【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文】微元法在物理解題中的應(yīng)用

畢 業(yè) 論 文 微元法在物理解題中的應(yīng)用 指導(dǎo)教師姓名： 申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別： 學(xué)士 學(xué)科、專業(yè)名稱： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 論文提交日期： 論文答辯日期: 學(xué)位授予單位： 答辯委員會(huì)主席： 評(píng) 閱 人： 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 i 微元法在物理解題中的應(yīng)用 摘要 微元法是分析連續(xù)過程積累的一種方法，故在普通物理學(xué)中應(yīng)用廣泛在進(jìn)入大學(xué)學(xué) 習(xí)之初，常常因從中學(xué)的恒力問題過渡到變力問題，時(shí)而思路混亂，于是牛頓采用“微 元”方法處理分析物理現(xiàn)象，創(chuàng)立微積分學(xué)本文追隨著大師的思想，介紹物理解題所 采用的微元法在力學(xué)和電磁學(xué)方面的具體的應(yīng)用 關(guān)鍵詞：微元法，萬有引力，牛頓運(yùn)動(dòng)定律，磁通量 微元法在物理解題中的應(yīng)用 ii The Apply of Element method In Solving Physics Problems ABSTRACT Element analysis is the process of continuous accumulation of a method, Therefore, in general physics widely used. At the beginning of the study to enter university, often because of the constant force from the secondary issue of the transition to change, sometimes confusing ideas, So Newton used“element method”Dealing with the physical phenomena analysis, the creation of Calculus. This paper recovery with a master of thinking on solving physics problems by using the Element method in mechanics and electromagnetic fields of science, the specific application. KEY WORDS: Element method, Universal Gravitation, Newtons Laws of Motion, Flux 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 iii 目 錄 第一章 緒 論 1 第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 1 2-1 微元法的定義 1 2-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ) 3 第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 4 第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 6 第五章 總結(jié) 8 參考文獻(xiàn) 9 致 謝 10 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 1 第一章 緒論 “微元法”是在物理解題時(shí)所采用的一種特殊的分析方法這種方法的精髓就是把確定的研究對(duì)象 分割為無限多個(gè)無限小的部分，然后抽取其中一部分加以研究，通過對(duì)所抽取的這一部分的研究，就 可以認(rèn)為是整體或全過程的性質(zhì)和規(guī)律，它實(shí)質(zhì)上是“從復(fù)合到單一，從單一到復(fù)合”的分析與綜合 思維方法，因此微元法具有廣泛的應(yīng)用性 第二章 微元法的定義及應(yīng)用理論基礎(chǔ) 2-1 微元法的定義 所謂微元法就是指將連續(xù)的（線，面，體）看成無數(shù)個(gè)無限?。ň€元，面元，體元）的集合，整 個(gè)物體的物理量就變?yōu)闊o限個(gè)小微元相應(yīng)物理量的“無限積累” ，從而將物理問題“翻譯”成為數(shù)學(xué)問 題的一種方法微元法在某些文獻(xiàn)中被命名為元過程分析法，它把一個(gè)極小的微元過程和一個(gè)大過程 視為本質(zhì)上的相同只要分析透了微元的物理狀況（實(shí)際上可推廣到一切動(dòng)態(tài)變化）及其邊界條件的 相互關(guān)系，就可以根據(jù)定積分去推倒全過程的基本規(guī)律 在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，有大量的問題，定量求解它們的途徑都可以歸結(jié)為一種和的極限的運(yùn)動(dòng)，這 種運(yùn)算，經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象，就成為定積分微元法概念這類問題，在力學(xué)中比比皆是，也就是說，在力 