2020—2021學(xué)年 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊：第十八章平行四邊形 專題練習(xí)（附答案）

《2020—2021學(xué)年 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊：第十八章平行四邊形 專題練習(xí)（附答案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020—2021學(xué)年 人教版數(shù)學(xué)八年級下冊：第十八章平行四邊形 專題練習(xí)（附答案）（24頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第18章 平行四邊形 專題練習(xí) 專題1　平行四邊形的證明思路 類型1　若已知(已證)四邊形中邊的關(guān)系 (1)已知一組對邊平行，可以證這一組對邊相等或另一組對邊平行； (2)已知一組對邊相等，可以證這一組對邊平行或另一組對邊相等 1．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D在AB上，過點D作BC的平行線，與AC相交于點E，點F在BC上，EF＝EC.求證：四邊形DBFE是平行四邊形． 2．如圖，在?ABCD中，點O是對角線AC，BD的交點，點E是邊CD的中點，點F在BC的延長線上，且CF＝BC，求證：四邊形OCFE是平行四邊形． 3．如圖

2、，點B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，連接AD.求證：四邊形ABED是平行四邊形． 4．如圖，在?ABCD中，分別以AD，BC為邊向內(nèi)作等邊△ADE和等邊△BCF，連接BE，DF.求證：四邊形BEDF是平行四邊形． 5．如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，將FD延長到點G，使FG＝2DF，連接AG，則ED與AG互相平分嗎？ 請說明理由． 6．如圖，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF與BE交于點G，CE與DF交于點H

3、，求證：四邊形EGFH是平行四邊形． 類型2　若已知條件(已證結(jié)論)與對角線有關(guān)，則可以通過證明對角線互相平分得到平行四邊形 7．如圖，?ABCD的對角線相交于點O，直線EF經(jīng)過點O，分別與AB，CD的延長線交于點E，F(xiàn).求證：四邊形AECF是平行四邊形． 8．如圖，在?ABCD 中，點O 是對角線AC 的中點，EF 過點O，與AD，BC 分別相交于點E，F(xiàn)，GH 過點O，與AB，CD 分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH.求證：四邊形EGFH 是平行四邊形．

4、 專題2　與正方形有關(guān)的四個?？寄Ｐ? 模型1　正方形中相交垂線段問題——教材P68復(fù)習(xí)題T8的變式與應(yīng)用 1．如圖，ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，且DE＝CF.要修建兩條路BE和AF，這兩條路等長嗎？它們有什么位置關(guān)系？為什么？ 【探究】若去掉“DE＝CF”這一條件，將兩個結(jié)論中的一個作為條件能推出另一個結(jié)論成立嗎？ (1)若已知BE＝AF，則BE⊥AF成立嗎？ 正方形內(nèi)，分別連接兩組對邊上任意兩點，得到的兩條線段(如：圖1中的線段AF與BE，圖2中的線段AF與EG，圖3中的

5、線段HF與EG)滿足：若垂直，則相等． 模型2　正方形中過對角線交點的直角問題 2．如圖，正方形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F. (1)求證：△AOE≌△BOF； (2)如果兩個正方形的邊長都為a，那么這兩個正方形重疊部分的面積等于多少？為什么？ 【變式1】　如圖，正方形ABCD的邊長為4，點O在對角線DB上運動(不與點B，D重合)，連接OA，作OP⊥OA，交直線BC于點P.判斷線段OA，OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【變式2】　如

6、圖，將n個邊長都為2的正方形按如圖所示擺放，點A1，A2，…，An分別是正方形的中心，則這n個正方形重疊部分的面積之和是( ) A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n 正方形ABCD中，O為兩條對角線的交點，點E，F(xiàn)分別在AB，BC上．若∠EOF為直角，OE，OF分別與DA，AB的延長線交于點G，H，則△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四邊形OEBF＝S正方形ABCD. 模型3　正方形中三垂直全等模型——教材P69復(fù)習(xí)題

7、T14的變式與應(yīng)用 3．正方形ABCD的邊長為6，點P在對角線BD上，點E是線段AD上或AD的延長線上的一點，且PE⊥PC. (1)如圖1，點E在線段AD上，求證：PE＝PC； (2)如圖2，點E在線段AD的延長線上，請補全圖形，并判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由． 模型4　正方形中的半角模型 4．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF＝BE. (1)求證：CE＝CF； (2)若點G在AD上，且∠GCE＝45，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

