福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修

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1、 福建省漳州市薌城中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2三垂線定理教案 新人教A版必修2 授課類型：新授課 授課時間：第 周 年 月 日（星期 ） 一、教學(xué)目標(biāo) 1、知識與技能：理解三垂線定理及其逆定理的證明，準(zhǔn)確把握“空間三線”垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)；掌握三垂線定理及其逆定理解題的一般步驟。 2、過程與方法：通過三垂線定理的證明及應(yīng)用，體會空間線線、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。 3、情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜想和論證能力；培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和辯證唯物主義觀點(diǎn)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：三垂線定理及其逆定理的證明和初步應(yīng)用。 難點(diǎn)：三垂線定理中的垂直關(guān)系及證明過程。 關(guān)鍵

2、：把握住斜線和它在平面上的射影必定同時垂直于平面內(nèi)的某條直線。 三、教材分析： 1、“三垂線定理”是高中立體幾何中的重要內(nèi)容之一，它是在研究了空間直線和平面垂直的基礎(chǔ)上研究兩條直線垂直關(guān)系的一個重要定理，它既是線面垂直關(guān)系的一個應(yīng)用，又為以后學(xué)習(xí)面面垂直，研究空間距離、空間角奠定了基礎(chǔ)，同時這節(jié)課也是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力都有重要意義。 2、本節(jié)課的教學(xué)過程為：猜、證、比、用，即猜想平面內(nèi)的直線與平面的斜線垂直的特征；證明三垂線定理及其逆定理；比較兩個定理；應(yīng)用定理證題。 由于本節(jié)課安排在立體幾何學(xué)習(xí)的初始階段，是學(xué)生空間觀念形成的

3、關(guān)鍵時期，因此要重視讓學(xué)生動手做模型，教師演示指導(dǎo)，讓學(xué)生直觀地感受到空間線面、線線關(guān)系的變化，再在教師的引導(dǎo)下思考線面、線線垂直關(guān)系存在的因果關(guān)系，逐步推理、猜想命題，論證命題，從而發(fā)現(xiàn)定理，揭示定理的實(shí)質(zhì)，在定理論證中進(jìn)一步發(fā)展定理，引出逆定理，再進(jìn)行比較，從而更進(jìn)一步地把握定理的關(guān)鍵。對定理的應(yīng)用，只要求學(xué)生在理解定理的基礎(chǔ)上，理清應(yīng)用定理證題的一般步驟，學(xué)會證明一些簡單問題。 3、本節(jié)課采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索式相結(jié)合的教學(xué)方法，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生積極思考，勇于探索，使學(xué)生的心理達(dá)到一種“欲罷不能”的興奮狀態(tài)，從而產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，體現(xiàn)學(xué)生的主體作用。 四、教學(xué)過程

4、 （一）復(fù)習(xí)和引入新課 提問：（1）直線和平面垂直的定義是什么？（直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線。） （2）直線和平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。 （3）如圖，如果PO⊥平面α，PA與平面α交于點(diǎn)A，則PO為平面α的垂線，PA為平面α的斜線，連接垂足O與斜足A的直線OA叫做斜線PA在平面α內(nèi)的射影。 （二）猜想和發(fā)現(xiàn) 1、揭示問題，引導(dǎo)探究 根據(jù)直線和平面垂直的定義知平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直。 進(jìn)一步，平面內(nèi)的任意一條直線是否都和平面的一條斜線垂直？（否） 是否平面內(nèi)的所有直線都不和平面的一條斜線垂直？

5、 2、模型演示 引導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭建模型（如圖）。 如圖表示平面的斜線（PO）在平面內(nèi)有垂線（a），且有無數(shù)條。這些直線應(yīng)具備什么條件，即怎樣判定平面內(nèi)的直線與平面的一條斜線垂直呢？ 指導(dǎo)學(xué)生用三角板和鉛筆在桌面上搭成模型（如圖），使鉛筆與三角板的斜邊垂直，引導(dǎo)學(xué)生觀察猜想發(fā)現(xiàn)規(guī)律，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)鉛筆和三角板在平面α內(nèi)的直角邊垂直時，便與斜邊垂直。 3、結(jié)論：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 （三）證明定理 實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)果是否正確還得進(jìn)行證明。 已知：PA、PO分別是平面α的垂線、斜線，AO是PO在平面α上的射影，

