初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第8講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)

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1、 第八講 由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展歷史大致歷經(jīng)四個(gè)時(shí)期：以自然數(shù)、分?jǐn)?shù)體系形成的萌芽期；以代數(shù)符號(hào)體系形成的常量數(shù)學(xué)時(shí)期；以函數(shù)概念產(chǎn)生的變量數(shù)學(xué)時(shí)期；以集合論為標(biāo)志的現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期． 函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，它是變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志，“函數(shù)”是從量的側(cè)面去描述客觀世界的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系，從量的側(cè)面反映了客觀世界的動(dòng)態(tài)和它們的相互制約性． 函數(shù)的基本知識(shí)有：與平面直角坐標(biāo)系相關(guān)的概念、函數(shù)概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)圖象概念及畫(huà)法． 在坐標(biāo)平面內(nèi)，由點(diǎn)的坐標(biāo)找點(diǎn)和由點(diǎn)求坐標(biāo)是“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)換的最基本形式．點(diǎn)的坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)，函

2、數(shù)解析式是解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵，所以，求點(diǎn)的坐標(biāo)、探求函數(shù)解析式是研究函數(shù)的兩大重要課題． 【例題求解】 【例1】 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點(diǎn)A(2，2)，B(2，-3)，點(diǎn)P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為 ． 思路點(diǎn)撥 先在直角坐標(biāo)平面內(nèi)描出A、B兩點(diǎn)，連結(jié)AB，因題設(shè)中未指明△APB的哪個(gè)角是直角，故應(yīng)分別就∠A、∠B、∠C為直角來(lái)討論，設(shè)點(diǎn)P(0，x)，運(yùn)用幾何知識(shí)建立x的方程． 注： 點(diǎn)的坐標(biāo)是數(shù)與形結(jié)合的橋梁，求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本方法有： (1)利用幾何計(jì)算求； (2)通過(guò)解析

3、式求； (3)解由解析式聯(lián)立的方程組求． 【例2】 如圖，向放在水槽底部的燒杯注水(流量一定)，注滿燒杯后，繼續(xù)注水，直至注滿水槽．水槽中水面上升高度與注水時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系，大致是下列圖象中的( ) 思路點(diǎn)撥 向燒杯注水需要時(shí)間，并且水槽中水面上升高． 注： 實(shí)際生活中量與量之間的關(guān)系可以形象地通過(guò)圖象直觀地表現(xiàn)出來(lái)，如心電圖、，股市行情走勢(shì)圖等，圖象中包含著豐富的圖象信息，要善于從圖象的形狀、位置、發(fā)展變化

4、趨勢(shì)等有關(guān)信息中獲得啟示． 2 / 11 【例3】 南方A市欲將一批容易變質(zhì)的水果運(yùn)往B市銷售，共有飛機(jī)、火車、汽車三種運(yùn)輸方式，現(xiàn)只可選擇其中的一種，這三種運(yùn)輸方式的主要參考數(shù)據(jù)如下表所示： 運(yùn)輸工具 途中速度(千米／時(shí)) 途中費(fèi)用(元／千米) 裝卸費(fèi)用(元) 裝卸時(shí)間(小時(shí)) 飛機(jī) 200 16 1000 2 火車 100 4 2000 4 汽車 50 8 1000 2 若這批水果在運(yùn)輸(包括裝卸)過(guò)程中的損耗為200元/小時(shí)，記A、B兩市間的距離為x千米． (1)如果用Wl、W2、W3分別表示使用飛機(jī)、火車、汽車運(yùn)輸時(shí)