8、 (1)如圖，正方形ABCD中，若∠EAF＝45，則： ①EF＝BE＋DF；②△CEF的周長為正方形ABCD邊長的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF. (2)如圖，正方形ABCD中，若∠EAF＝45，F(xiàn)A平分∠DFE，則EF＝DF－BE. 專題3　特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 1．如圖，在菱形ABCD中，點P是BC邊上一點，連接AP，點E，F(xiàn)是AP上的兩點，連接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求證： (1)△ABF≌△DAE； (2)DE＝BF＋EF. 2．

9、如圖，四邊形ABCD，BEFG均為正方形，連接AG，CE.求證： (1)AG＝CE； (2)AG⊥CE. 3．如圖，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上一點(不與點A重合)，延長ME交射線CD于點N，連接MD，AN. (1)求證：四邊形AMDN是平行四邊形； (2)請求出AM的長為何值時，四邊形AMDN是矩形，并說明理由． 4.已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點分別為E，F(xiàn)，G，H，順次連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點四邊形)

10、． (1)四邊形EFGH的形狀是 ，證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足 條件時，四邊形EFGH是矩形； (3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？ ． 5．如圖，在矩形ABCD中，點E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點C落在AD邊上的點F處，過點F作FG∥CD交BE于點G，連接CG. (1)求證：四邊形CEFG是菱形； (2)若AB＝6，AD＝10，求四邊形CEFG的面積． 6．如圖所示，在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB

11、，CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H. (1)你能說明四邊形EHFG是平行四邊形嗎？ (2)當(dāng)四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EHFG是一個菱形？ (3)四邊形EHFG會成為一個正方形嗎？ 專題4　四邊形中的動點問題 ——教材P68復(fù)習(xí)題T13的變式與應(yīng)用 【例】　如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC＝18 cm，點P從點A出發(fā)，以1 cm/s的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以2 cm/s的速度向點B運動．規(guī)定其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之

12、停止運動．設(shè)點P，Q運動的時間為t s. (1)CD邊的長度為 cm，t的取值范圍為 ； (2)從運動開始，當(dāng)t取何值時，PQ∥CD? (3)從運動開始，當(dāng)t取何值時，PQ＝CD? 【拓展變式1】　在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQCD是菱形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由． 【拓展變式2】　從運動開始，當(dāng)t取何值時，四邊形PQBA是矩形？ 【拓展變式3】　在整個運動過程中是否存在t值，使得四邊形PQBA是正方形？若存在，請求出t值

13、；若不存在，請說明理由． 【拓展變式4】　是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t值；若不存在，請說明理由． 專題5　特殊平行四邊形中的折疊問題 ——教材P64“數(shù)學(xué)活動”的變式與應(yīng)用 【例】　如圖1，對折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；再次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經(jīng)過點B，得到折痕BM，同時得到線段BN，MN.請你觀察圖1，猜想∠MBN的度數(shù)是多少，并證明你的結(jié)論． 圖1 【拓展延伸】　再沿MN所在的直線折疊，點B落在AD上的點B′處，得到折痕MG

14、，同時得到線段B′G，展開如圖2.探究四邊形MBGB′的形狀，并證明你的結(jié)論． 圖2 在折疊問題中，原圖形與折疊后圖形中所隱含的相等線段與相等角常常是解決問題的關(guān)鍵，注意翻折變換的性質(zhì)的靈活運用，折疊前后，重疊部分是全等形，另外注意勾股定理等知識在求折疊圖形的線段中的適當(dāng)運用． 1．如圖，將矩形ABCD折疊，使點C和點A重合，折痕為EF，EF與AC交于點O.若AE＝5，BF＝3，則AO的長為( ) A. B. C．2

15、D．4 2．如圖，將邊長為6 cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在AB邊中點E處，點C落在點Q處，折痕為FH，則線段AF的長是 cm. 3．如圖，將一張菱形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH.若EF＝4，EH＝3，則AB＝ ． 4．如圖，在矩形ABCD中，AB>AD，把矩形沿對角線AC所在直線折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE.求證： (1)△ADE≌△CED； (2)△DEF是等腰三角形． 專題6　特殊平行四邊形中的最值問題 【例】　如圖，正方形ABCD的邊長

