2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想數(shù)形結(jié)合思想.doc

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2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 攻略一 函數(shù)與方程思想，數(shù)形結(jié)合思想 一、函數(shù)與方程思想 函數(shù)與方程思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，或建立相應(yīng)的方程來(lái)解決問(wèn)題，它涉及三大題型．高、中、低檔試題都有出現(xiàn)．近幾年來(lái)代數(shù)壓軸題多為考查應(yīng)用函數(shù)思想解題的能力． 函數(shù)與方程思想的應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面： (1)函數(shù)與不等式的相互轉(zhuǎn)化，對(duì)函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)y>0時(shí)，就化為不等式f(x)>0，借助于函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解決有關(guān)問(wèn)題，而研究函數(shù)的性質(zhì)也離不開不等式． (2)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和是自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的觀點(diǎn)去處理數(shù)列問(wèn)題十分重要． (3)解析幾何中的許多問(wèn)題．需要通過(guò)解二元方程組才能解決．這都涉及二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論． (4)立體幾何中有關(guān)線段、角、面積、體積的計(jì)算，經(jīng)常需要運(yùn)用列方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決，建立空間直角坐標(biāo)系后，立體幾何與函數(shù)的關(guān)系更加密切． 1．運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題 此類問(wèn)題是多元問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，通常有兩種處理思路：一是分離變量構(gòu)造函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)加以解決． 【例1】　(xx福建高考)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點(diǎn)A，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A處的切線斜率為－1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值； (2)證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex； (3)證明：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，恒有x＜cex. 【解】　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2. 所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當(dāng)x＜ln 2時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x＞ln 2時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝ln 2時(shí)，f(x)有極小值， 且極小值為f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－ln 4， f(x)無(wú)極大值． (2)令g(x)＝ex－x2，則g′(x)＝ex－2x. 由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＝2－ln 4＞0， 即g′(x)＞0. 所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1＞0， 所以當(dāng)x＞0時(shí)，g(x)＞g(0)＞0，即x2＜ex. (3)對(duì)任意給定的正數(shù)c，取x0＝， 由(2)知，當(dāng)x＞0時(shí)，x2＜ex. 所以當(dāng)x＞x0時(shí)，ex＞x2＞x，即x＜cex. 因此，對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，恒有x＜cex. 2．運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決數(shù)列問(wèn)題 數(shù)列問(wèn)題函數(shù)(方程)化法與形式結(jié)構(gòu)函數(shù)(方程)化法類似，但要注意數(shù)列問(wèn)題中n的取值范圍為正整數(shù)，涉及的函數(shù)具有離散性特點(diǎn)，其一般解題步驟是： 第一步：分析數(shù)列式子的結(jié)構(gòu)特征． 第二步：根據(jù)結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造“特征”函數(shù)(方程)，轉(zhuǎn)化問(wèn)題形式． 第三步：研究函數(shù)性質(zhì)，結(jié)合解決問(wèn)題的需要研究函數(shù)(方程)的相關(guān)性質(zhì)，主要涉及函數(shù)單調(diào)性與最值、值域問(wèn)題的研究． 第四步：回歸問(wèn)題．結(jié)合對(duì)函數(shù)(方程)相關(guān)性質(zhì)的研究，回歸問(wèn)題． 【例2】　已知Sn＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，設(shè)f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，試確定實(shí)數(shù)m的取值范圍，使得對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，不等式f(n)>[logm(m－1)]2－[log(m－1)m]2恒成立． 【解】　由f(n)＝S2n＋1－Sn＋1，得f(n)＝＋＋…＋， ∴f(n＋1)＝＋＋…＋. ∴f(n＋1)－f(n)＝＋－ ＝＋>0. ∴f(n)>f(n－1)>…>f(3)>f(2)(n∈N*，n≥2)． ∴f(n)min＝f(2)＝＋＝. 