2019-2020年高三4月模擬考試文科數(shù)學試題含解析.doc

2019-2020年高三4月模擬考試文科數(shù)學試題含解析 　 一、選擇題：本大題共10小題．每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（5分）（xx?棗莊校級模擬）命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”的否定是（　?。? 　 A． ?x∈R，x3﹣2x+1≠0 B． 不存在x∈R，x3﹣2x+1≠0 　 C． ?x∈R，x3﹣2x+1=0 D． ?x∈R，x3﹣2x+1≠0 【考點】： 命題的否定． 【專題】： 閱讀型． 【分析】： 因為特稱命題“?x∈R，x3﹣2x+1=0”，它的否定：?x∈R，x3﹣2x+1≠0即可得答案 【解析】： 解：“?x∈R，x3﹣2x+1=0”屬于特稱命題，它的否定為全稱命題， 從而答案為：?x∈R，x3﹣2x+1≠0． 故選D． 【點評】： 本題考查了全稱命題，和特稱命題的否定，屬于基礎題，應當掌握． 　 2．（5分）關(guān)于命題p：A∪?=?，命題q：A∪?=A，則下列說法正確的是（　?。? 　 A． （￢p）∨q為假 B． （￢p）∧（￢q）為真 C． （￢p）∨（￢q）為假 D． （￢p）∧q為真 【考點】： 復合命題的真假． 【專題】： 計算題． 【分析】： 利用集合知識，先判斷出命題p：A∩?=?是真命題，命題q：A∪?=A是真命題，再判斷復合命題的真假． 【解析】： 解：∵命題p：A∩?=?是真命題， 命題q：A∪?=A是真命題， ∴（￢p）∨q為真命題， （￢p）∧（￢q）為假命題， （￢p）∨（￢q）為假命題， （￢p）∧q為假命題， 故選C． 【點評】： 本題考查復合命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答． 　 3．（5分）（xx?棗莊校級模擬）已知，則tanα的值為（　　） 　 A． B． C． D． 【考點】： 兩角和與差的正切函數(shù)． 【專題】： 計算題． 【分析】： 由兩角和的正切公式可得 =3，解方程求得 tanα 的值． 【解析】： 解：∵已知，由兩角和的正切公式可得 =3，解得 tanα=， 故選A． 【點評】： 本題主要考查兩角和的正切公式的應用，屬于基礎題． 　 4．（5分）（xx?棗莊校級模擬）已知f（x）=，則f（）+f（﹣）的值為（　?。? 　 A． B． ﹣ C． ﹣1 D． 1 【考點】： 分段函數(shù)的應用． 【專題】： 函數(shù)的性質(zhì)及應用． 【分析】： 直接利用分段函數(shù)的解析式，求解函數(shù)值即可． 【解析】： 解：f（x）=， 則f（）+f（﹣）=f（﹣1）+cos（﹣）=f（）+cos=f（﹣1）﹣cos=f（﹣）﹣=cos（﹣）﹣==﹣1． 故選：C． 【點評】： 本題考查分段函數(shù)的解析式的應用，函數(shù)值的求法，考查計算能力． 　 5．（5分）已知某個幾何體的三視圖如圖，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm），可得這個幾何體的體積是（　?。? 　 A． B． C． xxcm3 D． 4000cm3 【考點】： 由三視圖求面積、體積． 【專題】： 計算題；作圖題． 【分析】： 由三視圖可知，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面垂直底面，底面是正方形，根據(jù)數(shù)據(jù)計算其體積． 【解析】： 解：如圖，幾何體是四棱錐，一個側(cè)面PBC⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形， ． 故選B． 【點評】： 本題考查三視圖、椎體的體積，考查簡單幾何體的三視圖的運用．培養(yǎng)同學們的空間想象能力和基本的運算能力． 　 6．（5分）函數(shù)y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的圖象可能是下列圖象中的（　?。? 　 A． B． C． D． 【考點】： 函數(shù)的圖象． 【專題】： 數(shù)形結(jié)合． 【分析】： 根據(jù)三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)，利用排除法即可． 【解析】： 解：∵是偶函數(shù)，排除A， 當x=2時，，排除C， 當時，，排除B、C， 故選D． 【點評】： 本題考查了三角函數(shù)的圖象問題，注意利用函數(shù)圖象的奇偶性及特殊點來判斷． 　 7．（5分）變量x，y滿足，目標函數(shù)z=2x+y，則有（　?。? 　 A． zmin=3，z無最大值 B． zmax=12，z無最小值 　 C． zmax=12，zmin=3 D． z既無最大值，也無最小值 【考點】： 簡單線性規(guī)劃． 【專題】： 數(shù)形結(jié)合；不等式的解法及應用． 【分析】： 作出不等式表示的平面區(qū)域，明確目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義是直線y=﹣2x+z的縱截距，根據(jù)圖形，即可求得結(jié)論． 【解析】： 解：不等式表示的平面區(qū)域如圖 目標函數(shù)z=2x+y的幾何意義是直線y=﹣2x+z的縱截距 由，可得，此時目標函數(shù)z=2x+y取得最小值3； 由，可得，此時目標函數(shù)z=2x+y取得最大值12， 故選C． 