16、為4，E為BC上的一點，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點，P為AC上一個動點，求PF＋PE的最小值． 【思路點撥】　(1)先確定點P的位置：作點E關(guān)于AC的對稱點E′，連接FE′，交AC于點P，則點P即為所求；(2)求E′F的長度：將E′F放到一個直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的長，即求出了PF＋PE的最小值． 求線段和最小時，若已知的兩點在動點所在直線的同側(cè)，將動點所在直線當(dāng)作對稱軸，作出其中一點的對稱點，再將另一點與這個對稱點連接，則其與直線的交點即為所求動點所在位置，再求出所連接的線段長即為所求． 1．如圖，菱形

17、ABCD的邊長為2，∠DAB＝60，點E為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，則PB＋PE的最小值為 ． 2．如圖，在矩形ABCD的邊AD上找一點P，使得點P到B，C兩點的距離之和最短，則點P的位置應(yīng)該在 ． 3．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60，M為對角線BD(不含B點)上任意一點，則AM＋BM的最小值為 ． 4．如圖，以邊長為2的正方形的對角線的交點O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A，B兩點，求線段AB的最小值．  參考答案： 專題1　平行

18、四邊形的證明思路 1．證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C. ∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C. ∴∠B＝∠EFC. ∴AB∥EF. 又∵DE∥BC， ∴四邊形DBFE是平行四邊形． 2．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴點O是BD的中點． 又∵點E是邊CD的中點， ∴OE是△BCD的中位線． ∴OE∥BC，且OE＝BC. 又∵CF＝BC， ∴OE＝CF. 又∵點F在BC的延長線上， ∴OE∥CF. ∴四邊形OCFE是平行四邊形． 3．證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF. ∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F. ∵BE＝CF，∴BE＋CE＝CF＋CE，即BC＝

19、EF. 在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF(ASA)．∴AB＝DE. ∵AB∥DE， ∴四邊形ABED是平行四邊形． 4．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD. 又∵△ADE和△BCF都是等邊三角形， ∴DE＝AD＝AE，CF＝BF＝BC，∠DAE＝∠BCF＝60. ∴BF＝DE，CF＝AE. ∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE， ∴∠DCF＝∠BAE. 在△DCF和△BAE中， ∴△DCF≌△BAE(SAS)． ∴DF＝BE. 又∵BF＝DE， ∴四邊形BEDF是平行四

20、邊形． 5．解：ED與AG互相平分． 理由：連接EG，AD. ∵DE∥AF，DE＝AF， ∴四邊形AEDF是平行四邊形． ∴AE∥DF，AE＝DF. 又∵FG＝2DF， ∴DG＝DF. ∴AE＝DG. 又∵AE∥DG， ∴四邊形AEGD是平行四邊形． ∴ED與AG互相平分． 6．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點， ∴AE＝AD，F(xiàn)C＝BC. ∴AE∥FC，AE＝FC. ∴四邊形AECF是平行四邊形． ∴GF∥EH. 同理可證：ED∥BF且ED＝BF. ∴四邊形BFDE是平行四邊形． ∴

21、GE∥FH. ∴四邊形EGFH是平行四邊形． 7．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OD＝OB，OA＝OC，AB∥CD. ∴∠DFO＝∠BEO，∠FDO＝∠EBO. 在△FDO和△EBO中， ∴△FDO≌△EBO(AAS)． ∴OF＝OE. 又∵OA＝OC， ∴四邊形AECF是平行四邊形． 8．證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC. ∴∠EAO＝∠FCO. ∵O為AC的中點， ∴OA＝OC. 在△OAE和△OCF中， ∴△OAE≌△OCF(ASA)． ∴OE＝OF. 同理可證：OG＝OH. ∴四邊形EGFH是平行四邊

22、形． 專題2　與正方形有關(guān)的四個?？寄Ｐ? 1．解：BE＝AF且BE⊥AF，理由： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠D＝90. 又∵DE＝CF，∴AE＝DF. ∴△ABE≌△DAF(SAS)． ∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90，∴∠ABE＋∠BAF＝90. ∴∠AGB＝90，即BE⊥AF. 【探究】解：成立．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠D＝90，AB＝AD. 在Rt△ABE和Rt△DAF中， ∴Rt△ABE≌Rt△DAF(HL)． ∴∠ABE＝∠DAF. ∵∠DAF＋∠BAF＝90

