葫蘆島市2015-2016學年九年級上期中數學試卷含答案解析.doc

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2015-2016學年遼寧省葫蘆島市九年級（上）期中數學試卷 　 一、選擇題（每題3分共30分） 1．下列汽車標志圖案中屬于中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 　 2．用配方法解方程x2+2x﹣5=0時，原方程應變形為（　　） A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 　 3．若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 　 4．如果二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的部分圖象如圖所示，它的對稱軸過點（﹣1，0），那么關于x的方程ax2+bx+c=0的一個正根可能是（　?。? A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 　 5．如圖，在方格紙上△DEF是由△ABC繞定點P順時針旋轉得到的．如果用（2，1）表示方格紙上A點的位置，（1，2）表示B點的位置，那么點P的位置為（　?。? A．（5，2） B．（2，5） C．（2，1） D．（1，2） 　 6．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　　） A．點（0，3） B．點（2，3） C．點（5，1） D．點（6，1） 　 7．⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為（　?。? A． B． C． D． 　 8．如圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40，則∠BAC的度數是（　?。? A．10 B．20 C．30 D．40 　 9．已知y=ax+b的圖象如圖所示，則y=ax2+bx的圖象有可能是（　?。? A． B． C． D． 　 10．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于點E，連接AD，則下列結論正確的個數是（　　） ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 　 　 二、填空題（本題共8個小題，每題3分共24分） 11．一元二次方程2x2=3x的根是　　　　　?。? 　 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個根為2，則另一根為　　　　　?。? 　 13．溱湖風景區(qū)綠化管理處，為綠化環(huán)境，計劃經過兩年時間，使風景區(qū)綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是　　　　　　%． 　 14．如圖，∠AOB=100，點C在⊙O上，且點C不與A、B重合，則∠ACB的度數為　　　　　?。? 　 15．一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E，則CE的長為　　　　　　cm． 　 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為　　　　　　． 　 17．如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你認為其中錯誤的有　　　　　　個． 　 18．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為　　　　　?。? 　 　 三、解答題（第19題10分，第20題12分共22分） 19．用適當的方法解下列方程 （1）4（x+3）2=（x﹣1）2 （2）x2﹣2x﹣8=0． 　 20．如圖，在正方形網格上有一個△ABC． （1）作出△ABC關于點O的中心對稱圖形△A′B′C′（不寫作法，但要標出字母）； （2）若網格上的最小正方形邊長為1，求出△A′B′C′的面積． 　 　 四、解答題（第21題12分，第22題12分共24分） 21．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長． （1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根． 　 22．如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE順時針旋轉△ABF的位置． （1）旋轉中心是點　　　　　　，旋轉角度是　　　　　　度； （2）若連結EF，則△AEF是　　　　　　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 　 　 五、解答題（滿分12分） 23．為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加．某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發(fā)現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=﹣2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w元． （1）求w與x之間的函數關系式． （2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？ （3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？ 　 　 六、解答題（滿分12分） 24．如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB． （1）∠ABC=　　　　　?。? （2）AC與⊙O有什么關系？請證明你的結論； （3）在⊙O上，是否存在點D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由． 　 　 七、解答題（滿分12分） 25．把一副三角板如下圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90，∠A=45，∠D=30，斜邊AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15得到△D1CE1（如圖乙）．這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F． （1）求∠OFE1的度數； （2）求線段AD1的長． 　 　 八、解答題（滿分14分） 26．如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D． （1）求拋物線的解析式； （2）求點D的坐標； （3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 　 　  2015-2016學年遼寧省葫蘆島市九年級（上）期中數學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每題3分共30分） 1．下列汽車標志圖案中屬于中心對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】中心對稱圖形． 【分析】根據中心對稱的概念和各圖形的特點即可求解． 【解答】解：中心對稱圖形，即把一個圖形繞一個點旋轉180后能和原來的圖形重合，A、B、C都不符合； 是中心對稱圖形的只有D． 故選D． 【點評】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形． 　 2．用配方法解方程x2+2x﹣5=0時，原方程應變形為（　?。? A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】把常數項﹣5移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數2的一半的平方． 【解答】解：由原方程，得 x2+2x=5， x2+2x+1=5+1， （x+1）2=6． 故選：A． 【點評】本題考查了配方法解方程．配方法的一般步驟： （1）把常數項移到等號的右邊； （2）把二次項的系數化為1； （3）等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方． 選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數． 　 3．若關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（　?。? A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】根據根的判別式及一元二次方程的定義得出關于k的不等式組，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵關于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有兩個不相等的實數根， ∴，即， 解得k＞﹣1且k≠0． 故選B． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程的根與判別式的關系是解答此題的關鍵． 　 4．如果二次函數y=ax2+bx+c（其中a、b、c為常數，a≠0）的部分圖象如圖所示，它的對稱軸過點（﹣1，0），那么關于x的方程ax2+bx+c=0的一個正根可能是（　　） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【考點】拋物線與x軸的交點；二次函數圖象與系數的關系． 【分析】已知拋物線與x軸的負半軸的交點位置，根據拋物線的對稱性得出拋物線與x軸正半軸的交點位置，要求會估算． 【解答】解：∵拋物線的對稱軸為x=﹣1，與x軸的一個交點坐標為（﹣3.5，0）， ∴拋物線與x軸的另一交點坐標為（1.5，0）， ∴關于x的方程ax2+bx+c=0的一個正根可能是1.5． 故選B． 【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題．充分利用拋物線的對稱性是解題的關鍵． 　 5．如圖，在方格紙上△DEF是由△ABC繞定點P順時針旋轉得到的．如果用（2，1）表示方格紙上A點的位置，（1，2）表示B點的位置，那么點P的位置為（　?。? A．（5，2） B．（2，5） C．（2，1） D．（1，2） 【考點】坐標與圖形變化-旋轉． 【專題】壓軸題． 【分析】如圖，分別連接AD、CF，然后作它們的垂直平分線即可得到它們的旋轉中心P，然后利用已知坐標即可求出P的坐標． 【解答】解：如圖，分別連接AD、CF，然后作它們的垂直平分線，它們交于P點，則它們旋轉中心為P， 根據圖形知道△ABC繞P點順時針旋轉90得到△DEF， ∴P的坐標為（5，2）． 