學(xué)中，有不少的物理量，可以借助于微元法來計(jì)算其滿足條件的數(shù)值大小或分析其作為變量的變化期 間和變化規(guī)律，所以，定積分在力學(xué)中得到廣泛的應(yīng)用 應(yīng)用定積分理論解決力學(xué)實(shí)際問題的第一步是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，這一步往往比較困難，而微元 法（亦稱為微元法分析法，元素法）恰是解決這一困難，實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)換的有力 設(shè)求解的實(shí)際問題可化為在區(qū)間 上的某個(gè)量 ，如果我們?cè)诰哂写硇缘娜我恍^(qū)間,abF 上，以 “勻代不勻”或“不變代變”找到這個(gè)量的微元,則根據(jù)微元 ,則根據(jù)微,xd ()dFfx 分基本定理，這個(gè)量就可以應(yīng)用定積分 計(jì)算顯然，解決問題的關(guān)鍵是在微()()bafxd 小的局部上進(jìn)行數(shù)量分析，尋找并列出正確的微分式，故而這種方法稱為微元法 2-2 微元法的應(yīng)用理論基礎(chǔ) 2-2-1 微元法的理論基礎(chǔ) 我們知道，能夠應(yīng)用微元法求解的量 應(yīng)該具備下列條件：F 微元法在物理解題中的應(yīng)用 2 （1）它是一個(gè)與變量的變化區(qū)間 有關(guān)的量；,ab （2）它對(duì)于區(qū)間 具有可加性，即如果把 分成若干個(gè)小區(qū)間，則它能相應(yīng)地分成若干,ab, 個(gè)對(duì)應(yīng)的部分量，且該量就等于所有部分量之和； （3）部分量 的近似值可以表示為 ，這樣就可以用定積分來表示這個(gè)量 iF()ifxF 將滿足上述條件的量 寫成可運(yùn)算的積分表達(dá)式的步驟可歸納為： （1）根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量（例如 ）作為積分變量并確定它的變化區(qū)間 ；,ab （2）將區(qū)間 分成若干個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記作 ，求出相應(yīng)與這個(gè)小,ab ,xd 區(qū)間的部分量 的近似值，如果 能近似地表示為 x 的一個(gè)連續(xù)函數(shù) 與 的乘積（這里FFf 與 相差一個(gè)比 高階的無窮?。?，就可以將它記作為 ，即 ；fxddx F()x （3）以所求量 的微元 為被積表達(dá)式，在區(qū)間 上作定積分得：f ,ab ()baFfxd 結(jié)果即為所求的實(shí)際量，根據(jù)所求問題的不同，它可以是一個(gè)具體的數(shù)值，也可以是一個(gè)函數(shù) 作為微元法應(yīng)用的實(shí)例，我們考察一個(gè)以速度定積分 作變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，欲求它在時(shí)間vt 間隔 內(nèi)產(chǎn)生的位移的大小,ab 在這里，速度是一個(gè)隨時(shí)間變化的量，因此求該質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間 內(nèi)產(chǎn)生的位移就不能冒失的應(yīng),ab 用 這樣的簡(jiǎn)單公式了，但只要我們注意到質(zhì)點(diǎn)的速度是連續(xù)變化的，即它是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，xvt 在一段很短的時(shí)間內(nèi)，它的變化很小，近似不變，這就為我們提供了以“不變代變”的條件，而且所 取的時(shí)間間隔越短，這種近似代替的精確度就越高 我們所求的位移具有可加性，即質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔 內(nèi)的總位移等于每一個(gè)小區(qū)間的位移之和，,ab 這樣就使它具備了用微元法求解的條件具備了條件就可以著手解決問題了，首先“化整為零” ，把時(shí) 間區(qū)間 用分點(diǎn) 、 、 、 ，分為 段，而且滿足 ，這樣,ab0t12t1ntn011nttb 各段區(qū)間長(zhǎng)為 ， ， ，設(shè)質(zhì)點(diǎn)在第 個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)所產(chǎn)生的位11ti 移為 ，在這一短暫時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的速度變化很小，可近似視為不變，因此質(zhì)點(diǎn)在這一短暫時(shí)ix 間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)就可視為勻速運(yùn)動(dòng)而利用公式 求其位移了，即 ;把各個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的xvt ()iixvt 位移相加，即得 ，當(dāng) ，即可得到此變速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在 時(shí)間內(nèi)的位移 10()niixvt0it,ab 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 