初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第11講 雙曲線

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1、 第十一講 雙曲線 形如()的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，它的圖象是由兩條曲線組成的雙曲線，與雙曲線相關(guān)的知識(shí)有： 1． 雙曲線解析式中的系數(shù)決定圖象的大致位置及隨變化的狀況． 2．雙曲線圖象上的點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱(chēng)，在>0時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)；在<0時(shí)函數(shù)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)． 3．自變量的取值是不等于零的全體實(shí)數(shù)，雙曲線向坐標(biāo)軸無(wú)限延伸但不能接近坐標(biāo)軸． 【例題求解】 【例1】 已知反比例函數(shù)的圖象與直線和過(guò)同一點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，這個(gè)反比例函數(shù)的函數(shù)值隨的增大而 (填增大或減小)．

2、 思路點(diǎn)撥 確定的值，只需求出雙曲線上一點(diǎn)的坐標(biāo)即可． 注：(1)解與反比函數(shù)相關(guān)問(wèn)題時(shí)，充分考慮它的對(duì)稱(chēng)性(關(guān)于原點(diǎn)O中心稱(chēng)，關(guān)于軸對(duì)稱(chēng))，這樣既能從整上思考問(wèn)題，又能提高思維的周密性． (2)一個(gè)常用命題： 如圖，設(shè)點(diǎn)A是反比例函數(shù)()的圖象上一點(diǎn)，過(guò)A作AB⊥軸于B，過(guò)A作AC⊥軸于C，則 ①S△AOB=； ②S矩形OBAC=． 【例2】 如圖，正比例函數(shù) ()與反比例函數(shù)的圖象相交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A作AB⊥軸于B，連結(jié)BC，若S△ABC的面積為S，則(

3、 ) A．S=1 B．S =2 C．S= D．S= 1 / 9 思路點(diǎn)撥 運(yùn)用雙曲線的對(duì)稱(chēng)性，導(dǎo)出S△AOB與S△OBC的關(guān)系． 【例3】 如圖，已知一次函數(shù)和反比例函數(shù)()的圖象在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)A、B． (1)求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2)若△AOB面積S＝24，求的值． (2003年荊門(mén)市中考題) 思路點(diǎn)撥 (1)兩圖象有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，即聯(lián)立方程組有兩組

4、不同實(shí)數(shù)解； (2)S△AOB= S△COB S- S△COA，建立的方程． 【例4】 如圖，直線分別交、軸于點(diǎn)A、C，P是該直線上在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，PB⊥軸于B，S△ABP=9． (1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)點(diǎn)R與點(diǎn)P在同一個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，且點(diǎn)R在直線PB的右側(cè)，作PT⊥軸于F，當(dāng)△BRT與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)． 思路點(diǎn)撥 (1)從已知的面積等式出發(fā)，列方程求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2)以三角形相似為條件，結(jié)合線段長(zhǎng)與坐標(biāo)的關(guān)系求R坐標(biāo)，但要注意分類(lèi)討論． 【例5】 如圖，正方形OABC的面積為9，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)C在軸上

5、， 點(diǎn)B在函數(shù) (，)的圖象上，點(diǎn)P(，)是函數(shù) (，)的圖象上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F，并設(shè)矩形OEPF和正方形OABC不重合部分的面積為S． (1)求B點(diǎn)坐標(biāo)和的值； (2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)寫(xiě)出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式． 思路點(diǎn)撥 把矩形面積用坐標(biāo)表示，A、B坐標(biāo)可求，S矩形OAGF可用含的代數(shù)式表示，解題的關(guān)鍵是雙曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，符合題設(shè)條件的P點(diǎn)不惟一，故思考須周密． 注：求

6、兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般通過(guò)解這兩個(gè)函數(shù)解析式組成的方程組得到，求符合某種條件 的點(diǎn)的坐標(biāo)，需根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和幾何元素間的關(guān)系建立關(guān)于縱橫坐標(biāo)的方程(組)，解方程(組)便可求得有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，對(duì)于幾何問(wèn)題，還應(yīng)注意圖形的分類(lèi)討論． 學(xué)歷訓(xùn)練 1． 若一次函數(shù)的圖象如圖所示，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸位于y軸的 側(cè)；反比例函數(shù)的圖象在第 象限，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而 ． 2．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)

