初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第18講 圓的基本性質(zhì)

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1、 第十八講 圓的基本性質(zhì) 到定點(diǎn)(圓心)等于定長(zhǎng)(半徑)的點(diǎn)的集合叫圓，圓常被人們看成是最完美的事物，圓的圖形在人類進(jìn)程中打下深深的烙?。? 圓的基本性質(zhì)有：一是與圓相關(guān)的基本概念與關(guān)系，如弦、弧、弦心距、圓心角、圓周角等；二是圓的對(duì)稱性，圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，又是一中心對(duì)稱圖形．用圓的基本性質(zhì)解題應(yīng)注意： 1．熟練運(yùn)用垂徑定理及推論進(jìn)行計(jì)算和證明； 2．了解弧的特性及中介作用； 3．善于促成同圓或等圓中不同名稱等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化． 熟悉如下基本圖形、基本結(jié)論： 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的

2、長(zhǎng)分別為和，則∠BAC度數(shù)為 ． 作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系． 注： 由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié) 合起來(lái)． 圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性，可提高解與圓相關(guān)問(wèn)題周密性． 【例2】 如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A．

3、 B． C． D． 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn)，通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解． 1 / 10 ⌒ ⌒ 【例3】 如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM． 思路點(diǎn)撥 用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC

4、)證明，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它． ⌒ 【例4】 如圖甲，⊙O的直徑為AB，過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦C E⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M． (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)； ⌒ (2)求證：△FDM∽△COM； (3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時(shí)是否有△FDM∽△COM? 證明你的結(jié)論．

5、 思路點(diǎn)撥 (1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)證明∠COM=∠FDM，∠CMO= ∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考． 注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問(wèn)題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來(lái)，認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問(wèn)題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問(wèn)題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似)． 【例5】 已知：在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3．

6、(1)求證：AF＝DF； (2)求∠AED的余弦值； (3)如果BD＝10，求△ABC的面積． 思路點(diǎn)撥 (1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值． 注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方法思想是解與圓相關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OD＝3cm，則過(guò)點(diǎn)D

7、的所有弦中，最小弦AB= ． 2．閱讀下面材料： 對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋． 對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋． 例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋． 回答下列問(wèn)題： (1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的

8、最小值是 cm； (3)長(zhǎng)為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm． (2003年南京市中考題) 3．世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬(wàn)物才顯得富有生機(jī)，以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性． (1)請(qǐng)問(wèn)以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ，是中心對(duì)稱圖形的有 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a，b，c填空)． (2)

9、請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)． a．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形． b．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形． 4．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm 5．一種花邊

10、是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓形的高CD為( ) A．2 B． C．3 D． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6．如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD

11、 7．電腦CPU芯片由一種叫“單晶硅”的材料制成，未切割前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”．現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長(zhǎng)、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圓片的直徑為10．05cm，問(wèn)：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請(qǐng)說(shuō)明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗)． ⌒ 8．如圖，已知⊙O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度數(shù)． 9．不過(guò)圓心的

12、直線交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥，垂足為E，BF⊥，垂足為F． (1)在下面三個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形； (2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過(guò)程)； (3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論． 10．以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2＝ACBC， ⌒ 則∠CAB= ． 11．如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上，若B

13、C=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為 ． 12．如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC—ND= ． ⌒ 13．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96，BD的度數(shù)為36，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為 ． 14．如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對(duì)

14、于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OPOP′=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)． (1)如圖2，⊙O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A′和B′，求證：∠A′=∠B； (2)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形． ①選擇：如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是( ) A．一個(gè)圓 B．一條直線 C．一條線段 D．兩條射線 ②填空：如果直線與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是 ，該圖形與圓O的位置關(guān)系是

15、 ． ⌒ 15．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P，AB=BD，且PC=0．6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)． 16．如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=ABAC． 17

16、．將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到0．1cm) 18．如圖，直徑為13的⊙O′，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OA>OB)的長(zhǎng)分別是方程的兩根． ⌒ (1)求線段OA、OB的長(zhǎng)； (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CDCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)； (3)在⊙O，上是否存在點(diǎn)P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！