3 ，當(dāng)全部的 同時(shí)趨于 0 時(shí)， 的極限存在，則此極限值就是質(zhì)點(diǎn)的位移，也就 10lim()nitxvtitx 是函數(shù) 在區(qū)間 上的定積分 yt,ab()bavtd 由此，我們可以歸納出如下的解題步驟： （1）由于質(zhì)點(diǎn)的速度 是隨時(shí)間變化的，因此選取 作為積分變量，其變化區(qū)間為 ；vt ,ab （2）將 分為若干個(gè)小區(qū)間 ， ，在任意小區(qū)間 內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)的位移 ，,ab0t1ntit()iixvt 因?yàn)樗俣鹊淖兓沁B續(xù)的，因此 可以表示為一個(gè)連續(xù)函數(shù) 與 的乘積，此時(shí)可將它記作 ，ixvdd 即 ；dxvt （3）以所求量 的微元 為被積表達(dá)式，在區(qū)間 上作 ，對(duì)于具體問題，xvtd,ab()baFvt 的積分后代入，下限 即可得到運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在在區(qū)間 上的位移vt ,ab 上述步驟亦可規(guī)律化為： （1）根據(jù)實(shí)際問題性質(zhì)確定積分變量及其變化區(qū)間； （2）將變量的變化區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，求出每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)待求量的表達(dá)式，這就是所謂 的“化整為零” ； （3）待求量在變量的變化區(qū)間內(nèi)具有可加性，利用求和的方法將對(duì)應(yīng)于每一個(gè)小區(qū)間的待求量的 部分量相加，這就是所謂的“集零為整” ，得到待求量的近似值； （4）當(dāng)每一個(gè)小區(qū)間的原寬度趨與零時(shí)，即可得到待求量的極限，也就是待求量的準(zhǔn)確值 2-2-2 本文所涉及的物理學(xué)知識(shí)： 萬有引力定律質(zhì)量分別是 和 的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的引力為 其中 是1M2 12123MFGr12F 作用在 上的引力， 是由 指向 的矢徑 是萬有引力系數(shù)；年國(guó)際科學(xué)聯(lián)1M212r12 盟理事會(huì)科技數(shù)據(jù)委員會(huì) 推薦的數(shù)值為 ；CODAT1326.72590Gmkgs 重力加速度 ；Gmg29.8/gms 牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律 ；Fa合 水的靜壓力 為水的比重；v液 功率 由歐姆定律 ；PIR2VPIR 功 ；WFS 2T 微元法在物理解題中的應(yīng)用 4 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 對(duì)于空間形體，繞 , , 軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ，22()()xIyzdmdv ， y z ，22()()zIxyxyv ；22221()o xyzzdmzdI 真空中的靜電荷場(chǎng)強(qiáng)公式 ， 其中 K 是靜電力常量；2QEKnr ， ，其中 是電磁感應(yīng)強(qiáng)度；EBLVCBLV 電磁感應(yīng)定律 ， 其中磁通量 dtS 第三章 微元法在力學(xué)中的應(yīng)用 下面舉例說明說明微元的具體應(yīng)用 1 液體靜壓力 例 1 如圖（1）所示為一管道的圓形閘門（半徑為 3 米）問水平面齊及直徑時(shí)，閘門所受到的水 的靜壓力為多大？ 解：該圓的方程為 ，29xy 由于在相同深度處水的靜壓力相同，其值等于水的比重 與() 深度的乘積，故當(dāng) 很小時(shí)，閘門上從深度 到 這一狹xxx 小 上所受的靜壓力為A29Pd 從而閘門上所受的總壓力為 圖（1） 320918x 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 例 2 計(jì)算半徑為 ，質(zhì)量為 的均勻分布球體繞任一直徑及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量RM 解 在高等數(shù)學(xué)中對(duì)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，是微分法在物理學(xué)中的重要應(yīng)用之一對(duì)于空間形體， 繞 , , 軸及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義為xyz ，22()()Izdmyzdv ， (1)yxx 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 5 ，22()()zIxydmxydv 22221()o xyzzzI 在（1）式中 或 為質(zhì)量元或體積元，或積分元在不同的坐標(biāo)系中 有不同的表達(dá)式 為球dv dv 體密度，一般為 , , 的函數(shù)，在本題中因質(zhì)量均勻分布，故 為常量考慮到對(duì)稱性，xyz 34MR （球心在原點(diǎn)）應(yīng)有 ，只要求出其中一個(gè)如 ，則 ， 及 即可得到xyzIIxIyzIo 對(duì)（1）式微分，有 ,它表示質(zhì)量為 的質(zhì)量元繞 x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)22ddmyzdvdm 慣量，( )是 dm 到 x 軸的距離的平方，求出所有的 dm 對(duì) 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即得到整個(gè)球體的2yz x 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 在本題中，如用直角坐標(biāo)系，則有 ,則由（1）式有dxyz 222 2() ()RRxyx xIyzx zd 2 322213()Rxdy 212()Rd 563M 因 ，所以 25yzII 23125()oxyzIIMR 如用柱坐標(biāo)系，有 ， 則dmrz2r222 30RxzI ddz3204Rrr3222500()45RRrdr2325()4Rr 25MR 微元法在物理解題中的應(yīng)用 6 如用球坐標(biāo)系有 , ,有2sindmrd22sinyxr 43 342500si RzIrMRidr 25M 在該問題中用球坐標(biāo)系，計(jì)算較為簡(jiǎn)便 然而，在物理學(xué)中，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，往往不是通過計(jì)算三重積分的方法來進(jìn)行的如在本問題 中通常以圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 （ 為圓板質(zhì)量， 為圓板半徑）為基礎(chǔ)，把球體看成是由許多21Imrr 薄圓板組成，并把任一薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記為 , (2)21xdI 其中 為薄圓板質(zhì)量求出所有的薄圓板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和技即得到整個(gè)球體繞直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣dm 量每一個(gè)薄圓板都繞同一軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，且 ,將此式代入（2）式，注意到 ，dmyx22yxR 有 42211225()RxIyxMR 有時(shí)， 常常選取薄球殼，計(jì)算也非常方便，把球看作是由許多薄球殼所組成，由于薄球殼上dm 的每一點(diǎn)到球心的距離都相同，則每一球殼繞其球心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ， （3）2oIdr 且 ,將此代入（3）式有24dr ，4350RoIrMR 因 ，故 23312225()oxyzxyzIII 5z 第四章 微元法在電磁學(xué)中的應(yīng)用 3 功與平均功率 例 3 在純電阻電路圖(2) 中,已知交流電壓為 求mVSint 在一個(gè)周期 內(nèi)消耗在電阻 上的能量 ，并求0,T2RW 與之相當(dāng)?shù)闹绷麟妷?解：在直流電壓 下，功率 ，那么在時(shí)間 T內(nèi) 圖（2）0V0VPR 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 7 所做的功為 現(xiàn)在 為交流電壓，瞬時(shí)功率為 20VTWPR2()mtSint 這相當(dāng)于：在任意一小段時(shí)間區(qū)間 上，當(dāng) 很小是，可把 近似看作恒為,0,tTtV 的情形于是取功的微元 ,并由此求得mVSintdWPt22200()TmmVtSintdR 而平均功率則為 220 (/)1()TmmvPtdR 例 4如圖（4）所示，某人用力 轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為 的轉(zhuǎn)盤，力的大小不變；方向始終與用力的作F 用點(diǎn)的轉(zhuǎn)盤的切線一致，則轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周的過程中該力做多少功？ 解：在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一周的過程中，力 的方向時(shí)刻發(fā)生變化，但每一 瞬時(shí)力 總是與該瞬時(shí)的速度方向一致，即 在每一瞬時(shí)都與轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)過的F 極小位移 同向，這樣無數(shù)的極小位移 ， ， ， ， 都S1S23nS 與那一瞬時(shí)的力 同向，因而在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過程中，力 做功應(yīng)等于F 在各極小段位移所做功的代數(shù)和，即 圖（3）12nWFS () S R 4 場(chǎng)強(qiáng) 例 5如圖（4）所示，均勻帶電圓環(huán)所帶電荷量為 ，半徑為 ，圓心為 ， 為垂直于圓環(huán)QROP 平面的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)， ，試求 點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)OPL 解：設(shè)想將圓環(huán)等分為 個(gè)小段，當(dāng) 