23、，∴∠ABE＋∠BAF＝90.∴∠AGB＝90，即BE⊥AF. (2)若已知BE⊥AF，則BE＝AF成立嗎？ 解：成立．理由：∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90. 又∵BE⊥AF，∴∠AGB＝90. ∴∠ABE＋∠BAF＝90. ∵∠DAF＋∠BAF＝90，∴∠ABE＝∠DAF. ∴△ABE≌△DAF(ASA)． ∴BE＝AF. 2．解：(1)證明：在正方形ABCD中， AO＝BO，∠AOB＝∠A1OC1＝90，∠OAB＝∠OBC＝45. ∴∠AOE＋∠EOB＝90，∠BOF＋∠EOB＝90. ∴∠AOE＝∠BOF. 在△AOE和△BOF中

24、， ∴△AOE≌△BOF(ASA)． (2)兩個正方形重疊部分的面積等于a2.理由如下： ∵△AOE≌△BOF， ∴S四邊形OEBF＝S△EOB＋S△BOF＝S△EOB＋S△AOE＝S△AOB＝S正方形ABCD＝a2. 【變式1】　解：OA＝OP，理由： 過點O作OG⊥AB于點G，過點O作OH⊥BC于點H， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABO＝∠CBO，AB＝BC. ∴OG＝OH. ∵∠OGB＝∠GBH＝∠BHO＝90， ∴四邊形OGBH是正方形． ∴∠GOH＝90. ∵∠AOP＝∠GOH＝90，∴∠AOG＝∠POH. ∴△AGO≌△PHO(ASA)． ∴

25、OA＝OP. 【變式2】　B 3．解：(1)證明：過點P作FG∥DC分別交AD，BC于點F，G. 易得∠PFD＝∠CGP＝90. ∵BD為正方形ABCD的對角線， ∴∠BDF＝∠FPD＝45. ∴PF＝FD. 又∵FG∥DC，F(xiàn)D∥GC，∠ADC＝90， ∴四邊形FGCD為矩形． ∴DF＝CG. ∴PF＝CG. ∵PE⊥PC， ∴∠FPE＋∠GPC＝90. ∵∠FEP＋∠FPE＝90， ∴∠FEP＝∠GPC. ∴在△PFE和△CGP中， ∴△PFE≌△CGP(AAS)． ∴PE＝CP. (2)成立．理由：過點P作FG∥DC分別交AD，BC于點F，G.

26、同理可證△PFE≌△CGP(AAS)． ∴PE＝PC. 4．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDF. 又∵BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF(SAS)． ∴CE＝CF. (2)GE＝BE＋GD成立． 理由：由(1)得，△CBE≌△CDF， ∴∠BCE＝∠DCF. ∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD， 即∠BCD＝∠ECF＝90. 又∵∠GCE＝45， ∴∠GCF＝∠GCE＝45. ∵CE＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC， ∴△ECG≌△FCG(SAS)． ∴GE＝GF. ∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD. 專題3　

27、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定 1．證明：(1)∵四邊形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPF＝∠DAE. ∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE. ∵∠ABF＝∠BPF，∴∠ABF＝∠DAE. ∵AB＝DA， ∴△ABF≌△DAE(ASA)． (2)∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF，DE＝AF. ∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF， ∴DE＝BF＋EF. 2．證明：(1)∵四邊形ABCD，BEFG均為正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝∠GBE＝90，BG＝BE. ∴∠ABG＝∠CBE. 在△ABG和△CBE中， ∴△ABG≌△CBE(SAS)

28、． ∴AG＝CE. (2)設(shè)AG交BC于點M，交CE于點N. ∵△ABG≌△CBE， ∴∠BAG＝∠BCE. ∵∠ABC＝90， ∴∠BAG＋∠AMB＝90. ∵∠AMB＝∠CMN， ∴∠BCE＋∠CMN＝90. ∴∠CNM＝90. ∴AG⊥CE. 3．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形， ∴ND∥AM. ∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME. 又∵點E是AD邊的中點， ∴DE＝AE. ∴△NDE≌△MAE(AAS)． ∴ND＝MA. ∴四邊形AMDN是平行四邊形． (2)當(dāng)AM的長為1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下： ∵AM＝1＝AD＝A