【點評】： 本題考查線性規(guī)劃知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題． 　 8．（5分）已知函數(shù)f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖象如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f（1）的值為（　?。? 　 A． B． C． D． 【考點】： 余弦函數(shù)的奇偶性；余弦函數(shù)的圖象． 【專題】： 計算題． 【分析】： 由f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=Acosφ=0結(jié)合已知0＜φ＜π，可求 φ=，再由△EFG是邊長為2的等邊三角形，可得=A，結(jié)合圖象可得，函數(shù)的周期T=4，根據(jù)周期公式可得ω，從而可得f（x），代入可求f（1）． 【解析】： 解：∵f（x）=Acos（ωx+φ）為奇函數(shù) ∴f（0）=Acosφ=0 ∵0＜φ＜π∴φ= ∴f（x）=Acos（ωx）=﹣Asinωx ∵△EFG是邊長為2的等邊三角形，則=A 又∵函數(shù)的周期 T=2FG=4，根據(jù)周期公式可得，ω= ∴f（x）=﹣Asinx=﹣ 則f（1）= 故選D 【點評】： 本題中的重要性質(zhì)要注意靈活運用：若奇函數(shù)的定義域包括0，則f（0）=0；解決本題的另一關(guān)鍵是要由△EFG是邊長為2的等邊三角形，及三角形與函數(shù)圖象之間的關(guān)系得到=A，這也是本題的難點所在． 　 9．（5分）（xx?棗莊校級模擬）以雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點F為圓心，作半徑為b的圓F，則圓F與雙曲線的漸近線（　?。? 　 A． 相交 B． 相離 C． 相切 D． 不確定 【考點】： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 【專題】： 計算題． 【分析】： 確定圓F的方程，雙曲線的漸近線方程，求出圓心到直線的距離，即可得到結(jié)論． 【解析】： 解：由題意，圓F的方程為：（x+c）2+y2=b2，雙曲線的漸近線方程為：bxay=0 ∴F到漸近線的距離為d==b ∴圓F與雙曲線的漸近線相切 故選C． 【點評】： 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎題． 　 10．（5分）（xx?棗莊校級模擬）在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過n（n∈N*）個整點，則稱函數(shù)f（x）為n階整點函數(shù)．有下列函數(shù)中是一階整點函數(shù)的是（　?。? ①f（x）=x+（x＞0）②g（x）=x3 ③h（x）=（）x ④φ（x）=lnx． 　 A． ①②③④ B． ①③④ C． ④ D． ①④ 【考點】： 函數(shù)與方程的綜合運用． 【專題】： 綜合題；新定義；推理和證明． 【分析】： 根據(jù)新定義的“一階整點函數(shù)”的要求，對于四個函數(shù)一一加以分析，它們的圖象是否通過一個整點，從而選出答案即可． 【解析】： 解：對于函數(shù)f（x）=x+（x＞0），它只通過一個整點（1，2），故它是一階整點函數(shù)； 對于函數(shù)g（x）=x3，當x∈Z時，一定有g(shù)（x）=x3∈Z，即函數(shù)g（x）=x3通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)； 對于函數(shù)h（x）=（）x，當x=0，﹣1，﹣2，時，h（x）都是整數(shù)，故函數(shù)h（x）通過無數(shù)個整點，它不是一階整點函數(shù)； 對于函數(shù)φ（x）=lnx，它只通過一個整點（1，0），故它是一階整點函數(shù)． 故選：D 【點評】： 本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應用，屬于基礎題，解決本題的關(guān)鍵是對于新定義的概念的理解，即什么叫做：“一階整點函數(shù)”． 　 二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分． 11．（5分）（xx?棗莊校級模擬）已知長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為1、2、3，則這個長方體的外接球的表面積為　14π?。? 【考點】： 球內(nèi)接多面體；球的體積和表面積． 【專題】： 計算題． 【分析】： 用長方體的對角線的公式，求出長方體的對角線長，即為外接球的直徑，從而得到外接球的半徑，用球的表面積公式可以算出外接球的表面積． 【解析】： 解：∵長方體從同一頂點出發(fā)的三條棱的長分別為1、2、3， ∴長方體的對角線長為：= ∵長方體的對角線長恰好是外接球的直徑 ∴球半徑為R=，可得球的表面積為4πR2=14π 故答案為：14π 【點評】： 本題給出長方體的長、寬、高，求長方體外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積公式，屬于基礎題． 　 12．（5分）（xx?棗莊校級模擬）設、是平面直角坐標系（坐標原點為O）內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個單位向量，且，，則△OAB的面積等于　5?。? 【考點】： 向量在幾何中的應用；數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【專題】： 計算題． 