《福師大網(wǎng)絡(luò)教育《復(fù)變函數(shù)》網(wǎng)絡(luò)作業(yè)答案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《福師大網(wǎng)絡(luò)教育《復(fù)變函數(shù)》網(wǎng)絡(luò)作業(yè)答案(10頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、復(fù)變函數(shù)作業(yè)一
一、判斷(對的用T表示,錯(cuò)的用F表示)
1、如果存在,那么在解析。( F )
2、。( F )
3、當(dāng)且僅當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),為實(shí)數(shù)。( F )
4、設(shè)在區(qū)域內(nèi)是解析的,如果是實(shí)常數(shù),那么在整個(gè)內(nèi)是常數(shù);如果是實(shí)常數(shù),那么在內(nèi)也是常數(shù)。( T )
2、 填空
1、= ;= 。
2、設(shè)是1的次根,,則= 0 。
3、在映射下,扇形區(qū)域的像區(qū)域?yàn)? 。
4、若,則= 。
三、計(jì)算
2、
1、 計(jì)算下列函數(shù)值:1);2)。
1)、
解:
主值 ,
2)、
解: 設(shè)3+4i的平方根是x+yi,x、y∈R,則有 x2-y2=3,且 2xy=4,
求得 x=2,y=1,或x=-2 y=-1,
故3+4i的平方根是 2+i,或-2-i,
故答案為:2+i,或-2-i
2、下列函數(shù)在復(fù)平面上何處可導(dǎo)?何處解析?
1) ; 2) 。
1) ;
解:
因?yàn)?f(z)=|z| 當(dāng)趨于0-時(shí) f(z)=|-1; 當(dāng)趨于0+時(shí) f(z)=|1; 右極限不等于左極限。
所以f(z)=|z|在z=0處不可導(dǎo),而在除0以外的其他地方都可導(dǎo)且解析。
3、
2) 。
解:
僅在直線上可導(dǎo),在復(fù)平面上處處不解析。
3、函數(shù)是否為解析函數(shù)?求出其導(dǎo)數(shù)。
解:不是解析函數(shù),因?yàn)闈M足條件的只有兩個(gè)點(diǎn),不成區(qū)域
4、已知,求。
解:
5、計(jì)算積分 1);
解:1);
2);
解:
在內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn),所以令,所以
3) ;
解:
4) 。
解:
四、證明:若積分路徑不經(jīng)過,則。
證明:如果
4、積分路徑不經(jīng)過,且不繞過, 則由柯西定理得,
若積分繞z=轉(zhuǎn) 圈,則積分值為
若繞z = -i轉(zhuǎn) 圈,則積分值為
故在一般情況下,積分值為
五、證明:設(shè)是的共軛調(diào)和函數(shù),問下列各對函數(shù)中后者是不是前者的共軛調(diào)和函數(shù)?判斷并給出理由:
1)(為常數(shù));
2)。
1)證明:
2) 不是 的共軛調(diào)和函數(shù)
證明:
因?yàn)樵谀硡^(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)一定是該區(qū)域內(nèi)某解析函數(shù)(可能多值)的實(shí)部或虛部,反之,某區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)其實(shí)部與虛部都是該區(qū)域內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。和不滿足此條件,應(yīng)該是2uv是的共軛調(diào)和函數(shù)。
綜上所述,不是 的共軛調(diào)和函數(shù)。
復(fù)變
5、函數(shù)作業(yè)二
一、判斷
1、在z=0收斂,在z=3發(fā)散。( F )
2、在區(qū)域內(nèi)解析,且在區(qū)間(-R,R)取實(shí)數(shù)值的函數(shù)f(z)展開成z的冪級數(shù)時(shí),展開式的系數(shù)都是實(shí)數(shù)。( T )
3、在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)不能展開成羅朗級數(shù)。( F )
4、z=0是的本性奇點(diǎn)。( T )
二、填空
1、的收斂半徑為 。
2、展開成z的冪級數(shù)的收斂半徑= 。
3、z=0是的 3 級零點(diǎn)。
4、以z=a為m級和n級極點(diǎn),則z=a為的 m+n 級 極 點(diǎn)。
三、計(jì)算
1、求在處的泰勒展開式
6、。
解:
2、 求
解:
3、 求在z=1處的泰勒展開式。
解:當(dāng)z=1時(shí),此函數(shù)的泰勒展開式為:(z-1)^3-(z-1)^2-3(z-1)
4、將在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)展開為羅朗級數(shù)。
解:
四、若為整函數(shù),且,則是不高于n 次的多項(xiàng)式。
證明:
當(dāng) 時(shí),令
當(dāng)時(shí),
復(fù)變函數(shù)作業(yè)三
一、 判斷題(對的用“T”表示,錯(cuò)的用“F”表示)
1、若在區(qū)域內(nèi)單葉解析,則在內(nèi)。( F )
2、線性變換將平面上的圓周變?yōu)閳A周或直線。( T )
3、解析函數(shù)具有保形性。(F )
4、函數(shù)在可去奇
7、點(diǎn)處的留數(shù)為0。( F )
二、 填空題
1、方程在單位圓內(nèi)有 6 個(gè)根。
2、關(guān)于的對稱點(diǎn)為 x+(y-1)=1 。
3、,則= -4 。
4、在點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)角為 ,伸縮率為 20 。
三、 計(jì)算題
1、
解:設(shè)
f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)],
f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)],
f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)],
則答案為 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)]
2、
解:
3、
解
8、:
4、求把平面的單位圓變?yōu)槠矫娴膯挝粓A,并使1成為不動(dòng)點(diǎn),使
變?yōu)闊o窮遠(yuǎn)點(diǎn)的線性變換。
解:依題意得,設(shè) ,因?yàn)?+i關(guān)于單位圓的對稱點(diǎn)為 ,無窮遠(yuǎn)點(diǎn)關(guān)于單位圓的對稱點(diǎn)是0,
5、 求把平面的單位圓 變?yōu)槠矫娴膯挝粓A的線性變換,使。
解:設(shè)圓周內(nèi)部一點(diǎn)Z=a()變?yōu)閣=0,點(diǎn)a(a0)關(guān)于單位圓周 對稱點(diǎn) ,應(yīng)該變?yōu)閣=0 關(guān)于單位圓周 的對稱點(diǎn) ,因此所求變換具有形式為:
其中 為常數(shù),
當(dāng) 時(shí), ,故取z=1,對應(yīng)點(diǎn)w滿足
因此令
從而所求的變換為