要使對(duì)于一切大于1的正整數(shù)n，原不等式恒成立，只需不等式>[logm(m－1)]2－[log(m－1)m]2成立． 設(shè)y＝[logm(m－1)]2，則y>0. 于是解得0且m≠2. ∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為∪(2，＋∞)． 3．運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決幾何問(wèn)題在立體幾何和解析幾何中有許多問(wèn)題需要運(yùn)用到方程或建立函數(shù)表達(dá)式的方法加以解決．特別是在解析幾何中涉及到范圍或最值問(wèn)題時(shí)可用如下思路去完成： 第一步：聯(lián)立方程． 第二步：求解判別式Δ. 第三步：代換．利用題設(shè)條件和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，得到所求目標(biāo)參數(shù)和判別式不等式中的參數(shù)的一個(gè)等量關(guān)系，將其代換． 第四步：下結(jié)論．將上述等量代換式代入Δ>0或Δ≥0中，即可求出目標(biāo)參數(shù)的取值范圍． 第五步：回顧反思．在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)，無(wú)論題目中有沒(méi)有涉及求參數(shù)的取值范圍，都不能忽視了判別式對(duì)某些量的制約，這是求解這類問(wèn)題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)． 【例3】　(xx四川高考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形． (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (Ⅱ)設(shè)F為橢圓C的左焦點(diǎn)，T為直線x＝－3上任意一點(diǎn)，過(guò)F作TF的垂線交橢圓C于點(diǎn)P，Q. (ⅰ)證明：OT平分線段PQ(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))； (ⅱ)當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)． (Ⅰ)【解】　由已知可得 解得a2＝6，b2＝2， 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. (Ⅱ)(ⅰ)【證明】　由(Ⅰ)可得，F(xiàn)的坐標(biāo)是(－2,0)，設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，m)， 則直線TF的斜率kTF＝＝－m. 當(dāng)m≠0時(shí)，直線PQ的斜率kPQ＝，直線PQ的方程是x＝my－2. 當(dāng)m＝0時(shí)，直線PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式． 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立， 得 消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0， 其判別式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0. 所以y1＋y2＝，y1y2＝， x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝. 所以PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為， 所以直線OM的斜率kOM＝－. 又直線OT的斜率kOT＝－，所以點(diǎn)M在直線OT上， 因此OT平分線段PQ. (ⅱ)【解】　由(ⅰ)可得， |TF|＝， |PQ|＝ ＝ ＝ ＝ 所以＝ ＝≥＝. 當(dāng)且僅當(dāng)m2＋1＝，即m＝1時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)取得最小值． 所以當(dāng)最小時(shí)，T點(diǎn)的坐標(biāo)是(－3,1)或(－3，－1)． 二、數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合的思想在每年的高考中都有所體現(xiàn)，它常用來(lái)：研究方程根的情況，討論函數(shù)的值域(最值)及求變量的取值范圍等．對(duì)這類內(nèi)容的選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合特別有效．從今年的高考題來(lái)看，數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)定形”在今后的高考中將會(huì)有所加強(qiáng)，應(yīng)引起重視，復(fù)習(xí)中應(yīng)提高用數(shù)形結(jié)合思想解題的意識(shí)，畫圖不能太草，要善于用特殊數(shù)或特殊點(diǎn)來(lái)精確確定圖形間的位置關(guān)系． 1．應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化 (1)集合的運(yùn)算及韋恩圖； (2)函數(shù)及其圖象； (3)數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲線； (5)對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，直接從幾何圖形入手進(jìn)行求解即可； (6)對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式(最值)的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解(函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn))，做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用． 2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決討論方程內(nèi)解或圖象的交點(diǎn)問(wèn)題 用函數(shù)的圖象討論方程(特別是含參數(shù)的指數(shù)、對(duì)數(shù)、根式、三角函數(shù)等復(fù)雜方程)的解的個(gè)數(shù)是一種重要的思想方法，其基本思想是先把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)熟悉函數(shù)的表達(dá)式(不熟悉時(shí)，需要作適當(dāng)變形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù))，然后在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程解的個(gè)數(shù)． 