7、A(m，n)，其中m，n是一元二次方程的兩個(gè)根，則A點(diǎn)坐標(biāo)為 ． 3．如圖：函數(shù)（≠0）與的圖象交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥軸，垂足為點(diǎn)C，則△BOC的面積為 ． 4．已知，點(diǎn)P(n，2n)是第一象限的點(diǎn)，下面四個(gè)命題： (1)點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P1的坐標(biāo)是(n，-2n)； (2)點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離是n；(3)直線 y=-nx+2n不經(jīng)過(guò)第三象限；(4)對(duì)于函數(shù)y=，當(dāng)x＜0時(shí),y隨x的增大而減??；其中真命題是 .(填上所有真命題的序號(hào))

8、 5．已知反比例函數(shù)y=的圖像上兩點(diǎn)A(x1，y1)、B（x2，y2），當(dāng)x1＜0＜x2時(shí)，有y1＜y2 ,則m的取值范圍是( ) A．m＜O B．m＞0 C. m＜ D.m＞ 6．已知反比例函數(shù)的圖象如圖所示，則二次函數(shù)的圖象大致為( )

9、 7．已知反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，y 隨x的增大面增大，那么一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)( ) A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 8．如圖，A、B是函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，AC⊥軸于C，BD⊥軸于D，如果四邊形ACBD的面積為S，那么( ) A． S＝1 B．12 D．S＝2 9．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b(k

10、≠O)的圖像與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)y= (m≠0)的圖像在第一象限交于C點(diǎn)，CD垂直于x軸，垂足為D．若OA=OB=OD=l． （1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)； （2）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式． 10．已知A(x1、y1)，B(x2，y2)是直線與雙曲線 ()的兩個(gè)不同交點(diǎn)． (1)求的取值范圍； (2)是否存在這樣的值，使得?若存在，求出這樣的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

11、 11．已知反比例函數(shù)和一次函數(shù)y＝2x-1，其中一次函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)(a，b)，(a+1，b+k)兩點(diǎn)． (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)如圖，已知點(diǎn)A在第一象限，且同時(shí)在上述兩個(gè)函數(shù)的圖像上，求A點(diǎn)坐標(biāo)； (3)利用(2)的結(jié)果，請(qǐng)問(wèn)：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使ΔAOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)都求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 12．反比例函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P(m，n)，其中m、

12、n是關(guān)于t的一元二次方程的兩根，且P到原點(diǎn)O的距離為，則該反比例函數(shù)的解析式為 ． 13．如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù) ()的圖象交于點(diǎn)A，若取1，2，3…20，對(duì)應(yīng)的Rt△AOB的面積分別為S1，S2，…，S20，則S1+S2+…+S20= ． 14．老師給出一個(gè)函數(shù)y=f(x)，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)： 甲：函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)第三象限； 乙：函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)第一象限； 丙：當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大

13、而減?。? ?。寒?dāng)x＜2時(shí)，y＞0 已知這四位同學(xué)敘述都正確，請(qǐng)構(gòu)造出滿(mǎn)足上述所有性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)： ． 15．已知反比例函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(m，2)． (1)求這個(gè)一次函數(shù)的解析式； (2)如果等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)A、B在這個(gè)一次函數(shù)的圖象上，頂點(diǎn)C、D在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，兩底AD、BC與軸平行，且A、B的橫坐標(biāo)分別為和，求的值． 16．如圖，直線經(jīng)過(guò)A(1，0)，B(0，1)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線()上任意一

14、點(diǎn)，PM⊥軸，PN⊥軸，垂足分別為M，N．PM與直線AB交于點(diǎn)E，PN的延長(zhǎng)線與直線AB交于點(diǎn)F． (1) 求證：AFBE＝1； (2)若平行于AB的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求公共點(diǎn)的坐標(biāo)． (2003年江漢油田中考題) 17．已知矩形ABCD的面積為36，以此矩形的對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，其中x>0，y>0． (1)求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，求出自變量x的取值范圍； (2)用x、y表示矩形ABCD的外接圓的面積S，并用下列方法，解答后面的問(wèn)題： 方法：∵ (k為常數(shù)且k>0，a≠

15、0)，且 ∴．． ∴當(dāng)=0，即時(shí)，取得最小值2k． 問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)A在何位置時(shí)，矩形ABCD的外接圓面積S最小?并求出S的最小值； (3)如果直線y=mx+2(m<0)與x軸交于點(diǎn)P，與y軸交于點(diǎn)Q，那么是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使得點(diǎn)P、Q與(2)中求出的點(diǎn)A構(gòu)成△PAQ的面積是矩形ABCD面積的?若存在，請(qǐng)求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！