相當(dāng)大的時(shí)候，n 每一小段都可以看作點(diǎn)電荷，有真空中點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可求 得每一點(diǎn)電荷在 處的場(chǎng)強(qiáng)為： 圖(4)22QEKnrRL 其中 為靜電力常量由對(duì)稱性可知各微元帶電環(huán)在 處的場(chǎng)強(qiáng) 的垂直于軸向的PE 分量 相互抵消，而 E 的軸向分量 之和，即為帶電環(huán)在 P 處的場(chǎng)強(qiáng)為：y X 微元法在物理解題中的應(yīng)用 8 yxEn2cos()QkRL 22() 32QLkR 例 6如圖（5）所示，一無限長(zhǎng)的 形金屬導(dǎo)軌，豎直放置且置于足夠大的水平均勻磁場(chǎng)中，磁U 感應(yīng)強(qiáng)度 ，導(dǎo)軌間距為 ，上方串一耐壓力足夠大的電容器，電容為 ，開始時(shí)不帶電另有一根B C 質(zhì)量為 的金屬棒 ，可無摩擦地沿導(dǎo)軌滑動(dòng)而不脫落，設(shè)整個(gè)系統(tǒng)的電阻不計(jì)，金屬桿從靜止開mMN 始滑動(dòng)，問棒下滑高度 時(shí)的速度多大？h 解：設(shè)金屬桿運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)速度為 ，此時(shí)棒的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)V ，ELV 對(duì)應(yīng)電容器充電，電荷量為 QCEBL 如果換個(gè)角度考慮短暫時(shí)間 ，金屬桿速度變化為 ,電容器又被t 蟲微小電荷量 ，則有 ，充電電流為V 圖（5）ILCattt 其中 a 為此時(shí)棒的加速度，這時(shí)棒收到向上的安培力為 2FBILa 對(duì) 棒，根據(jù)牛頓第二定律有 即 故MNmg2mgCBL 從上式中知，加速度大小不變，這表明金屬棒在勻加速度下滑，當(dāng)棒下滑高度 時(shí)，h 速度為 22hvaCBL 第五章 總結(jié) 綜上所述，在物理解題計(jì)算時(shí)，對(duì)一個(gè)具體問題，在確認(rèn)可以用微元法求解時(shí)以后，一般可以按 如下法則列出積分式子求解： (1)選取相應(yīng)的坐標(biāo)系由于變量的變化區(qū)間總是與坐標(biāo)系的選取有著密切的關(guān)系，且坐標(biāo)系選取 恰當(dāng)，能夠簡(jiǎn)化求解過程，因此應(yīng)當(dāng)根據(jù)具體問題的需要選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； (2)選取適當(dāng)?shù)奈⒃?，將所求量的部分量根?jù)物理規(guī)律表示為作為積分變量的一個(gè)連續(xù)函數(shù)與微元 的乘積 (3)以上乘積為被積表達(dá)式，在變量的變化區(qū)間內(nèi)作定積分 (4)按照積分法則，求解定積分即可得到所求之物理量，在求解時(shí)，若積分變量與被積函數(shù)的變量 不相對(duì)應(yīng)，應(yīng)根據(jù)問題的物理內(nèi)涵或各量之間的幾何關(guān)系進(jìn)行積分變量的代換后方可進(jìn)行積分運(yùn)算 黃山學(xué)院畢業(yè)論文 9 參考文獻(xiàn)： 1 祝之光物理學(xué)（上冊(cè)） 高等教育出版社， 2 徐龍道物理學(xué)詞典科學(xué)出版社， 3 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)第三版） 高等教育出版社，2001 4 吳傳生數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（上冊(cè)） 中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 2004 5 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系一元微積分人民教育出版社，1996 6 漆安慎 力學(xué)基礎(chǔ) 高等教育出版社，1998 7陳秉乾等物理學(xué)難題集萃高等教育出版社，2001 8 原北京礦業(yè)學(xué)院高數(shù)教研組數(shù)學(xué)手冊(cè)煤炭工業(yè)出版社，1992 9孫翔峰，霍中夫勸學(xué) 人民日?qǐng)?bào)出飯社，1987 10陳東旭 高考任我行 吉林文史出版社，2002 微元法在物理解題中的應(yīng)用 10 致謝 本文的研究及工作是在項(xiàng)明寅副教授的關(guān)懷和悉心指導(dǎo)下完成的在三年多的求學(xué)生涯中，項(xiàng)老 師以其嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí)的治學(xué)態(tài)度，敏銳深邃的洞察力，高度的責(zé)任心和敬業(yè)精神，平易近人的工作作風(fēng)， 一直深深地影響和激勵(lì)著我，使我在學(xué)習(xí)上和生活上受益匪淺 感謝方輝副教授在學(xué)習(xí)和工作中的教導(dǎo)和支持，從他身上我獲得了許多寶貴的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，同時(shí) 也學(xué)到了更多為人處事的道理 最后衷心的感謝對(duì)我寄予厚望、又給予我無限關(guān)懷的父母，在此論文脫稿之際，向含辛茹苦的父 母表示由衷的感謝和崇高的敬意