【分析】： 確定向量的坐標，求出向量的模及夾角，利用三角形的面積公式，即可得到結(jié)論． 【解析】： 解：由題意，=（﹣2，1），=（4，3） ∴||=，||=5 ∴cos∠AOB==﹣ ∴sin∠AOB= ∴△OAB的面積等于5=5 故答案為：5 【點評】： 本題考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是確定向量的坐標，求出向量的模及夾角，屬于中檔題． 　 13．（5分）已知點A（m，n）在直線x+2y﹣2=0上，則2m+4n的最小值為　4?。? 【考點】： 基本不等式． 【專題】： 計算題． 【分析】： 由題意可得 m=2﹣2n，可得 2m+4n=22﹣2n+4n =+4n ，利用基本不等式求出它的最小值． 【解析】： 解：∵點A（m，n）在直線x+2y﹣2=0上， ∴m+2n﹣2=0，即 m=2﹣2n． ∴2m+4n=22﹣2n+4n =+4n≥2=4，當且僅當 =4n 時，等號成立， 故2m+4n的最小值為4， 故答案為 4． 【點評】： 本題主要考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題． 　 14．（5分）（xx?棗莊校級模擬）點P（2，﹣1）為圓（x﹣1）2+y2=25內(nèi)弦AB的中點，則直線AB的方程為　x﹣y﹣3=0?。? 【考點】： 直線與圓的位置關(guān)系． 【專題】： 計算題；直線與圓． 【分析】： 求出圓心C的坐標，得到PC的斜率，利用中垂線的性質(zhì)求得直線AB的斜率，點斜式寫出AB的方程，并化為一般式． 【解析】： 解：圓（x﹣1）2+y2=25的圓心C（1，0），點P（2，﹣1）為弦AB的中點，PC的斜率為=﹣1， ∴直線AB的斜率為1，點斜式寫出直線AB的方程y+1=1（x﹣2），即x﹣y﹣3=0， 故答案為：x﹣y﹣3=0． 【點評】： 本題考查直線和圓相交的性質(zhì)，線段的中垂線的性質(zhì)，用點斜式求直線的方程的方法． 　 15．（5分）（xx?江西模擬）對于正項數(shù)列{an}，定義為{an}的“光陰”值，現(xiàn)知某數(shù)列的“光陰”值為，則數(shù)列{an}的通項公式為　?。? 【考點】： 數(shù)列遞推式． 【專題】： 綜合題． 【分析】： 根據(jù)“光陰”值的定義，及，可得a1+2a2+…+nan=，再寫一式，兩式相減，即可得到結(jié)論． 【解析】： 解：∵ ∴a1+2a2+…+nan= ∵ ∴a1+2a2+…+nan=① ∴a1+2a2+…+（n﹣1）an﹣1=② ①﹣②得﹣= ∴ 故答案為： 【點評】： 本題考查新定義，考查數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是理解新定義，通過再寫一式，兩式相減得到結(jié)論． 　 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 16．（12分）（xx?棗莊校級模擬）已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1． （1）設集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率； （2）設點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，記A={y=f（x）有兩個零點，其中一個大于1，另一個小于1}，求事件A發(fā)生的概率． 【考點】： 幾何概型；古典概型及其概率計算公式． 【專題】： 計算題． 【分析】： （1）確定基本事件總數(shù)，求出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)對應的事件數(shù)，利用古典概型概率的計算公式，即可得到結(jié)論； （2）以面積為測度，計算試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的面積及事件A構(gòu)成的區(qū)域的面積，利用公式可得結(jié)論． 【解析】： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1的圖象的對稱軸為， 要使f（x）=ax2﹣4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，當且僅當a＞0且…（2分） 若a=1則b=﹣1，若a=2則b=﹣1，1若a=3則b=﹣1，1…（4分） 記B={函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)}，則事件B包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5， ∴…（6分） （2）依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為， 其面積…（8分） 事件A構(gòu)成的區(qū)域： 由，得交點坐標為，…（10分） ∴， ∴事件A發(fā)生的概率為…（12分） 【點評】： 本題考查概率的計算，明確概率的類型，正確運用公式是關(guān)鍵． 　 17．（12分）已知函數(shù)，x∈R，將函數(shù)f（x）向左平移個單位后得函數(shù)g（x），設△ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c． （Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值； （Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范圍． 