2016年三臺(tái)縣八年級(jí)上《第13章軸對(duì)稱》單元測(cè)試含答案解析.doc

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四川省綿陽市三臺(tái)縣《第13章 軸對(duì)稱》 　 一、填空題 1．若小紅站在鏡子前面看到她的運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼是508，則她的運(yùn)動(dòng)衣上的實(shí)際號(hào)碼是　?。? 2．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是　　． 3．等腰三角形的一個(gè)外角為40，則這個(gè)等腰三角形的底角為　?。? 4．若|2a﹣1|+（b﹣3）2=0，則點(diǎn)A（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　． 5．△ABC中，∠C=90，∠B=15，AB的中垂線交BC于D，若BD=4cm，則AC=　?。? 6．如圖，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是　　cm． 7．等腰直角三角形中，斜邊上的高為acm，則這個(gè)三角形的面積為　?。? 8．等邊三角形兩條中線的夾角是　?。? 9．如圖所示的幾個(gè)圖形中是軸對(duì)稱的有　　個(gè)． 10．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADB=45，BD=2，把△ABD沿AD翻折180，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則BB′的長等于　?。? 　 二、選擇題（3分×10=30分） 11．觀察下列中國傳統(tǒng)工藝品的花紋，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 12．等腰三角形的兩邊長分別為2和7，則它的周長是（　?。? A．9 B．11 C．16 D．11或16 13．將一張長方形紙片只折一次，使得折痕平分這個(gè)長方形的面積，這樣的方法共有（　?。? A．2種 B．4種 C．6種 D．無數(shù)種 14．等腰三角形是軸對(duì)稱軸圖形，它的對(duì)稱軸是（　　） A．過頂點(diǎn)的直線 B．底邊上的高 C．頂角的平分線所在的直線 D．腰上的高所在的直線 15．在△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，CD⊥AB于D，若AC=6，則BD等于（　　） A．6 B．3 C．9 D．12 16．若一個(gè)三角形的每一個(gè)外角都等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)三角形是（　?。? A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 17．在等邊三角形ABC中，CD是∠ACB的平分線，過D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的邊長為a，則△ADE的周長為（　?。? A．2a B． C．1.5a D．a(chǎn) 18．如圖，△ABC是等邊三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，則圖中60的角有（　　） A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 　 三、解答與證明 19．畫出下列圖形關(guān)于直線L的軸對(duì)稱圖形． 20．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB的垂直平分線交AC于D，垂足為E，若∠A=30，AC=6，DE=2，求∠BDC的度數(shù)和BD之長． 21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CE=CD，試判斷△BDE的形狀． 22．如圖，D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求證：∠P=30． 23．如圖，在正△ABC中，D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)，AE=CD，AD與BE交于點(diǎn)F，AF=BF．求證：CF⊥BE． 　 四川省綿陽市三臺(tái)縣《第13章 軸對(duì)稱》 參考答案與試題解析 　 一、填空題 1．若小紅站在鏡子前面看到她的運(yùn)動(dòng)衣上的號(hào)碼是508，則她的運(yùn)動(dòng)衣上的實(shí)際號(hào)碼是　?。? 【考點(diǎn)】鏡面對(duì)稱． 【分析】利用鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解．鏡面對(duì)稱的性質(zhì)：在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱． 【解答】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得“508”與“802”成軸對(duì)稱，故她的運(yùn)動(dòng)衣上的實(shí)際號(hào)碼是802． 故答案為：802． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查鏡面反射的原理與性質(zhì)．解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧． 　 2．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是　　． 【考點(diǎn)】關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可得答案． 【解答】解：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，2），則點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是（﹣3，2）， 故答案為：（﹣3，2）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律． 　 3．等腰三角形的一個(gè)外角為40，則這個(gè)等腰三角形的底角為　?。? 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)相鄰的內(nèi)外角互補(bǔ)可知這個(gè)內(nèi)角為140，所以另外兩個(gè)角之和為40，又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180，所以底角只能為20． 【解答】解：∵三角形相鄰的內(nèi)外角互補(bǔ)， ∴這個(gè)內(nèi)角為140， ∵三角形的內(nèi)角和為180， ∴底角不能為140， ∴底角為20． 故答案為：20． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角定理；判斷出40的外角只能是頂角的外角是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 4．若|2a﹣1|+（b﹣3）2=0，則點(diǎn)A（a，b）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為　　． 