6、（如圖）。 求證：a⊥PA。 分析：證明兩直線垂直，可轉(zhuǎn)化為證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，從本題條件看，PO在平面PAO內(nèi)，只要證明a⊥平面PAO即可。 證明：因?yàn)?，所以PO ⊥a，又a ⊥OA，PO∩OA = O，所以a⊥平面POA，所以a ⊥PA。 （四）揭示定理 上面命題反映了平面內(nèi)一條直線、平面的斜線和斜線在這個平面內(nèi)的射影這三者之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理，下面請大家根據(jù)已知條件和結(jié)論，把三垂線定理完整地表達(dá)出來。 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。 三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面內(nèi)的直線與平面的斜

7、線垂直的判定定理。這個定理之所以著名，不僅在于它給了我們一個證明線線垂直的重要方法，為研究計算空間角、空間距離奠定了基礎(chǔ)，而且這個定理的證明方法——“線面垂直法”，也是一種非常重要的方法。 剛才我們由a與PA、AO垂直得到了a與平面PAO垂直，現(xiàn)在我們再看，由于PA與a總垂直，那么當(dāng)a與PO垂直時還會有a⊥平面PAO嗎？進(jìn)一步可得到什么結(jié)論？（a⊥AO）這樣我們又得到了一個重要定理： 三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。 請同學(xué)們寫出證明過程，并與原定理進(jìn)行對比。 （五）原、逆定理的比較 相同點(diǎn)：（1）結(jié)構(gòu)相同

8、：都是由線線垂直推證線線垂直； （2）證明方法相同：都采用了線面垂直法。 不同點(diǎn)：（1）用途不同：原定理是用來證空間兩直線垂直；逆定理是用來證平面上兩直線垂直。 （2）條件與結(jié)論不同：原定理：“與射影垂直”“與斜線垂直”；逆定理：“與斜線垂直”“與射影垂直”。 （六）定理的應(yīng)用 例1：如圖，O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，連結(jié)PA，求證：BC⊥PA。 分析：PO是平面的垂線，PA是平面的斜線，BC在平面ABC上，所以，欲證BC⊥PA，只需證明BC垂直PA在平面ABC上的射影即可。 證明：連結(jié)AO并延長交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影。 又O是△ABC的

9、垂心，所以AD⊥BC，由三垂線定理可得BC⊥PA。 小結(jié)：使用三垂線定理證題的一般步驟是： 一定——定平面及平面內(nèi)的一條直線；二找——找平面的垂線、斜線及射影；三證——證明平面內(nèi)一直線與射影垂直。 由于逆定理與原定理的實(shí)質(zhì)相同，結(jié)構(gòu)相似，因而使用時也可以按以上步驟進(jìn)行，這對我們在復(fù)雜圖形中使用定理很有好處。 例2：正方體ABCD—A1B1C1D1中，求證： （1）A1C⊥BD； （2）A1C⊥BC1； （3）A1C⊥平面BDC1。 4、探究：如圖，直四棱柱（側(cè)面與底面垂直的棱柱稱為直棱柱）中，底面四邊形ABCD滿足什么條件時，？ 解：連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以為在平面?nèi)的射影，由三

10、垂線定理知，當(dāng)時，有，即四邊形ABCD的對角線互相垂直時，。 （七）歸納總結(jié) 1、本節(jié)課重點(diǎn)學(xué)習(xí)了三垂線定理及其逆定理，它們是空間兩線垂直的判定與性質(zhì)定理，要牢固掌握，并注意原、逆定理的區(qū)別與聯(lián)系。 2、學(xué)會按“一定、二找、三證”的步驟應(yīng)用兩個定理證明線線垂直。 （八）布置作業(yè) 1、已知點(diǎn)O是△ABC的BC邊上的高上的任意一點(diǎn)，且OP⊥平面ABC，求證PA⊥BC。 2、如圖，PD⊥平面ABC，AC = BC，D為AB的中點(diǎn)，求證：AB⊥PC。 3、如圖，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，連結(jié)PB、PC、PD，指出圖中有哪些三角形是直角三角形，并說明理由。 教學(xué)反思： 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！