29、E，∠DAB＝60， ∴△AEM是等邊三角形． ∴∠AME＝∠AEM＝60，EM＝AE＝ED. ∴∠EMD＝∠EDM＝30. ∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90. ∴四邊形AMDN是矩形． 4.(1)四邊形EFGH的形狀是平行四邊形，證明你的結(jié)論； (2)當(dāng)四邊形ABCD的對角線滿足互相垂直條件時，四邊形EFGH是矩形； (3)你學(xué)過的哪種特殊四邊形的中點四邊形是矩形？菱形． 證明：連接BD.∵E，H分別是AB，AD中點， ∴EH∥BD，EH＝BD. 同理FG∥BD，F(xiàn)G＝BD， ∴EH∥FG，EH＝FG. ∴四邊形EFGH是平行四邊形． 5．解：(1)證

30、明：由題意得△BCE≌△BFE， ∴∠BEC＝∠BEF，F(xiàn)E＝CE. ∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠BEC. ∴∠FGE＝∠BEF. ∴FG＝FE.∴FG＝EC. ∴四邊形CEFG是平行四邊形． 又∵CE＝FE， ∴四邊形CEFG是菱形． (2)∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF， ∴∠BAF＝90，AD＝BC＝BF＝10. ∴AF＝＝8.∴DF＝2. 設(shè)EF＝x，則CE＝x，DE＝6－x. ∵∠FDE＝90， ∴22＋(6－x)2＝x2.解得x＝.∴CE＝. ∴S四邊形CEFG＝CEDF＝2＝. 6．解：(1)能說明四邊形EHFG是平行四邊形．

31、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB綊CD. 而AE＝AB，CF＝CD， ∴AE綊CF. ∴四邊形AECF是平行四邊形．∴GF∥EH. 同理可得GE∥HF. ∴四邊形EHFG是平行四邊形． (2)當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形EHFG是菱形． 由(1)知，四邊形EHFG是平行四邊形． 連接EF.當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形EBCF也是矩形， ∴EH＝FH，∴四邊形EHFG是菱形． (3)當(dāng)四邊形ABCD是矩形且AB＝2AD時，四邊形EHFG是正方形． 由(2)知，當(dāng)四邊形ABCD是矩形時，四邊形EHFG是菱形． 又由AB＝2AD可知，四邊形EBCF是正方形．

32、 根據(jù)正方形的性質(zhì)知，EC⊥BF，即∠EHF＝90， ∴四邊形EHFG是正方形． 專題4　四邊形中的動點問題 【例】　(1)CD邊的長度為10cm，t的取值范圍為0≤t≤9； 解：(2)設(shè)經(jīng)過t s時，PQ∥CD，此時四邊形PQCD為平行四邊形，則PD＝CQ. ∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4. ∴當(dāng)t＝4時，PQ∥CD. (3)設(shè)經(jīng)過t s時，PQ＝CD，分別過點P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F(xiàn). 當(dāng)CF＝EQ時，四邊形PQCD為梯形(腰相等)或者平行四邊形． ∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90， ∴四邊形ABF

33、D是矩形．∴AD＝BF. ∵AD＝12 cm，BC＝18 cm， ∴CF＝BC－BF＝6 cm. ①當(dāng)四邊形PQCD為梯形(腰相等)時， PD＋2(BC－AD)＝CQ， ∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8. ∴當(dāng)t＝8時，PQ＝CD； ②當(dāng)四邊形PQCD為平行四邊形時，由(2)知當(dāng)t＝4 s時，PQ＝CD. 綜上，當(dāng)t＝4或t＝8時，PQ＝CD. 【拓展變式1】　解：不存在．理由： 要使四邊形PQCD是菱形，則四邊形PQCD一定是平行四邊形． 由例知當(dāng)t＝4 s時，四邊形PQCD是平行四邊形． 此時DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC， 所以按已知速度運動，四

