………………………………………………………………（4） 前言……………………………

4、………………………………………………………………（4） 一、平面上一動點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和的線性幾何不等式…………………………（5） 二、有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓半徑等的線性幾何不等式………………………………………（11） 1、歐拉不等式及其一種簡捷證明 ……………………………………………………… （11） 2、關(guān)于與半周長的銳角三角形不等式…………………………………………… （12） 三、關(guān)于三角形面積的線性幾何不等式及其推廣 …………………………………… (13) 1、Oppenheim不等式的多邊形推廣 ……………………………………………………… （

5、13） 2、Oppenheim不等式的高維推廣 ……………………………………………………… （14） 四、三角形中線的線性不等式及其推廣……………………………………………… （15） 五、關(guān)于三角形線性幾何不等式的猜想……………………………………………… （17） 六、 一個(gè)線性幾何不等式的修正 ……………………………………………………… （18） 七、總結(jié)…………………………………………………………………………………… （18） 致謝………………………………………………………………………………………… （18） 參考文

6、獻(xiàn)…………………………………………………………………………………… （19） 關(guān)于某些線性幾何不等式的研究與推廣 學(xué) 生：徐 毅 指導(dǎo)教師：王衛(wèi)東 三峽大學(xué)理學(xué)院 摘要：三角形中的幾何不等式研究已取得了非常豐富的成果，本文主要圍繞已知的線性幾何不等式進(jìn)行研究，給出三角形中一些新的線性幾何不等式，并包含了作者的某些猜想。而三角形中的某些線性幾何不等式直接推廣到維單形并不是一件容易的事，因而在推廣到四面體中乃至維單形時(shí)還有許多幾何不等式值得探討和研究。因此本文在這個(gè)方面做了些工作，從而進(jìn)一步發(fā)掘和證明了一些線性幾何不等式。 Abst

7、ract：The research of the triangle geometric inequality has obtained very rich of the outcomes. This paper studies mainly some new linear triangle geometric inequalities, focusing on the linear geometric inequalities which are known, and it also includes some conjectures of the author. But it is not

8、an easy task to directly extend the linear triangle geometric inequality to the n-simplex, thus there are many geometric inequalities worthing exploring and researching when we extend the linear geometric inequality to the tetrahedron and the n-simplex. So this paper has done some work in this field

9、 and further explored and proved some linear geometric inequalities. 關(guān)鍵詞：三角形； 線性幾何不等式； 四面體 ；維單形 Key words： triangle；linear geometric inequality；tetrahedron ； n-simplex 前言 幾何不等式是一個(gè)魅力無窮的數(shù)學(xué)分支,20世紀(jì)70年代以來不等式的研究成果超過了前300年的六、七倍，不等式的一些專題——幾何不等式，它的研究得到了蓬勃發(fā)展。幾何不等式目前已有許多專著，國內(nèi)外出版的數(shù)學(xué)雜志，特別是美國數(shù)學(xué)月刊，大量

10、刊登了各種幾何不等式的論文。20世紀(jì)90年代以來，由中國科學(xué)院成都計(jì)算機(jī)研究所楊路研究員研究開發(fā)的不等式型機(jī)器證明軟件“BOTTEMA”的問世和不斷升級，為證明和發(fā)現(xiàn)新的幾何不等式提供了強(qiáng)有力的工具，劉保乾先生等借助這種軟件已經(jīng)發(fā)現(xiàn)和證明了幾千個(gè)三角形幾何不等式。不等式的方法在迅速擴(kuò)大，“國際一般不等式會議”每2—3年就舉行一次，并出版會議文集。 我國在初等幾何不等式研究方面取得了在國際上居于領(lǐng)先水平的一系列成果，國內(nèi)形成了以楊學(xué)枝、劉保乾、陳計(jì)等為代表的中國幾何不等式的研究小組，在高維幾何不等式研究方面，國內(nèi)主要以楊路、張景中、蘇花明、冷崗松、楊世國、張含芳、匡繼昌、單墫等為代表。其中楊路

11、教授和張景中院士在距離幾何不等式的研究方面做了許多開創(chuàng)性工作，研究成果居于世界領(lǐng)先地位。在楊—張的帶領(lǐng)下，中國出現(xiàn)了一批研究幾何不等式的精英，形成了“中國學(xué)派”，取得了居于國際領(lǐng)先地位的一些成果。目前，幾何不等式在三角形里面取得非常豐碩的成果，而在四面體中乃至維單形體中也取得很大成果和突破。 幾何不等式的研究不僅兼顧了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和各類數(shù)學(xué)競賽的需要，對中學(xué)數(shù)學(xué)的競賽和教學(xué)有較好的指導(dǎo)性，而且其在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中仍占有十分重要的地位。從證明方法上看，許多幾何不等式的證明要用到高等數(shù)學(xué)的工具，充分體現(xiàn)了初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在思想方法上的繼承性和相互滲透性。 線性幾何不等式在幾何不等式中具有