【考點】： 解三角形；平面向量數(shù)量積的運算；三角函數(shù)中的恒等變換應用． 【專題】： 計算題． 【分析】： （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）為，由f（C）=0求得，，由余弦定理知：，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值． （Ⅱ）由題意可得，由g（B）=0求得，故，化簡等于sin（），根據(jù)的范圍求得的取值范圍． 【解析】： 解：（Ⅰ）=．…（1分） ，所以． 因為， 所以 所以．…（3分） 由余弦定理知：，因sinB=3sinA， 所以由正弦定理知：b=3a．…（5分） 解得：a=1，b=3…（6分） （Ⅱ）由題意可得，所以，所以． 因為，所以，即 又，， 于是…（8分） ∵，得 …（10分） ∴，即．…（12分） 【點評】： 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，兩個向量的數(shù)量積公式的應用，解三角形，屬于中檔題． 　 18．（12分）設同時滿足條件：①；②bn≤M（n∈N+，M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列{bn}叫“嘉文”數(shù)列．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足：（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）． （1）求{an}的通項公式； （2）設，若數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，求a的值，并證明此時為“嘉文”數(shù)列． 【考點】： 數(shù)列遞推式；等比數(shù)列的性質(zhì)． 【專題】： 綜合題． 【分析】： （1）當n≥2時，，從而可得{an}以a為首項，a為公比的等比數(shù)列，由此可求{an}的通項公式； （2）確定數(shù)列{bn}的通項，利用{bn}為等比數(shù)列，可求a的值；驗證“嘉文”數(shù)列的兩個條件，即可證得． 【解析】： 解：（1）因為，所以a1=a 當n≥2時，，即{an}以a為首項，a為公比的等比數(shù)列． ∴； …（4分） （2）由（1）知，， 若{bn}為等比數(shù)列，則有，而b1=3，， 故，解得…（7分） 再將代入得：，其為等比數(shù)列，所以成立…（8分） 由于①…（10分） （或做差更簡單：因為，所以也成立） ②，故存在； 所以符合①②，故為“嘉文”數(shù)列…（12分） 【點評】： 本題考查等比數(shù)列的定義與通項，考查新定義，解題的關(guān)鍵是理解新定義，正確運用新定義，屬于中檔題． 　 19．（12分）如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于點F，且點F在CE上． （1）求證：DE⊥BE； （2）求四棱錐E﹣ABCD的體積； （3）設點M在線段AB上，且AM=MB，試在線段CE上確定一點N，使得MN∥平面DAE． 【考點】： 直線與平面垂直的性質(zhì)；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定． 【專題】： 計算題． 【分析】： （1）根據(jù)BC的平行線DA⊥平面ABE，可得BC⊥平面ABE，從而AE⊥BC，再結(jié)合AE⊥BF，利用線面垂直的判定定理得到AE⊥面BEC，從而AE⊥BE，再用一次線面垂直的判定定理得到BE⊥面DAE，所以DE⊥BE； （2）作EH⊥AB于H，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得EH⊥面ABCD，再在等腰Rt△AEB中結(jié)合已知條件的數(shù)據(jù)，算出，最后用錐體體積公式可求出四棱錐E﹣ABCD的體積； （3）設P是BE的中點，連接MP，F(xiàn)P．利用三角形中位線定理結(jié)合線面平行的判定，得到FP∥平面DAE且MP∥平面DAE，從而平面MPF∥面DAE，由此得到直線MF∥面DAE，可得點N就是點F． 【解析】： 解：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA ∴BC⊥平面ABE， ∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC， 又∵BF⊥平面ACE，AE?平面ACE， ∴AE⊥BF…（2分） ∵BC∩BF=B，∴AE⊥面BEC， 又∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE ∵AD⊥BE，AE∩AD=A，∴BE⊥面DAE， ∵DE?面DAE，∴DE⊥BE…（4分） （2）作EH⊥AB于H， ∵DA⊥平面ABE，DA?面ABCD，∴面ABCD⊥面ABE， ∵EH⊥AB，面ABCD∩面ABE=AB，∴EH⊥面ABCD ∵AE⊥BE，AE=EB=BC=2， ∴等腰Rt△AEB中，…（6分） 因此，…（8分） （3）設P是BE的中點，連接MP，F(xiàn)P ∵BE=BC，BF⊥CE，∴F是EC的中點…（10分） ∵△ECB中，F(xiàn)P是中位線，∴FP∥BC∥DA ∵DA?平面DAE，F(xiàn)P?平面DAE ∴FP∥平面DAE，同理可得MP∥平面DAE， ∵AE∩DA=A，∴平面MPF∥面DAE， 因此，直線MF∥面DAE，可得點N就是點F 所以CE的中點N滿足MN∥平面DAE．