【考點(diǎn)】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【分析】根據(jù)絕對(duì)值和偶次冪都具有非負(fù)性可得2a﹣1=0，b﹣3=0，算出a、b的值，再根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反可得答案． 【解答】解：由題意得：2a﹣1=0，b﹣3=0， 解得：a=，b=3， 則點(diǎn)A（，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，﹣3）， 故答案為：（﹣，﹣3）． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，關(guān)鍵是正確計(jì)算出a、b的值． 　 5．△ABC中，∠C=90，∠B=15，AB的中垂線交BC于D，若BD=4cm，則AC=　　． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】連接AD，根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，再根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠BAD=∠B，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠ADC=30，最后根據(jù)30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答即可． 【解答】解：如圖，連接AD， ∵AB的中垂線交BC于D， ∴AD=BD=4cm， ∴∠BAD=∠B=15， ∠ADC=∠B+∠BAD=15+15=30， ∵∠C=90， ∴AC=AD=4=2cm． 故答案為：2cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀． 　 6．如圖，在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是　　cm． 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)． 【分析】分別利用角平分線的性質(zhì)和平行線的判定，求得△DBP和△ECP為等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得BD=PD，CE=PE，那么△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長，即為5cm． 【解答】解：∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線， ∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE， ∵PD∥AB，PE∥AC， ∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE， ∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE， ∴BD=PD，CE=PE， ∴△PDE的周長=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm． 故答案為：5． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行線的判定，角平分線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．本題的關(guān)鍵是將△PDE的周長就轉(zhuǎn)化為BC邊的長． 　 7．等腰直角三角形中，斜邊上的高為acm，則這個(gè)三角形的面積為　?。? 【考點(diǎn)】等腰直角三角形． 【分析】因?yàn)榈妊苯侨切涡边吷系母叩扔谛边叺囊话耄谑蔷涂梢郧蟪鲂边叺拈L度，進(jìn)而利用三角形的面積公式求解． 【解答】解：∵等腰直角三角形中，斜邊上的高為acm， ∴斜邊=2acm， ∴S=2a?a=a2（cm2）． 答：這個(gè)等腰直角三角形的面積是a2cm2． 故答案為：a2cm2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，解答此題的主要依據(jù)是：等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半． 　 8．等邊三角形兩條中線的夾角是　?。? 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】如圖，等邊三角形ABC中，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)知，底邊上的高與底邊上的中線，頂角的平分線重合，所以∠1=∠2=∠ABC=30，所以∠AFB=180﹣∠1﹣∠2．∠AFE=∠1+∠2． 【解答】解：如圖， ∵等邊三角形ABC，AD、BE分別是中線， ∴AD、BE分別是角平分線， ∴∠1=∠2=∠ABC=30， ∴∠AFB=180﹣∠1﹣∠2=120，∠AFE=∠1+∠2=60． 故答案為120和60． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)；得到AD、BE分別是角平分線是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 9．如圖所示的幾個(gè)圖形中是軸對(duì)稱的有　　個(gè)． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義，結(jié)合所給圖形進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：第一個(gè)是軸對(duì)稱圖形； 第二個(gè)是軸對(duì)稱圖形； 第三個(gè)不是軸對(duì)稱圖形； 第四個(gè)不是軸對(duì)稱圖形； 第五個(gè)不是軸對(duì)稱圖形； 故軸對(duì)稱的有2個(gè)． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 　 10．在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADB=45，BD=2，把△ABD沿AD翻折180，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，則BB′的長等于　　． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】作出圖形，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得BD=B′D，∠ADB=∠ADB′，然后求出△BDB′是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的斜邊等于直角邊的倍解答． 【解答】解：如圖，∵△ABD沿AD翻折180點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處， ∴BD=B′D=2，∠ADB=∠ADB′=45， ∴∠BDB′=45+45=90， ∴△BDB′是等腰直角三角形， ∴BB′=BD=2． 故答案為：2． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△BDB′是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　 二、選擇題（3分×10=30分） 11．