12、十分重要的地位，它不僅形式簡單優(yōu)美，而且在幾何不等式證明中有著較廣泛的應(yīng)用， 如著名的Erdos-Mordell不等式、聯(lián)系三角形中主要度量元素（邊長，高，中線，內(nèi)角平分線，內(nèi)切圓、外接圓半徑等）的線性不等式。 本文主要從平面三角形中已知的主要線性幾何不等式，聯(lián)系三角形高、中線、內(nèi)角平分線的線性幾何不等式出發(fā)，發(fā)現(xiàn)新的線性幾何不等式，如三角形的內(nèi)切圓、外接圓半徑與半周長，平面上一動點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離之和與內(nèi)角平分線長之和的關(guān)系探討等；對平面三角形中已知的某些線性幾何不等式進(jìn)行不同角度（邊數(shù)和維度）的推廣，例如：給出在維單形中的相應(yīng)幾何不等式，如著名的Euler不等式的高維推廣形式，聯(lián)系三角形高、

13、中線、內(nèi)角平分線等的某些線性不等式的高維推廣。 一、 平面上一動點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和的線性幾何不等式 設(shè)為平面上一動點(diǎn)，用的常見幾何元素來表示的和式的下界是一個(gè)值得研究的幾何不等式問題。本文恒用記號;;;;分別表示的三邊長、中線、內(nèi)角平分線、高、類似中線和過 Gergonne的 Ceva線長；分別表示的半周長、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑和面積；表示的內(nèi)心，∑ 表示循環(huán)求和，例如。本節(jié)應(yīng)用 Fermat問題的結(jié)論，證明了平面上一動點(diǎn)至三頂點(diǎn)距離之和的一個(gè)較強(qiáng)的線性不等式，由之導(dǎo)出幾個(gè)推論，下面先給出幾個(gè)引理。 引理1.1 設(shè)是平面上一動點(diǎn)(Fermat問題的結(jié)論)． (I

14、) 當(dāng) 時(shí)，有 ≥ （1） (II)當(dāng)> 時(shí) ，有 （2） 引理1.2 在中，若最大頂角不大于（），則對于任意實(shí)數(shù)，總有 （3） 其中 （4） 當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形或者為最大頂角等于的等腰三角形時(shí)，(3)式取等號。 引理 1.3 在中 ，若 時(shí)，有 （5） 當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形或者為最大頂角等于的等腰三角形時(shí)，(5)式取等號。

15、 證明：在（4）中，取，得 將， 代入（3）式得 即 上式開方即得不等式(5)，引理1.3獲證。 在本文里，我們用到了類似中線的概念，所謂類似中線是指三角形的任意一個(gè)頂點(diǎn)（如）與其對邊（如）上的一點(diǎn)的連線滿足 的線段；我們將該類似中線記作，其中為相對應(yīng)的中線。 引理 1.4 在中，有 （6） 證明 : 根據(jù) ， ； ； ； 所以不等式(6)等價(jià)于

16、 （7） 不妨設(shè) a≥ b≥ C，則易證 ； ； 又易證，所以欲證(7)式 ，只需證 上式化簡等價(jià)于 最后一步顯然成立 ，也即(7)、(6)式成立，從而引理1.4獲證。 引理 1.5 在ABC 中，有 （8） （9） （10） 以上三角形恒等式證明簡單，由 與 可以計(jì)算得到，證明從略。 下面證明的定理即為陳計(jì)先生在文獻(xiàn)[2]中提出的猜想。 定理1.1 設(shè) P是平面上任意一點(diǎn)

17、，則 （11） 當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形且P為其中心時(shí)，（11）取等號。 證明： 證明王振提出的更強(qiáng)的不等式（參閱文獻(xiàn)[3]） （12） 根據(jù)引理1.1，下面分兩步證明 (I) 當(dāng) max(A，B，C)≤ 時(shí)，只需證 （13） 由引理1.3得 （14

18、） 而依據(jù)引理1.5及恒等式 可得 = 再由恒等式 ,,欲證(12)，只需證 上式展開整理等價(jià)于： 上式分解整理等價(jià)于： 據(jù) Gerretsen不等式和 Euler不等式 R≥ 2r，易知上式成立 ，故(12)成立． (II)當(dāng) 時(shí)，只需證 （15） 因?yàn)? ，所以上式只需證 而，上式只需證 因?yàn)?，所以只需證 最后一步顯然成立，以上每步均可逆．故不等式(15)成立。 綜上不等式