34、邊形PQCD只能是平行四邊形，不可能是菱形． 【拓展變式2】　 解：如圖，由題意，得AP＝t，DP＝12－t，CQ＝2t，BQ＝18－2t. 要使四邊形PQBA是矩形，已有∠B＝90，AD∥BC，即AP∥BQ，只需滿足AP＝BQ，即t＝18－2t，解得t＝6. 所以當(dāng)t＝6時，四邊形PQBA是矩形． 【拓展變式3】　解：不存在．理由： 要使四邊形PQBA是正方形，則四邊形PQBA一定是矩形． 由變式2知，當(dāng)t＝6時，四邊形PQBA是矩形． 此時AP＝t＝6≠8，即AP≠AB， 所以按已知速度運動，四邊形PQBA只能是矩形，不可能是正方形． 【拓展變式4】　解

35、：△DQC是等腰三角形時，分三種情況討論： 圖1 圖2 圖3 ①如圖1，當(dāng)QC＝DC時，即2t＝10，∴t＝5. ②如圖2，當(dāng)DQ＝DC時，過點D作DH⊥CQ， 則QH＝CH＝CQ＝t. 在矩形ABHD中，BH＝AD＝12，∴CH＝BC－BH＝6，∴t＝6. ③如圖3，當(dāng)QD＝QC時，過點D作DH⊥CQ，DH＝8，CH＝6，DC＝10，CQ＝QD＝2t，QH＝|2t－6|. 在Rt△DQH中，DH2＋QH2＝DQ2. ∴82＋|2t－6|2＝(2t)2. 解得t＝. 綜上，當(dāng)t

36、＝5或6或時，△DQC是等腰三角形 專題5　特殊平行四邊形中的折疊問題 【例】　解：∠MBN＝30. 證明：連接AN.∵直線EF是AB的垂直平分線，點N在EF上，∴AN＝BN. 由折疊可知，BN＝AB， ∴△ABN是等邊三角形． ∴∠ABN＝60. ∴∠MBN＝∠ABM＝∠ABN＝30. 【拓展延伸】　解：四邊形MBGB′是菱形．證明： ∵∠ABM＝30，∠A＝∠ABC＝90， ∴∠MBG＝∠AMB＝60. 根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BM＝MB′，BG＝B′G，∠BMN＝∠AMB. ∴∠BMN＝∠MBG＝60. ∴△MBG是等邊三角形． ∴BM＝BG. ∴BM＝M

37、B′＝BG＝B′G. ∴四邊形MBGB′是菱形． 1．C 2． cm. 3．5． 4．證明：(1)由折疊相關(guān)性質(zhì)可知，AE＝AB，CE＝CB. ∵四邊形ABCD是矩形，∴AE＝AB＝DC，CE＝CB＝AD. 在△ADE和△CED中， ∴△ADE≌△CED(SSS)． (2)由(1)知，△ADE≌△CED，∴∠AED＝∠CDE. ∴△DEF是等腰三角形． 小專題(十)　特殊平行四邊形中的最值問題 【例】　解：作點E關(guān)于直線AC的對稱點E′(易知點E′在CD上)，連接E′F，交AC于點P. 則PE＝PE′，CE′＝CE. ∴PE＋PF＝PE′＋PF＝E′F. ∴P

38、即為所求的使PF＋PE最短的點． ∵正方形ABCD的邊長為4，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點， ∴BF＝2，CE＝CB－BE＝3. ∴CE′＝CE＝3. 過點F作FG⊥CD于點G，則∠FGE′＝∠FGC＝90. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠BCD＝∠FGC＝90. ∴四邊形FBCG是矩形． ∴CG＝BF＝2，F(xiàn)G＝BC＝4. ∴E′G＝E′C－CG＝1. ∴在Rt△E′FG中，E′F＝＝＝. ∴PF＋PE的最小值為. 1．． 2．AD的中點． 3．4． 4．解：∵四邊形CDEF是正方形， ∴∠OCA＝∠ODB＝45，∠COD＝90，OC＝OD. ∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90. ∴∠COA＋∠AOD＝90，∠AOD＋∠DOB＝90. ∴∠COA＝∠DOB. 在△COA和△DOB中， ∴△COA≌△DOB(ASA)． ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝90，∴△AOB是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB＝＝OA， 要使AB最小，只要OA取最小值即可， 根據(jù)垂線段最短，得OA⊥CD時，OA最小， ∵四邊形CDEF是正方形，∴OD＝OC. 又∵OA⊥CD，∴CA＝DA. ∴OA＝CF＝1.∴AB＝. ∴AB的最小值為.