計(jì)算方法課件第四章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算.ppt

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第四章 矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,4.0 問題描述 4.1 乘冪法與反冪法 4.2 雅可比方法,4.0 問題描述,設(shè)A為nn矩陣，所謂A的特征問題是求數(shù)?和非零向量x，使,Ax＝ ?x,成立。數(shù)?叫做A的一個(gè)特征值，非零向量x叫做與特征值?對(duì)應(yīng)的特征向量。這個(gè)問題等價(jià)于求使方程組(A- ?I)x=0有非零解的數(shù)?和相應(yīng)的非零向量x。,線性代數(shù)理論中是通過求解特征多項(xiàng)式det(A-?I)=0的零點(diǎn)而得到?，然后通過求解退化的方程組(A-?I)x=0而得到非零向量x。當(dāng)矩陣階數(shù)很高時(shí)，這種方法極為困難。目前用數(shù)值方法計(jì)算矩陣的特征值以及特征向量比較有效的方法是迭代法和變換法。,4.1 乘冪法與反冪法,一、乘冪法,通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭法方法，它用以求按模最大的特征值和相應(yīng)的特征向量。,設(shè)實(shí)矩陣A的特征值為?1,?2,…,?n，相應(yīng)的特征向量 線性無關(guān)。設(shè)A的特征值按模排序?yàn)椋?令 ，可以構(gòu)造一個(gè)向量序列，,根據(jù)特征值的定義,若 由于 ，故k充分大時(shí)，,是相應(yīng)于 的近似特征向量,設(shè) 表示,綜上可知，求矩陣主特征值及相應(yīng)的特征向量的計(jì)算步驟如下：,Step1:任給n維初始向量U(0)?0;,Step2:按U(k)=AU(k-1)(k=1,2,…)計(jì)算U(k);,Step3:如果k從某個(gè)數(shù)后分量比,則取?1?c，而U(k)就是與?1對(duì)應(yīng)的一個(gè)近似特征向量。,上述方法即乘冪法。,Remark1:具體計(jì)算時(shí)，U(0)的選取很難保證一定有?1?0。但是，由于舍入誤差的影響，只要迭代次數(shù)足夠多，如 ，就會(huì)有 ，因而最后結(jié)論是成立的。對(duì)于 的情形，由于對(duì)任意l均有上面的結(jié)論，故只要取另外的l使 即可。,Remark2:以上討論只是說明了乘冪法的基本原理。當(dāng) 太小或太大時(shí)，將會(huì)使U(k)分量的絕對(duì)值過小或過大，以致運(yùn)算無法繼續(xù)進(jìn)行。因此，實(shí)際計(jì)算時(shí)，常常是每進(jìn)行m步迭代進(jìn)行一次規(guī)范化，如用,其中，max(U(m))表示向量U(m)的絕對(duì)值最大的分量。,代替U(k)繼續(xù)迭代。由于特征向量允許差一個(gè)非零常數(shù)因子，因而從V(k)往后繼續(xù)迭代與從U(k)往后繼續(xù)迭代的收斂速度是相同的，但規(guī)范化的做法有效防止了溢出現(xiàn)象。至于m的選取，可以自由掌握，如取m＝1，5等等。,Remark3:若主特征值是重特征值，如,則有,從而,由此可得乘冪法的算法。但是應(yīng)該注意到，在重特征值的情形下，從不同的非零初始向量出發(fā)迭代，可能得到主特征值的幾個(gè)線性無關(guān)的特征向量。,Remark4:由上述推導(dǎo)可知，乘冪法收斂的快慢取決于比值 的大小，該比值越小收斂越快。 由此便提出了乘冪法的加速收斂方法，如Rayleigh商加速法、原點(diǎn)平移法等。,Remark5:對(duì)于?1＝-?2，或?1與?2共軛等情形，也可類似進(jìn)行計(jì)算，具體可參閱相關(guān)教材。,對(duì) 用反冪法求解按模最大的特征值是 ，特,征向量是 ，即是A的按模最小的特征值和特征向量。,二、反冪法,計(jì)算矩陣按模最小的特征值及相應(yīng)的特征向量。,Step2：計(jì)算U(k)=A-1U(k-1)(k=1,2,…)；,Step3:如果k從某個(gè)數(shù)后分量比,則取 ，而U(k)就是與?n對(duì)應(yīng)的一個(gè)近似特征向量。,反冪法的計(jì)算步驟如下：,Step1：任取 ；,Remark2：若已知矩陣A的某個(gè)特征值?i的相對(duì)分離較好的近似值p。不要求p的近似程度有多好，只要求j?i時(shí)， ，則 便是 的主特征值。 這樣一來，就可以使用反冪法求解矩陣的在某點(diǎn)附近的特征值及其特征向量。,Remark1:實(shí)際計(jì)算時(shí)一般并不求A-1，而是將算法中的迭代公式U(k)=A-1U(k-1)改為解方程組AU(k)=U(k-1)。由于每步所解方程組具有相同的系數(shù)矩陣A，故常常是先將A進(jìn)行三角分解，然后轉(zhuǎn)化為每步只需用回代公式求解兩個(gè)三角方程組。這樣可以減少計(jì)算工作量。,