初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第3講 充滿活力的韋達(dá)定理

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1、 第三講 充滿活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。 韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在： 運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值； 運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值； 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征； 利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。 韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。 韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解

2、這類問題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法。 【例題求解】 【例1】 已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為 。 思路點(diǎn)撥：所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例 【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為( ) A、 B、或2 C、 D、或2 思路點(diǎn)撥：可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的

3、應(yīng)用創(chuàng)造了條件。 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧： (1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱式。 【例3】 已知關(guān)于的方程： (1)求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。 (2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、。 思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類討論入手。 【例4】 設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并

4、求出這個(gè)最小值。 思路點(diǎn)撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧郑瑧?yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的。 注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性。 【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。 2 / 10 (1)當(dāng)m＝2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由。 (2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB

5、長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式。 注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問題時(shí)，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性． 充滿活力的韋達(dá)定理學(xué)歷訓(xùn)練 1、(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是 。 (2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是

6、 。 2、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為 。 3、CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是 。 4、設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3

7、 5、在Rt△ABC中，∠C＝90，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，a、b是關(guān)于 的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是( ) A． B． C．5 D．2 6、方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是( ) A．1 B．-l C． D． 7、若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確? 8、已知關(guān)于的方程。 (1) 當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根； (2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)

8、根、滿足：，求的值。 9、已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為 。 10、已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為 。 11、△ABC的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰為方程的兩根，則m的取值范圍是 。 12、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，

9、則的值是( ) A．9413 B． C． D． 13、設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為( ) A． B． C． D． 14、如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1 15、如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10，且AB、BC(AB>BC)的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。 (1)求rn的值； （2）若E是AB上的一點(diǎn)，CF⊥DE于F，求BE為何值時(shí)，△CEF的面

10、積是△CED的面積的，請(qǐng)說明理由． 16、設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根、。 (1) 若，求m的值。 （2）求的最大值。 17、如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、n的值。 18、設(shè)、、為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和和有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程和也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求的值。 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！