2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 1.4 角平分線 第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)課件（新版）北師大版.ppt

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1.4 角平分線,第一章 三角形的證明,第1課時(shí) 角平分線,1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)及判定;（重點(diǎn)） 2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;（難點(diǎn)） 3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力．,學(xué)習(xí)目標(biāo),情境引入,如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？ （比例尺為1︰20000）,,D,C,,S,解：作夾角的角平分線OC，,截取OD=2.5cm ,D即為所求.,O,導(dǎo)入新課,1. 操作測(cè)量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過(guò)點(diǎn)P作 PD⊥OA，PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將 三次數(shù)據(jù)填入下表：,2. 觀察測(cè)量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)：__________,,,,C,O,B,A,PD=PE,,,,,實(shí)驗(yàn)：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的 任意一點(diǎn),猜想：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,講授新課,驗(yàn)證猜想,已知：如圖， ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E. 求證：PD=PE.,證明：,∵ PD⊥OA,PE⊥OB，,∴ ∠PDO= ∠PEO=90 .,在△PDO和△PEO中，,,∠PDO= ∠PEO，,∠AOC= ∠BOC，,OP= OP，,∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).,∴PD=PE.,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,,性質(zhì)定理： 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：,證明線段相等.,應(yīng)用格式：,∵OP 是∠AOB的平分線，,∴PD = PE,（在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.,推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).,PD⊥OA,PE⊥OB，,,判一判：（1）∵ 如下左圖，AD平分∠BAC（已知），,∴ = ，( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等,BD CD,,(2)∵ 如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.,∴ = , ( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等,BD CD,,例1：已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F. 求證：EB=FC.,證明： ∵AD是∠BAC的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，,∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 .,在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，,∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).,∴ EB=FC.,例2:如圖，AM是∠BAC的平分線，點(diǎn)P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.,4,溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應(yīng)用,變式：如 圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4, AB=14. （1）則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.,4,溫馨提示：存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用,,變式：如圖，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P，若PC＝4，AB=14. （2）求△APB的面積.,（3）求?PDB的周長(zhǎng).,ABPD=28.,由垂直平分線的性質(zhì)，可知，PD=PC=4，,,,,1.應(yīng)用角平分線性質(zhì)：,存在角平分線,涉及距離問(wèn)題,2.聯(lián)系角平分線性質(zhì)：,面積,周長(zhǎng),,,條件,知識(shí)與方法,利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．,思考：交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論，你能得到什么結(jié)論，這個(gè)新結(jié)論正確嗎？,角平分線的性質(zhì)：,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,,思考：這個(gè)結(jié)論正確嗎？,逆 命 題,已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE. 求證：點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.,證明：,作射線OP，,,∴點(diǎn)P在∠AOB 角的平分線上.,在Rt△PDO和Rt△PEO 中，,（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.,OP=OP（公共邊），,PD= PE（已知 ），,,,∵PD⊥OA,PE⊥OB.,∴∠PDO=∠PEO=90，,∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.,∴∠AOP=∠BOP,,,證明猜想,判定定理： 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.,應(yīng)用所具備的條件：,定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.,應(yīng)用格式：,∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.,∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.,知識(shí)總結(jié),例3:如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F， 求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上．,證明：,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.,∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上， FG⊥AE， FM⊥BC.,∴FG＝FM.,又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上， FH⊥AD， FM⊥BC，,∴FM＝FH，,∴FG＝FH.,∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.,,,,,,,,G,H,,M,A,B,C,F,E,D,┑,┑,┑,例4 如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù)，希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡),方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.,解：如圖所示：,,,,,,,,,,,歸納總結(jié),,,OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE,OP平分∠AOB,PD=PE,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,,角的平分線的判定,角的平分線的性質(zhì),當(dāng)堂練習(xí),2.△ABC中, ∠C=90,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .,3,E,,1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，F(xiàn)， DE =DF， ∠EDB= 60，則 ∠EBF= 度，BE= .,60,BF,3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知∠AOB的兩邊上，分別取OM=ON,再分別過(guò)點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線，交點(diǎn)為P，畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么？,,,,,,,A,O,B,M,N,P,解：在RT△MOP和RT△NOP中， OM=ON， OP=OP， ∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）. ∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.,,課堂小結(jié),角平分線,性質(zhì)定理,一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)； 二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離； 兩相等：兩條垂線段相等,輔助線 添加,過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段,,,,判定定理,,在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上,