故選A． 【點評】本題涉及圖形旋轉，體現了新課標的精神，抓住旋轉的三要素：旋轉中心P，旋轉方向順時針，旋轉角度90，通過畫圖即可得P點坐標． 　 6．如圖，在平面直角坐標系中，過格點A，B，C作一圓弧，點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是（　?。? A．點（0，3） B．點（2，3） C．點（5，1） D．點（6，1） 【考點】切線的性質；坐標與圖形性質；勾股定理；垂徑定理． 【專題】壓軸題；網格型． 【分析】根據垂徑定理的性質得出圓心所在位置，再根據切線的性質得出，∠OBD+∠EBF=90時F點的位置即可． 【解答】解：連接AC，作AC，AB的垂直平分線，交格點于點O′，則點O′就是所在圓的圓心， ∴三點組成的圓的圓心為：O′（2，0）， ∵只有∠O′BD+∠EBF=90時，BF與圓相切， ∴當△BO′D≌△FBE時， ∴EF=BD=2， F點的坐標為：（5，1）， ∴點B與下列格點的連線中，能夠與該圓弧相切的是：（5，1）． 故選：C． 【點評】此題主要考查了切線的性質以及垂徑定理和坐標與圖形的性質，得出△BOD≌△FBE時，EF=BD=2，即得出F點的坐標是解決問題的關鍵． 　 7．⊙O是等邊△ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，則等邊△ABC的邊長為（　?。? A． B． C． D． 【考點】三角形的外接圓與外心；等邊三角形的性質． 【分析】首先連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D，由⊙O是等邊△ABC的外接圓，即可求得∠OBC的度數，然后由三角函數的性質即可求得OD的長，又由垂徑定理即可求得等邊△ABC的邊長． 【解答】解：連接OB，OC，過點O作OD⊥BC于D， ∴BC=2BD， ∵⊙O是等邊△ABC的外接圓， ∴∠BOC=360=120， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB===30， ∵⊙O的半徑為2， ∴OB=2， ∴BD=OB?cos∠OBD=2cos30=2=， ∴BC=2BD=2． ∴等邊△ABC的邊長為2． 故選C． 【點評】本題考查了垂徑定理，圓的內接等邊三角形，以及三角函數的性質等知識．此題難度不大，解題的關鍵是掌握數形結合思想的應用與輔助線的作法． 　 8．如圖，已知PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，AC是⊙O的直徑，∠P=40，則∠BAC的度數是（　　） A．10 B．20 C．30 D．40 【考點】切線的性質；圓周角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】連接BC，OB，根據圓周角定理先求出∠C，再求∠BAC． 【解答】解：連接BC，OB， AC是直徑，則∠ABC=90， PA、PB是⊙O的切線，A、B為切點，則∠OAP=∠OBP=90， ∴∠AOB=180﹣∠P=140， 由圓周角定理知，∠C=∠AOB=70， ∴∠BAC=90﹣∠C=20． 故選B． 【點評】本題利用了直徑對的圓周角是直角，切線的概念，圓周角定理，四邊形內角和定理求解． 　 9．已知y=ax+b的圖象如圖所示，則y=ax2+bx的圖象有可能是（　?。? A． B． C． D． 【考點】二次函數圖象與系數的關系；一次函數圖象與系數的關系． 【專題】壓軸題；數形結合． 【分析】根據一次函數的性質得到a＞0，b＜0，再根據二次函數的性質得到拋物線開口向上，拋物線的對稱軸在y軸的右側，拋物線過原點，由此可得到正確答案． 【解答】解：∵y=ax+b的圖象過第一、三、四象限， ∴a＞0，b＜0， 對于y=ax2+bx的圖象， ∵a＞0， ∴拋物線開口向上， ∵x=﹣＞0， ∴拋物線的對稱軸在y軸的右側， ∵c=0， ∴拋物線過原點． 故選D． 【點評】本題考查了二次函數的圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=﹣；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）．也考查了一次函數的性質． 　 10．如圖，AB是⊙O的直徑，⊙O交BC的中點于D，DE⊥AC于點E，連接AD，則下列結論正確的個數是（　?。? ①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線． A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【考點】切線的判定；全等三角形的判定與性質；圓周角定理；弦切角定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據圓周角定理和切線的判定，采用排除法，逐條分析判斷． 【解答】解：∵AB是直徑， ∴∠ADB=90， ∴AD⊥BC，故①正確； 連接DO， ∵點D是BC的中點， ∴CD=BD， ∴△ACD≌△ABD（SAS）， ∴AC=AB，∠C=∠B， ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB， ∴∠ODB=∠C，OD∥AC， ∴∠ODE=∠CED， ∴ED是圓O的切線，故④正確； 由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正確； ∵點O是AB的中點，故③正確， 故選D． 【點評】本題利用了平行線的判定，弦切角定理，全等三角形的判定和性質，切線的概念，中點的性質求解． 　 