19、(12)成立，由Cauchy不等式可知： 顯然不等式（12）較不等式（11）更強(qiáng)，也即不等式(11)成立，定理證畢。 根據(jù)引理1.4，不等式(12)及 Cauchy不等式可得 推論 1.1 設(shè) P為平面上一動點(diǎn) ，則 （16） 根據(jù)及不等式(11)可得 推論 1.2 設(shè) P為平面上一動點(diǎn) ，則 （17） 不等式(*) 的另外一種輪換式為

20、 （18） 由不等式(*)及不等式(18)相加化簡，即得 推論 1.3 設(shè) P 為平面上一動點(diǎn) ，則 （19） 注：不等式(11)與不等式(16)，不等式(17)與不等式(18)不分強(qiáng)弱．不等式(19)與不等式 (17)，(18)不分強(qiáng)弱。 眾所周知,費(fèi)馬 （Fermat） 點(diǎn)是三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離之和取最小值的點(diǎn), 該點(diǎn)與三頂點(diǎn)相連,每兩條連線所夾的角。 那么,三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各頂點(diǎn)的距離和有沒有最大值點(diǎn)

21、呢？ 定理1.2 中，，是內(nèi)的任意一點(diǎn), 則 證明：如圖，是內(nèi)的任一點(diǎn),過分別作,分別交邊于點(diǎn). 設(shè),由于, 故，于是 由于，可以得到；又因?yàn)?，所以 , 即， , 于是 由上可得 , , 由定理1.2可以推知：三角形內(nèi)的點(diǎn)到三頂點(diǎn)的距離和無最大值,但卻存在一個(gè)上界。 二、有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓半徑等的線性幾何不等式 1、歐拉不等式及其一種簡捷證明 定理2.1 的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之間的不等式，即著名的Euler不等式：

22、 （20） 當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)，不等式（20）等號成立。 歐拉不等式的證明方法有很多，但都不容易。本節(jié)給出應(yīng)用三角形的邊變換及均值不等式的一種簡捷證法。 設(shè) ，則 ； 證畢. 由此，數(shù)學(xué)中的變換和轉(zhuǎn)化的巨大作用可略見一斑。 Euler 不等式有很多加強(qiáng)形式，它的一個(gè)加強(qiáng)的線性幾何不等式為： 當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時(shí)，該不等式取等號。 Euler 不等式在維單形的推廣表達(dá)形式為： 在維單形中，與分別為的外接球和內(nèi)切球的半徑，則有

23、 （21） 僅當(dāng)單形為正則單形時(shí)，（21）取等號。 2、關(guān)于與半周長的銳角三角形不等式 引理2.2 二次不等式 （22） 對銳角三角形成立的必要條件是： ， （23） 充要條件是（23）式以及 （24） 特別地，當(dāng)（23）取等號，即 時(shí)，（22）化為 （25） 則

24、（25）成立的充要條件是（24）式成立。 定理2.2 使銳角三角形不等式 （26） 成立的最大常數(shù) 證明：不妨設(shè)，則（26）等價(jià)于 于是根據(jù)引理2.2知上式成立，當(dāng)且僅當(dāng) 且 ， 即 證畢. 三、關(guān)于三角形面積的線性幾何不等式及其推廣 A.Oppenheim曾建立了如下的結(jié)果：設(shè)的邊長，面積，外接圓半徑分別為 ，則以 為邊長的的面積滿足

25、 （27） 1、Oppenheim不等式的多邊形推廣 引理3.1 設(shè)平面凸邊形的面積為，各邊長分別為,；再設(shè)實(shí)數(shù)，且，則 (28) 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)此邊形內(nèi)接于圓，且 其中為圓半徑。 定理3.1 設(shè),和分別是凸邊形和的邊長和面積，則以 為邊長的圓內(nèi)接邊形的面積滿足不等式

26、 （29） 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)和是相似的圓內(nèi)接凸邊形。 證明 ：將不等式（28）分別用于凸邊形和，得 和 現(xiàn)將上面兩式的兩邊分別相加，得 （30） 再令 其中為凸邊形的外接圓半徑，則（30）的左邊，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)與為相似的圓內(nèi)接凸邊形。 2、Oppenheim不等式的高維推廣 引理3.2 若,是維單形，分別表示的體積，設(shè)的頂點(diǎn)是；的頂點(diǎn)是，且，用來表示 所成的維單形的面積，表示與的夾角，則有不等式

27、 （31） 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)單形對應(yīng)相似。 定理3.2 設(shè)維單形與的棱長及體積分別為與，，則以 為棱長的維單形的體積滿足不等式 （32） 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)單形與對應(yīng)相似。 證明：將單形代替引理3.2中的，得 （33） 將（33）與（31）相加，得 兩邊同除，即得 ， 等號成立當(dāng)且僅