觀察下列中國傳統(tǒng)工藝品的花紋，其中不是軸對(duì)稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義，結(jié)合各圖形進(jìn)行判斷即可． 【解答】解：A、不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確； B、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選A． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱的知識(shí)，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分沿對(duì)稱軸折疊后可重合． 　 12．等腰三角形的兩邊長分別為2和7，則它的周長是（　?。? A．9 B．11 C．16 D．11或16 【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【專題】分類討論． 【分析】在三角形中，兩邊之和大于第三邊．所以，據(jù)此很容易找到等腰三角形的腰與底邊． 【解答】解：（1）假設(shè)等腰三角形的腰是2，則2+2=4，4＜7，也就是說兩邊之和小于第三邊，所以假設(shè)不成立； （2）假設(shè)等腰三角形的腰是7，則7+7=14，14＞7，也就是說兩邊之和大于第三邊；7﹣7=0，則0＜2，即兩邊之差小于第三邊，所以假設(shè)成立，所以等腰三角形的周長是7+7+2=16，即等腰三角形的周長是16． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】解答本題的難點(diǎn)是分清等腰三角形的腰的長度與底邊的長度，如何來區(qū)分呢？根據(jù)三角形中的三邊關(guān)系，即兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊． 　 13．將一張長方形紙片只折一次，使得折痕平分這個(gè)長方形的面積，這樣的方法共有（　　） A．2種 B．4種 C．6種 D．無數(shù)種 【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)矩形的中心對(duì)稱性解答即可． 【解答】解：根據(jù)矩形的中心對(duì)稱性，過中心的直線可把矩形分成面積相等的兩部分， 所以，使得折痕平分這個(gè)長方形的面積的方法共有無數(shù)種． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的中心對(duì)稱性，比較簡單，一定要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 　 14．等腰三角形是軸對(duì)稱軸圖形，它的對(duì)稱軸是（　?。? A．過頂點(diǎn)的直線 B．底邊上的高 C．頂角的平分線所在的直線 D．腰上的高所在的直線 【考點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，可得出答案． 【解答】解：等腰三角形的對(duì)稱軸是頂角的角平分線所在直線，底邊高所在的直線，底邊中線所在直線， A、過頂點(diǎn)的直線，錯(cuò)誤； B、底邊上的高，錯(cuò)誤； C、頂角的平分線所在的直線，正確； D、腰上的高所在的直線錯(cuò)誤，錯(cuò)誤． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱圖形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱及對(duì)稱軸的定義． 　 15．在△ABC中，∠ACB=90，∠B=30，CD⊥AB于D，若AC=6，則BD等于（　?。? A．6 B．3 C．9 D．12 【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形． 【分析】求出∠ACD=30，再根據(jù)直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD、AB，然后根據(jù)BD=AB﹣AD計(jì)算即可得解． 【解答】解：∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴∠ACD=∠B=30， ∵AC=6， ∴AD=AC=6=3， AB=2AC=26=12， ∴BD=AB﹣AD=12﹣3=9． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀． 　 16．若一個(gè)三角形的每一個(gè)外角都等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍，那么這個(gè)三角形是（　?。? A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形 【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】直接根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答即可． 【解答】解：∵三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和， ∴若一個(gè)三角形的每一個(gè)外角都等于一個(gè)不相鄰的內(nèi)角的2倍，則與之不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角相等， ∴這個(gè)三角形是等邊三角形． 故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵． 　 17．在等邊三角形ABC中，CD是∠ACB的平分線，過D作DE∥BC交AC于E，若△ABC的邊長為a，則△ADE的周長為（　?。? A．2a B． C．1.5a D．a(chǎn) 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AB，然后判斷出△ADE和△ABC相似，根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比求解即可． 【解答】解：∵CD是∠ACB的平分線，△ABC是等邊三角形， ∴AD=AB， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=， ∵△ABC的邊長為a， ∴△ABC的周長為3a， ∴=， 解得△ADE的周長=1.5a． 故選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形是特殊的等腰三角形，也符合三線合一的性質(zhì)，作出圖形更形象直觀． 　 18．如圖，△ABC是等邊三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，AB∥CD，則圖中60的角有（　?。? A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè) 【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形得出3個(gè)60的角，根據(jù)AD⊥CD，AB∥CD，得出∠ACD=∠CAB=60，∠DAB=90，根據(jù)AE⊥BC，得出∠BAE=∠CAE=30，進(jìn)而得出∠DAE=60，所以圖中60的角有5個(gè)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=∠CAB=60 ∵AB∥CD， ∴∠ACD=∠CAB=60， ∵AD⊥CD， ∴∠DAB=90， ∵AE⊥BC， ∴∠BAE=∠CAE=30， ∴∠DAE=60 ∴圖中60的角有5個(gè)， 故應(yīng)選C． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，等邊三角形中“三線合一”是關(guān)鍵． 　 三、解答與證明 19．畫出下列圖形關(guān)于直線L的軸對(duì)稱圖形． 【考點(diǎn)】作圖-軸對(duì)稱變換． 【專題】作圖題． 【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分別找出各點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，然后順次連接即可． 【解答】解：如圖所示． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用軸對(duì)稱變換作圖，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 　 20．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB的垂直平分線交AC于D，垂足為E，若∠A=30，AC=6，DE=2，求∠BDC的度數(shù)和BD之長． 【考點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)． 【分析】由于AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D，根據(jù)線段的垂直平方的性質(zhì)得到DA=DB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出∠DBE=∠A，然后利用三角形外角的性質(zhì)即可求出∠BDC的度數(shù)；設(shè)CD=x，利用已知條件和30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出BD=2CD=2x，再根據(jù)AD+CD=AC列出方程2x+x=6，解方程求出x的值，進(jìn)而求得BD的長． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBE=∠A=30， ∴∠BDC=∠DBE+∠A=60； 設(shè)CD=x． 在Rt△BDC中，∵∠BDC=60， ∴∠DBC=30， ∴BD=2CD=2x， ∵AD+CD=AC， ∴2x+x=6， 解得x=2， ∴BD=4． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)和30的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)等幾何知識(shí)，難度適中． 　 21．如圖，△ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的中線，延長BC到E使CE=CD，試判斷△BDE的形狀． 【考點(diǎn)】等腰三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ABC=∠ACB=60，BD是AC邊上的中線，則∠DBC=30，再由題中條件求出∠E=30，即可判斷△BDE的形狀． 【解答】證明：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60， ∵AD=CD， ∴∠DBC=∠ABC=30， ∵CE=CD， ∴∠CDE=∠E， ∵∠ACB=∠CDE+∠E， ∴∠E=30， ∴∠DBE=∠E， ∴BD=DE， ∴△BDE是等腰三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)；此題把等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定結(jié)合求解．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，得到∠E=30是正確解答本題的關(guān)鍵． 　 22．如圖，D是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求證：∠P=30． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】如圖，連接CD，已知△ABC是等邊三角形，則AB=AC=BC，又AD=BD，易證△BDC≌△ADC，可得∠DCB=∠DCA=30，∠DBC=∠DAC，已知∠DBP=∠DBC，所以∠DAC=∠DBP，又已知BP=BA，可得BP=AC，所以△DBP≌△DAC，所以∠P=∠ACD=30； 【解答】解：如圖，連接CD， ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC， ∴在△BDC與△ADC中， ， ∴△BDC≌△ADC（SSS）， ∴∠DCB=∠DCA=60=30，∠DBC=∠DAC， ∵∠DBP=∠DBC， ∴∠DAC=∠DBP， 又已知BP=BA， ∴BP=AC， ∴在△DBP與△DAC中， ∴△DBP≌△DAC（SAS）， ∴∠P=∠ACD=30． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具；在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件． 　 23．如圖，在正△ABC中，D、E分別是BC、AC上一點(diǎn)，AE=CD，AD與BE交于點(diǎn)F，AF=BF．求證：CF⊥BE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先易得△ABE≌△CAD（SAS），得出∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC，然后取BF中點(diǎn)M，得到AF=BM，從而得出△AME≌△CFD（SAS），利用外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，得到∠8與∠1+∠2的關(guān)系以及∠BAE與∠1+∠2的關(guān)系，利用∠BAE=60，可得∠8的度數(shù)以及∠3的讀數(shù)，從而得到∠BFC的讀數(shù)，最后可得CF⊥BE． 【解答】證明：取BF中點(diǎn)M，連接AM． 在△ABE和△CAD中，∠EAB=∠DCA=60，AB=CA， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS） ∴∠1=∠6，BE=AD，∠AEB=∠ADC， ∵AF=BF，BM=BF， ∴AF=BM． ∵FD=AD﹣AF，ME=BE﹣BM， ∴FD=ME． 在△AME與△CFD中， ， ∴△AME≌△CFD（SAS）， ∴∠7=∠MAE=∠5+∠6，∠3=∠4， ∵AF=MF， ∴∠8=∠3+∠5=2（∠1+∠2）， 而∠BAE=∠2+∠5+∠6=∠2+∠3+∠6=∠2+（∠1+∠2）+∠1=2（∠1+∠2）， ∴∠8=∠9=60，∠3=∠1+∠2=∠BAE=30， 又∵∠9=∠8=60，∠4=∠3=30， ∴∠BFC=∠9+∠4=90， ∴CF⊥BE． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于作出相關(guān)輔助線，利用角的關(guān)系進(jìn)行解答． 　  第19頁（共19頁）