二、填空題（本題共8個小題，每題3分共24分） 11．一元二次方程2x2=3x的根是　x1=0，或x2=?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】計算題． 【分析】移項得2x2﹣3x=0，把方程的左邊分解因式得2x2﹣3x=0，使每個因式等于0，就得到兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵2x2=3x， ∴2x2﹣3x=0， x（2x﹣3）=0， 2x2﹣3x=0x=0或2x﹣3=0， ∴x1=0 或x2=， 故答案為：x1=0 或x2=． 【點評】本題主要考查對解一元二次方程﹣因式分解法的理解和掌握，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵． 　 12．已知：一元二次方程x2﹣6x+c=0有一個根為2，則另一根為　4?。? 【考點】根與系數的關系． 【專題】計算題． 【分析】設方程另一根為t，根據根與系數的關系得到2+t=6，然后解一次方程即可． 【解答】解：設方程另一根為t， 根據題意得2+t=6， 解得t=4． 故答案為4． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=． 　 13．溱湖風景區(qū)綠化管理處，為綠化環(huán)境，計劃經過兩年時間，使風景區(qū)綠地面積增加44%，這兩年平均每年綠地面積的增長率是　20　%． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】設兩年平均每年綠地面積的增長率是x，原來的景區(qū)綠地面積為1，那么經過第一年景區(qū)綠地面積為（1+x），再過一年景區(qū)綠地面積為（1+x）（1+x），然后根據風景區(qū)綠地面積增加44%，即可列出方程解決問題． 【解答】解：設兩年平均每年綠地面積的增長率是x， 依題意得（1+x）2=1+44%， ∴1+x=1.2， ∴x=0.2=20%或x=﹣2.2（不合題意，舍去）． 答：這兩年平均每年綠地面積的增長率是20%． 故填空答案：20%． 【點評】此題主要考查了增長率的問題，一般公式為：原來的量（1x）2=現在的量，增長用+，減少用﹣． 　 14．如圖，∠AOB=100，點C在⊙O上，且點C不與A、B重合，則∠ACB的度數為　50或130?。? 【考點】圓周角定理． 【專題】分類討論． 【分析】由于點2C的位置不能確定，故應分點C在優(yōu)弧AB上和在劣弧AB上兩種情況討論． 【解答】解：當點C1所示時， ∵∠AC1B與∠AOB是同弧所對的圓周角與圓心角， ∴∠AC1B=∠AOB=100=50； 當點C2所示時， ∵∠AC1B=50， ∴∠AC2B=180﹣50=130． 故答案為：50或130． 【點評】本題考查的是圓周角定理，解答此題時要注意進行分類討論，不要漏解． 　 15．一個邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，如圖放置，⊙O與BC相切于點C，⊙O與AC相交于點E，則CE的長為　3　cm． 【考點】切線的性質；垂徑定理；圓周角定理；弦切角定理． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】連接OC，并過點O作OF⊥CE于F，根據等邊三角形的性質，等邊三角形的高等于底邊的倍．已知邊長為4cm的等邊三角形ABC與⊙O等高，說明⊙O的半徑為，即OC=，又∠ACB=60，故有∠OCF=30，在Rt△OFC中，可得出FC的長，利用垂徑定理即可得出CE的長． 【解答】解：連接OC，并過點O作OF⊥CE于F， 且△ABC為等邊三角形，邊長為4， 故高為2，即OC=， 又∠ACB=60，故有∠OCF=30， 在Rt△OFC中，可得FC=OC?cos30=， OF過圓心，且OF⊥CE，根據垂徑定理易知CE=2FC=3． 故答案為：3． 【點評】本題主要考查了切線的性質和等邊三角形的性質和解直角三角形的有關知識．題目不是太難，屬于基礎性題目． 　 16．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2，△A′B′C可以由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上，則AA′的長為　6?。? 【考點】旋轉的性質． 【分析】利用直角三角形的性質得出AB=4，再利用旋轉的性質以及三角形外角的性質得出AB′=2，進而得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，BC=2， ∴∠CAB=30，故AB=4， ∵△A′B′C由△ABC繞點C順時針旋轉得到，其中點A′與點A是對應點，點B′與點B是對應點，連接AB′，且A、B′、A′在同一條直線上， ∴AB=A′B′=4，AC=A′C， ∴∠CAA′=∠A′=30， ∴∠ACB′=∠B′AC=30， ∴AB′=B′C=2， ∴AA′=2+4=6， 故答案為6． 【點評】此題主要考查了旋轉的性質以及直角三角形的性質等知識，得出AB′=B′C=1是解題關鍵，此題難度不大． 　 17．如圖所示的二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，劉星同學觀察得出了下面四條信息：（1）b2﹣4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a﹣b＜0；（4）a+b+c＜0．你認為其中錯誤的有　1　個． 【考點】二次函數圖象與系數的關系． