高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 第8課時(shí) 空間向量的應(yīng)用（二）空間的角與距離課件 理.ppt

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,,第八章 立體幾何,1．能夠利用空間向量，解決異面直線的夾角、線面角、面面角問題，體會(huì)向量法在立體幾何中的應(yīng)用． 2．了解點(diǎn)面距離的求法． 請注意 在高考中，本部分知識(shí)是考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要考查異面直線所成角、線面角和面面角的計(jì)算，屬于中檔題，綜合性較強(qiáng)，與平行垂直聯(lián)系較多．,1．利用空間向量求空間角 (1)兩條異面直線所成的角． ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，過空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的 叫做a與b所成的角． ②范圍：兩異面直線所成角θ的取值范圍是 ．,銳角或直角,③向量求法：設(shè)直線a，b的方向向量分別為a，b，其夾角為φ，則有cosθ＝ .,(2)直線與平面所成的角． ①定義：直線和平面所成的角，是指直線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的角． ②范圍：直線和平面所成的角θ的取值范圍是 ． ③向量求法：設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為u，直線與平面所成的角為θ，a與u的夾角為φ，則有sinθ＝ 或cosθ＝ .,|cosφ|,sinφ,(3)二面角． ①二面角的取值范圍是 ． ②二面角的向量求法：,[0，π],,(ⅱ)設(shè)n1，n2分別是二面角α—l—β的兩個(gè)面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角)的大小就是二面角的平面角的大小(如圖②③)．,2．點(diǎn)面距的求法 如圖，設(shè)AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離d＝ .,,1．判斷下面結(jié)論是否正確(打“√”或“”)． (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角． (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角． (3)兩個(gè)平面的法向量所成的角就是這兩個(gè)平面所成的角．,答案 (1) (2) (3) (4)√ (5)√ (6),答案 A,3．已知兩平面的法向量分別為m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，則兩平面所成的二面角為( ) A．45 B．135 C．45或135 D．90 答案 C,4．在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是CC1，AD的中點(diǎn)，則異面直線OE和FD1所成的角的余弦值等于________．,,,答案 (1)略 (2)45,題型一 異面直線所成角,【答案】 B,探究1 求一對異面直線所成角：一是按定義平移轉(zhuǎn)化為兩相交直線的夾角；二是在異面直線上各取一向量，轉(zhuǎn)化為兩向量的夾角或其補(bǔ)角，無論哪種求法，都應(yīng)注意角的范圍的限定．,已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為( ),思考題1,【答案】 C,例2 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于點(diǎn)M. (1)求證：AM⊥PD； (2)求直線CD與平面ACM所成的角的余弦值．,題型二 線面角,,【解析】 (1)∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD， ∴PA⊥AB. ∵AB⊥AD，AD∩PA＝A，AD?平面PAD，PA?平面PAD，∴AB⊥平面PAD. ∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD. ∵BM⊥PD，AB∩BM＝B，AB?平面ABM，BM?平面ABM， ∴PD⊥平面ABM. ∵AM?平面ABM，∴AM⊥PD.,探究2 求直線和平面所成的角也有傳統(tǒng)法和向量法兩種．傳統(tǒng)法關(guān)鍵是找斜線在平面內(nèi)的射影，從而找出線面角；向量法則可建立坐標(biāo)系，利用向量的運(yùn)算求解．用向量法可避開找角的困難，但計(jì)算較繁，所以要注意計(jì)算上不要失誤．,(2014北京理)如圖所示，正方形AMDE的邊長為2，B，C分別為AM，MD的中點(diǎn)．在五棱錐P－ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面ABF與棱PD，PC分別交于點(diǎn)G，H. (1)求證：AB∥FG； (2)若PA⊥底面ABCDE，且PA＝AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小，并求線段PH的長．,思考題2,,【解析】 (1)證明：在正方形AMDE中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以AB∥DE. 又因?yàn)锳B?平面PDE， 所以AB∥平面PDE. 因?yàn)锳B?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE＝FG， 所以AB∥FG.,題型三 二面角,例3 (2014新課標(biāo)全國Ⅰ理)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C. (1)證明：AC＝AB1； (2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．,,【思路】 (1)充分利用菱形中蘊(yùn)含的垂直關(guān)系，用傳統(tǒng)的方法(綜合法)即可證明；(2)利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，用法向量法求二面角的余弦值． 【解析】 (1)證明：連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO.因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，所以B1C⊥BC1，且O為B1C及BC1的中點(diǎn)． 又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO. 由于AO?平面ABO，故B1C⊥AO. 又B1O＝CO，故AC＝AB1.,探究3 (1)當(dāng)空間直角坐標(biāo)系容易建立時(shí)，用向量法較為簡潔明快． (2)用法向量求二面角的大小時(shí)，有時(shí)不易判斷兩法向量的大小就是二面角的大小(相等或互補(bǔ))，但我們完全可以根據(jù)圖形得出結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘氢g二面角還是銳二面角一般是比較明顯的．,思考題3,,由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線， 由此得DC⊥平面PAD.又DC在平面PCD上，故平面PAD⊥平面PCD.,例4 已知正方形ABCD的邊長為4，CG⊥平面ABCD，CG＝2，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離．,題型四 空間距離,【講評】 空間中的距離問題一般都可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離和點(diǎn)到面的距離．其中點(diǎn)到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離可用空間向量的模來求解，點(diǎn)到面的距離可借助于平面的法向量求解．,思考題4,,,1．角的計(jì)算與度量總要進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，主要將空間角轉(zhuǎn)化為平面角或兩向量的夾角． 2．用向量的數(shù)量積來求解兩異面直線所成的角，簡單、易掌握．其基本程序是選基底，表示兩直線方向向量，計(jì)算數(shù)量積，若能建立空間直角坐標(biāo)系，則更為方便． 3．找直線和平面所成的角常用方法是過線上一點(diǎn)作面的垂線或找線上一點(diǎn)到面的垂線，或找(作)垂面，將其轉(zhuǎn)化為平面角，或用向量求解，或解直角三角形．,4．二面角的求解方法一般有作垂面法、三垂線定理法、面積射影法、向量法等，特別是對“無”棱(圖中沒有棱)的二面角，應(yīng)先找出棱或借助平面法向量夾角求解． 5．空間的距離主要掌握點(diǎn)面距離的求法．,1.(2015山西臨汾一模)如圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，則PB與AC所成的角是( ) A．90 B．60 C．45 D．30 答案 B 解析 將其還原成正方體ABCD－PQRS，顯然PB∥SC，△ACS為正三角形，∴∠ACS＝60.,,答案 B,,答案 B,4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E為CC1的中點(diǎn)，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為________．,,高考中的立體幾何探索性問題 利用向量解決立體幾何中的探索性問題，在近幾年的高考中倍受青睞．如2013年各地高考卷中出現(xiàn)了6次，2014年出現(xiàn)了3個(gè)．下面舉兩例說明其破解方法，以期拋磚引玉．,例2 (2014湖北理)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N分別是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)P，Q分別在棱DD1，BB1上移動(dòng)，且DP＝BQ＝λ(0λ2)．,,(1)當(dāng)λ＝1時(shí)，證明：直線BC1∥平面EFPQ； (2)是否存在λ，使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．,