【例4】　(xx天津高考)已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________． 【解】　原問(wèn)題等價(jià)于方程f(x)＝a|x－1|恰有4個(gè)互異的實(shí)數(shù)根 解法一：分別畫出函數(shù)y＝f(x)與y＝a|x－1|的圖象 (1)由x2＋3x＝a(x－1)得， x2＋(3－a)x＋a＝0， Δ＝(3－a)2－4a， 由Δ＝0得a＝9或a＝1(舍)， 此時(shí)a>9， (2)由－x2－3x＝a(1－x)， 得x2＋(3－a)x＋a＝0， 由Δ＝0得a＝1或a＝9(舍)， 結(jié)合圖象知09，∴a∈(0,1)∪(9，＋∞)． 解法二：分離參數(shù)法 a＝ ＝， 由平移和對(duì)稱知 畫出函數(shù)y＝ 的圖象， 由圖知a∈(0,1)∪(9，＋∞)． 【答案】　(0,1)∪(9，＋∞) 3．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決有關(guān)最后問(wèn)題 “形”可以使某些抽象問(wèn)題具體化，而‘?dāng)?shù)”可以使思維精確化，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合在某些求最值問(wèn)題中，可以收到意想不到的效果． (1)把代數(shù)式進(jìn)行幾何轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為具有直觀幾何意義構(gòu)圖形，例如①看作直線的斜率，轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)(x1，y1)和(x2，y2)的連線的斜率，特別適用于一個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn)在一個(gè)區(qū)域內(nèi))的形式：②或(a－m)2＋(b－n)2：看作是兩點(diǎn)(a，b)和(m，n)間的距離或距離的平方． (2)其他具有幾何意義的概念都可以利用相關(guān)的幾何圖形直觀進(jìn)行分析判斷，例如：①向量的問(wèn)題，可以考慮用向量的圖形大小與方向及向量運(yùn)算的幾何意義構(gòu)造圖形直觀解題；②復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以把復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為圖形． 【例5】　(1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組 ①求函數(shù)z＝的值域； ②求w＝的最值． (2)用min{a，b，c}表示a，b，c三個(gè)數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為(　　) A．4　　　　B．5　　　　C．6　　　　D．7 【解析】　(1)①由解析幾何知識(shí)可知，所給的不等式組表示圓x2＋y2＝4的右半圓域(含邊界)， z＝可改寫為y＋3＝z(x＋1)，把z看作參數(shù)，則此方程表示過(guò)定點(diǎn)P(－1，－3)，斜率為z的直線系． 所求問(wèn)題的幾何意義是：求過(guò)半圓域x2＋y2≤4(x≥0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)與點(diǎn)P(－1，－3)的直線斜率的最大、最小值． 由圖顯見(jiàn)，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)A(0,2)的直線斜率最大，zmax＝＝5. 過(guò)點(diǎn)P向半圓作切線，切線的斜率最小． 設(shè)切點(diǎn)為B(a，b)，則過(guò)B點(diǎn)的切線方程為ax＋by＝4. 又B在半圓周上，P在切線上，則有 又a>0，解得，因此zmin＝. 綜上可知函數(shù)的值域?yàn)? ②所求問(wèn)題的幾何意義是：求半圓域x2＋y2≤4(x≥0)內(nèi)或邊界上任一點(diǎn)到P(－1，－3)的距離的最大值與最小值，由數(shù)形結(jié)合可知wmax＝|PO|＋r＝＋2，wmin＝|PC|＝＝， 即最大值為＋2，最小值為. (2)f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)的圖象如圖．令x＋2＝10－x，解得x＝4.當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)取最大值，f(4)＝4＋2＝6. 故選C. 【答案】　C 4．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決解析幾何中的問(wèn)題 在數(shù)形結(jié)合時(shí)，既要進(jìn)行幾何直觀的分析，又要進(jìn)行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析(或僅對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行代數(shù)分析)在許多時(shí)候是很難行得通的． 例如，在解析幾何中，我們主要是運(yùn)用代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，但是在許多時(shí)候，若能充分地挖掘利用圖形的幾何特征，將會(huì)使得復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化． 【例6】　已知P是直線3x＋4y＋8＝0上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，C是圓心，求四邊形PACB面積的最小值． 【解】　根據(jù)題意，畫出圖形如下圖， 當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P沿直線3x＋4y＋8＝0向左上方或向右下方無(wú)窮遠(yuǎn)處運(yùn)動(dòng)時(shí)，Rt△PAC的面積SRt△PAC＝|PA||AC|＝|PA|越來(lái)越大，從而S四邊形PACB也越來(lái)越大； 當(dāng)點(diǎn)P從左上、右下兩個(gè)方向向中間運(yùn)動(dòng)時(shí)，S四邊形PACB變小，顯然，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)一個(gè)最特殊的位置， 即CP垂直于直線3x＋4y＋8＝0時(shí)，S四邊形PACB應(yīng)有唯一的最小值， 此時(shí)|PC|＝＝3， 從而|PA|＝＝2. ∴(S四邊形PACB)min＝2|PA||AC|＝2.