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】由拋物線的圖象可得：拋物線開口向下，與x軸有兩個交點，與y軸的交點在0到1之間，對稱軸在﹣1到0之間，且x=1時，對應的函數值小于0，對四個選項進行判斷，即可得到錯誤選項的個數． 【解答】解：由圖象可知：拋物線與x軸交于兩個點， ∴b2﹣4ac＞0，選項（1）正確； 由函數圖象可得0＜c＜1，選項（2）錯誤； 由拋物線的對稱軸的位置可得：﹣1＜﹣＜0， 又拋物線開口向下，∴a＜0， 不等式﹣1＜﹣變形得：2a＜b，即2a﹣b＜0， 選項（3）正確； 由函數圖象可得：當x=1時對應的函數值小于0，即a+b+c＜0， 選項（4）正確， 其中錯誤的選項為（2），共1個． 故答案為：1 【點評】此題考查了二次函數圖象與系數的關系，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），a由拋物線的開口方向決定；c由拋物線與y軸交點位置決定；b的符合由a及對稱軸的位置共同決定，拋物線與x軸交點的個數由根的判別式b2﹣4ac來決定，此外可以由拋物線上特殊點對應的函數值的正負來決定所求式子的正確與否，比如出現判斷a+b+c的正負，即要找x=1時的函數值的正負，判斷a﹣b+c的正負即要找x=﹣1時的函數值的正負． 　 18．如圖，在Rt△AOB中，OA=OB=3，⊙O的半徑為1，點P是AB邊上的動點，過點P作⊙O的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為　2?。? 【考點】切線的性質；等腰直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】首先連接OP、OQ，根據勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，可得當OP⊥AB時，即線段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【解答】解：連接OP、OQ． ∵PQ是⊙O的切線， ∴OQ⊥PQ； 根據勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2， ∴當PO⊥AB時，線段PQ最短， ∵在Rt△AOB中，OA=OB=3， ∴AB=OA=6， ∴OP==3， ∴PQ===2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了切線的性質、等腰直角三角形的性質以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意得到當PO⊥AB時，線段PQ最短是關鍵． 　 三、解答題（第19題10分，第20題12分共22分） 19．用適當的方法解下列方程 （1）4（x+3）2=（x﹣1）2 （2）x2﹣2x﹣8=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）兩邊開方，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4（x+3）2=（x﹣1）2， 開方得：2（x+3）=（x﹣1）， 2（x+3）=+（x﹣1），2（x+3）=﹣（x﹣1）， x1=﹣7，x2=﹣； （2）x2﹣2x﹣8=0， （x﹣4）（x+2）=0， x﹣4=0，x+2=0， x1=4，x2=﹣2． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，能把一元二次方程轉化成一元一次方程是解此題的關鍵． 　 20．如圖，在正方形網格上有一個△ABC． （1）作出△ABC關于點O的中心對稱圖形△A′B′C′（不寫作法，但要標出字母）； （2）若網格上的最小正方形邊長為1，求出△A′B′C′的面積． 【考點】作圖-旋轉變換． 【分析】（1）直接利用關于點對稱的性質得出得出A′、B′、C′的位置進而得出； （2）直接利用△A′B′C′所在矩形面積減去周圍三角形的面積進而得出答案． 【解答】解：（1）如圖所示：△A′B′C′即為所求； （2）如圖所示：△A′B′C′的面積為： 32﹣12﹣13﹣12 =2.5． 【點評】此題主要考查了旋轉變換以及三角形面積求法，根據題意得出對應點位置是解題關鍵． 　 四、解答題（第21題12分，第22題12分共24分） 21．已知關于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分別為△ABC三邊的長． （1）如果x=﹣1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （2）如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由； （3）如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根． 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】代數幾何綜合題． 【分析】（1）直接將x=﹣1代入得出關于a，b的等式，進而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀； （2）利用根的判別式進而得出關于a，b，c的等式，進而判斷△ABC的形狀； （3）利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進而代入方程求出即可． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c）（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b， ∴△ABC是等腰三角形； （2）∵方程有兩個相等的實數根， ∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0， ∴4b2﹣4a2+4c2=0， ∴a2=b2+c2， ∴△ABC是直角三角形； （3）當△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理為： 2ax2+2ax=0， ∴x2+x=0， 解得：x1=0，x2=﹣1． 【點評】此題主要考查了一元二次方程的應用以及根的判別式和勾股定理逆定理等知識，正確由已知獲取等量關系是解題關鍵． 　 22．如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE順時針旋轉△ABF的位置． （1）旋轉中心是點　A　，旋轉角度是　90　度； （2）若連結EF，則△AEF是　等腰直角　三角形；并證明； （3）若四邊形AECF的面積為25，DE=2，求AE的長． 【考點】旋轉的性質． 【分析】（1）根據旋轉變換的定義，即可解決問題． （2））根據旋轉變換的定義，即可解決問題． （3）根據旋轉變換的定義得到△ADE≌△ABF，進而得到S四邊形AECF=S正方形ABCD=25，求出AD的長度，即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖，由題意得： 旋轉中心是點A，旋轉角度是90度． 故答案為A、90． （2）由題意得：AF=AE，∠EAF=90， ∴△AEF為等腰直角三角形． 故答案為等腰直角． （3）由題意得：△ADE≌△ABF， ∴S四邊形AECF=S正方形ABCD=25， ∴AD=5，而∠D=90，DE=2， ∴． 【點評】該題主要考查了旋轉變換的性質、正方形的性質、勾股定理等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握旋轉變換的性質、正方形的性質、勾股定理等幾何知識，這是靈活運用、解題的基礎和關鍵． 　 五、解答題（滿分12分） 23．為了落實國務院的指示精神，某地方政府出臺了一系列“三農”優(yōu)惠政策，使農民收入大幅度增加．某農戶生產經銷一種農產品，已知這種產品的成本價為每千克20元，市場調查發(fā)現，該產品每天的銷售量y（千克）與銷售價x（元/千克）有如下關系：y=﹣2x+80．設這種產品每天的銷售利潤為w元． （1）求w與x之間的函數關系式． （2）該產品銷售價定為每千克多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？ （3）如果物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于每千克28元，該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克多少元？ 【考點】二次函數的應用． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）根據銷售額=銷售量銷售單價，列出函數關系式； （2）用配方法將（1）的函數關系式變形，利用二次函數的性質求最大值； （3）把y=150代入（2）的函數關系式中，解一元二次方程求x，根據x的取值范圍求x的值． 【解答】解：（1）由題意得出： w=（x﹣20）?y =（x﹣20）（﹣2x+80） =﹣2x2+120x﹣1600， 故w與x的函數關系式為：w=﹣2x2+120x﹣1600； （2）w=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200， ∵﹣2＜0， ∴當x=30時，w有最大值．w最大值為200． 答：該產品銷售價定為每千克30元時，每天銷售利潤最大，最大銷售利潤200元． （3）當w=150時，可得方程﹣2（x﹣30）2+200=150． 解得 x1=25，x2=35． ∵35＞28， ∴x2=35不符合題意，應舍去． 答：該農戶想要每天獲得150元的銷售利潤，銷售價應定為每千克25元． 【點評】本題考查了二次函數的運用．關鍵是根據題意列出函數關系式，運用二次函數的性質解決問題． 　 六、解答題（滿分12分） 24．如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB． （1）∠ABC=　120　． （2）AC與⊙O有什么關系？請證明你的結論； （3）在⊙O上，是否存在點D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由． 【考點】圓的綜合題． 【分析】（1）易證△ABO是等邊三角形，根據三角形的外角的性質即可求解； （2）AC是⊙O的切線．△OAB為等邊三角形，則∠OAB=60，然后根據等腰三角形的性質：等邊對等角，即可求得∠BAC的度數，從而求得∠OAC=90，從而證得AC是⊙O的切線； （3）延長BO交⊙O于點D，即為所求的點，利用ASA證明：△CAO≌△DAB即可證得． 【解答】解：（1）120； （2）AC是⊙O的切線； 證明：∵AB=OB=OA， ∴△OAB為等邊三角形， ∴∠OBA=∠AOB=60．OA=OB=BA， ∵BC=BO， ∴BC=BA， ∴∠C=∠CAB， 又∵∠OBA=∠C+∠CAB=2∠C， 即2∠C=60， ∴∠C=30 在△OAC中，∵∠O+∠C=60+30=90， ∴∠OAC=90， ∴AC是⊙O的切線； （3）存在． 