…（12分） 【點評】： 本題以一個特殊的四棱錐為例，證明了線線垂直和線面平行，并且求了四棱錐的體積，著重考查了空間平行與垂直位置關(guān)系的證明和錐體體積公式等知識，屬于基礎題． 　 20．（13分）已知函數(shù)，g（x）=lnx． （Ⅰ）如果函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，求a的取值范圍； （Ⅱ）是否存在實數(shù)a＞0，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由． 【考點】： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；函數(shù)與方程的綜合運用． 【專題】： 計算題；壓軸題． 【分析】： （1）由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)a，故我們要對a進行分類討論，注意到a出現(xiàn)在二次項系數(shù)的位置，故可以分a＞0，a=0，a＜0三種情況，最后將三種情況得到的結(jié)論綜合即可得到答案． （2）方程整理為ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0構(gòu)造函數(shù)H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），則原方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個零點，根據(jù)函數(shù)零點存在定理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造不等式組，解不等式組即可得到結(jié)論． 【解析】： 解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，符合題意． 當a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為， 由于y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)， 所以，解得a≤﹣2或a＞0，所以a＞0． 當a＜0時，不符合題意． 綜上，a的取值范圍是a≥0． （Ⅱ）把方程整理為 ， 即為方程ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0． 設H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0）， 原方程在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個不相等的實數(shù)根， 即為函數(shù)H（x）在區(qū)間（）內(nèi)有且只有兩個零點 = 令H′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或（舍） 當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)； 當x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)． H（x）在（）內(nèi)有且只有兩個不相等的零點， 只需 即 ∴ 解得， 所以a的取值范圍是（）． 【點評】： 遇到類二次方程/函數(shù)/不等式（即解析式的二次項系數(shù)含有參數(shù)）時，一般要進行分類討論，分類的情況一般有：①先討論二次項系數(shù)a是否為0，以確定次數(shù)②再討論二次項系數(shù)a是否大于0，以確定對應函數(shù)的開口方向，③再討論△與0的關(guān)系，以確定對應方程根的個數(shù)． 　 21．（14分）已知橢圓C：的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為． （1）求橢圓C的方程； （2）已知動直線y=k（x+1）與橢圓C相交于A、B兩點． ①若線段AB中點的橫坐標為，求斜率k的值； ②已知點，求證：為定值． 【考點】： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程． 【專題】： 綜合題；壓軸題． 【分析】： （1）根據(jù)橢圓的離心率，三角形的面積及橢圓幾何量之間的關(guān)系，建立等式，即可求得橢圓的標準方程； （2）①直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及線段AB中點的橫坐標為，即可求斜率k的值； ②利用韋達定理，及向量的數(shù)量積公式，計算即可證得結(jié)論． 【解析】： （1）解：因為滿足a2=b2+c2，，…（2分） 根據(jù)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為，可得． 從而可解得， 所以橢圓方程為…（4分） （2）證明：①將y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…（6分） △=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…（7分） 因為AB中點的橫坐標為，所以，解得…（9分） ②由①知， 所以…（11分） ==…（12分） ===…（14分） 【點評】： 本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，考查學生的運算能力，綜合性強．