28、當(dāng)且，即。 四、三角形中線的線性不等式及其推廣 引理4.1 三角形的一中線的2倍小于夾此中線兩邊之和。 證明：設(shè)是的一條中線，延長到，使，連接，則 ，從而。 在中，有 即 定義4.1 連接四面體的一個(gè)頂點(diǎn)和這個(gè)頂點(diǎn)所對的面（每個(gè)面都是三角形）的重心的線段稱為這個(gè)四面體過這個(gè)頂點(diǎn)的一條中線。 苗國證明了：四面體的四條中線共點(diǎn)，且這點(diǎn)把四面體的每一條中線都分成3：1的兩段。 現(xiàn)在把三角形這個(gè)中線的線性不等式推廣到3維四面體中： 定理4.1 四面體的一條中線小于夾此中線的三條棱長和的。 證明： 設(shè)四面體的頂點(diǎn)所對

29、的面的重心為，連接,并分別延長交于E，E為中點(diǎn)。取的中點(diǎn)F，連接、。因是的重心，，故、分別為與的中線。由引理知 （34） （35） (34)2，得 （36） 由（35）與（36），知 ∴

30、 （37） 又是的中線，由引理，得 （38） 再由（37）與（38），得 即 定理4.2 四面體四中線之和大于六棱和的，小于六棱和的。 證明： 設(shè)四面體的六棱長分別為 ，由定理4.1可得： ，同理有 ，， 四式相加，得 設(shè)四面體的重心為,由文[11]知 ，故，同理有。在中，，即 就是 仿此有 ，，，

31、 ， 以上六式相加得: 所以 綜上有 ，定理證畢。 維單形可以看成有個(gè)頂點(diǎn)的廣義四面體，四面體就是3維單形，采用類似的方法不難把該定理推廣到維單形。 五、關(guān)于三角形線性幾何不等式的某些猜想及其它 1982年，席竹華在證明 時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)很細(xì)致的不等式： 由此易知 ，針對這一不等式，我們詳細(xì)考察了，與之間的不等式關(guān)系，提出： 猜想5.1： （a） ； (b) ； 注意：不等式（a）要強(qiáng)于

32、 六、一個(gè)線性幾何不等式的修正 文[13] 給出了如下的幾何不等式：在中，，為高， 則有：. 由條件易知：當(dāng)時(shí)，，，上述不等式顯然取到等號,正確的結(jié)論應(yīng)為。另一方面，從證明過程來看，原文僅對為銳角的情形予以證明，對為鈍角的情形未加說明，雖然二者證法相同，但圖形位置卻是不同的。在文[13] 的證法中,沒有分類討論是導(dǎo)致錯(cuò)誤的根本原因,為了避免分類討論和添加輔助線,下面給出該不等式 （修正后的） 的另一證法。 證明： 記的面積為， 因?yàn)? ，所以 , 從而 ; 又 即 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）

33、 故 即 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）。 綜上有： 定理5.1 中，，分別為三角形邊，上的高， 則有 . 七、總結(jié) 本文從多個(gè)角度考察了三角形中存在的一些線性幾何不等式，并對其進(jìn)行了理論證明；對于提出的某些線性幾何不等式，對它們進(jìn)行了不同形式的推廣。當(dāng)然里面也收錄了某些已知的不等式（如歐拉不等式），本文主要給出了它的一種新的證明。除此之外，在文章最后作者還提出了兩個(gè)線性幾何不等式的猜想，修正了一個(gè)文獻(xiàn)的結(jié)果，文中提出的線性幾何不等式（如定理2.2）正是對他人提出的猜想的一種解答，這充分說明了數(shù)學(xué)是在“猜想”中發(fā)展和進(jìn)步的。 致謝

34、本論文是在王衛(wèi)東老師的指導(dǎo)下完成的.從開始到完成，王衛(wèi)東老師給我提出了寶貴的意見，尤其在文獻(xiàn)資料方面和論文細(xì)節(jié)處理上.在此，特向王衛(wèi)東老師表示感謝！ 參考文獻(xiàn) [1] 楊學(xué)枝，關(guān)于三角形的兩類不等式[J]，湖南教育學(xué)院學(xué)報(bào)，1997，17(2)，32～37. [2] 陳計(jì)，三角形中的線性不等式[A]，單墫主編，幾何不等式在中國[C]，南京：江蘇教育出版社，1996． [3]劉健，褚小光，一個(gè)新的與 Fermat問題相關(guān)的幾何不等式[J]，華東交通大學(xué)學(xué)報(bào) ，2003，1，89～93. [4]褚小光，關(guān)于 PA+PB+PC的下界[J]，不等式研究通訊，2003，5，27～2

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