如圖2，延長BO交⊙O于點D，即為所求的點． 證明如下： 連接AD，∵BD為直徑，∴∠DAB=90． 在△CAO和△DAB中， ∵， ∴△CAO≌△DAB（ASA）， ∴AC=AD． 【點評】本題考查了切線的判定以及三角形的全等的判定與性質，切線的判定常用的方法是轉化成證明垂直的問題． 　 七、解答題（滿分12分） 25．把一副三角板如下圖甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90，∠A=45，∠D=30，斜邊AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE繞點C順時針旋轉15得到△D1CE1（如圖乙）．這時AB與CD1相交于點O，與D1E1相交于點F． （1）求∠OFE1的度數； （2）求線段AD1的長． 【考點】旋轉的性質；勾股定理． 【專題】代數幾何綜合題． 【分析】（1）如圖所示，∠3=15，∠E1=90，∠1=∠2=75，所以，可得∠OFE1=∠B+∠1=45+75=120； （2）由∠OFE1=∠120，得∠D1FO=60，所以∠4=90，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm，在Rt△AD1O中，AD1===5cm． 【解答】解：（1）如圖所示， ∵∠3=15，∠E1=90， ∴∠1=∠2=75， 又∵∠B=45， ∴∠OFE1=∠B+∠1=45+75=120； （2）∵∠OFE1=120， ∴∠D1FO=60， ∵∠C D1E1=30， ∴∠4=90， 又∵AC=BC，AB=6cm， ∴OA=OB=3cm， ∵∠ACB=90， ∴CO=AB=6=3cm， 又∵CD1=7cm， ∴OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm， ∴在Rt△AD1O中， AD1===5cm． 【點評】本題主要考查了勾股定理和旋轉的性質，能熟練應用勾股定理，并且掌握旋轉前后的兩個圖形完全相等． 　 八、解答題（滿分14分） 26．如圖，矩形OABC在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=4，OC=3，若拋物線的頂點在BC邊上，且拋物線經過O，A兩點，直線AC交拋物線于點D． （1）求拋物線的解析式； （2）求點D的坐標； （3）若點M在拋物線上，點N在x軸上，是否存在以A，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由． 【考點】二次函數綜合題． 【專題】綜合題；壓軸題． 【分析】（1）由OA的長度確定出A的坐標，再利用對稱性得到頂點坐標，設出拋物線的頂點形式y=a（x﹣2）2+3，將A的坐標代入求出a的值，即可確定出拋物線解析式； （2）設直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標代入求出k與b的值，確定出直線AC解析式，與拋物線解析式聯立即可求出D的坐標； （3）存在，分兩種情況考慮：如圖所示，當四邊形ADMN為平行四邊形時，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，根據OA+AN求出ON的長，即可確定出N的坐標；當四邊形ADM′N′為平行四邊形，可得三角形ADQ全等于三角形N′M′P，M′P=DQ=，N′P=AQ=3，將y=﹣代入得：﹣=﹣x2+3x，求出x的值，確定出OP的長，由OP+PN′求出ON′的長即可確定出N′坐標． 【解答】解：（1）設拋物線頂點為E，根據題意OA=4，OC=3，得：E（2，3）， 設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3， 將A（4，0）坐標代入得：0=4a+3，即a=﹣， 則拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3=﹣x2+3x； （2）設直線AC解析式為y=kx+b（k≠0）， 將A（4，0）與C（0，3）代入得：， 解得：， 故直線AC解析式為y=﹣x+3， 與拋物線解析式聯立得：， 解得：或， 則點D坐標為（1，）； （3）存在，分兩種情況考慮： ①當點M在x軸上方時，如答圖1所示： 四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN， 由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2， ∴N1（2，0），N2（6，0）； ②當點M在x軸下方時，如答圖2所示： 過點D作DQ⊥x軸于點Q，過點M作MP⊥x軸于點P，可得△ADQ≌△NMP， ∴MP=DQ=，NP=AQ=3， 將yM=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x2+3x， 解得：xM=2﹣或xM=2+， ∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1， ∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 綜上所述，滿足條件的點N有四個：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）． 【點評】此題考查了二次函數綜合題，涉及的知識有：待定系數法確定拋物線解析式，一次函數與二次函數的交點，平行四邊形的性質，以及坐標與圖形性質，是一道多知識點的探究型試題． 　  2016年2月2日 第28頁（共28頁）