5、的總支出費(fèi)用(包括損耗)，求出Wl、W2、W3與小x間的函數(shù)關(guān)系式． (2)應(yīng)采用哪種運(yùn)輸方式，才使運(yùn)輸時(shí)的總支出費(fèi)用最小? 思路點(diǎn)撥 每種運(yùn)輸工具總支出費(fèi)用＝途中所需費(fèi)用(含裝卸費(fèi)用)+損耗費(fèi)用；總支出費(fèi)用隨距離變化而變化，由Wl—W2＝0，W2一W3=0，先確定自變量的特定值，通過(guò)討論選擇最佳運(yùn)輸方式． 【例4】 已知在菱形ABCD中，∠BAD＝60，把它放在直角坐標(biāo)系中，使AD邊在y軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2，8)． (1)畫(huà)出符合題目條件的菱形與直

6、角坐標(biāo)系； (2)寫(xiě)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)設(shè)菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為P．問(wèn)：在y軸上是否存在一點(diǎn)F，使得點(diǎn)P與點(diǎn)F關(guān)于菱形ABCD的某條邊所在的直線對(duì)稱，如果存在，寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 思路點(diǎn)撥 (1)關(guān)鍵是探求點(diǎn)A是在y軸正半軸上、負(fù)半軸上還是坐標(biāo)原點(diǎn)，只須判斷∠COy與∠CAD的大?。?2)利用解直角三角形求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)；(3)設(shè)軸上存在點(diǎn)F(0，y)，則P與F只可能關(guān)于直線DC對(duì)稱． 注：建立函數(shù)關(guān)系式，實(shí)際上都是根據(jù)具體的實(shí)際問(wèn)題

7、和一些特殊的關(guān)系、數(shù)據(jù)而抽象、歸納建立函數(shù)的模型． 【例5】 如圖，已知在Rt△ABC中，∠B＝90，BC＝4cm，AB＝8cm，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的中點(diǎn)，若P為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥BC，且交AC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊，在點(diǎn) A的右側(cè)作正方形PQMN，記PQMN與矩形EDBF的公共部分的面積為y． (1)當(dāng)AP＝3cm時(shí)，求的值； (2)設(shè)AP=cm時(shí)，求y與x的函數(shù)關(guān)系式； (3)當(dāng)y=2cm2，試確定點(diǎn)P的位置．(2001年天津市中考題) 思路點(diǎn)撥 對(duì)于(2)，由于點(diǎn)P的位置不同，y與x之間存在不同的函數(shù)關(guān)系，故需分類

8、討論；對(duì)于(3)，由相應(yīng)函數(shù)解析式求x值． 注：確定幾何元素間的函數(shù)關(guān)系式，首先是借助幾何知識(shí)與方法把相應(yīng)線段用自變量表示，再代入相應(yīng)的等量關(guān)系式，需要注意的是： (1)當(dāng)圖形運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化，需要分類討論； (2)確定自變量的幾何意義，常用到運(yùn)動(dòng)變化、考慮極端情形、特殊情形等思想方法． 學(xué)力訓(xùn)練 1． 如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、B(4，4)，∠OAB＝90，有直角三角形與Rt△ABO全等且以AB為公共邊，請(qǐng)寫(xiě)出這些直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo) ． 2．在直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(4，0)，B(0，2)，如果點(diǎn)

9、C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為 時(shí)，使得由點(diǎn)B、O、C組成的三角形與△AOB相似(至少找出兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo))． 3．根據(jù)指令[S，A](S≥0，0

10、 4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸的夾角為60，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一2，0)，點(diǎn)B在x軸上方，設(shè)AB＝，那么點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為( ) A． B． C． D． 5．一天，小軍和爸爸去登山，已知山腳到山頂?shù)穆烦虨?00米，小軍先走了一段路程，爸爸才開(kāi)始出發(fā)．圖中兩條線段分別表示小軍和爸爸離開(kāi)山腳登山的路程(米)與登山所用的時(shí)間(分鐘的關(guān)系)(從爸

11、爸開(kāi)始登山時(shí)計(jì)時(shí))，根據(jù)圖象，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( ) A．爸爸登山時(shí)，小軍已走了50米 B．爸爸走了5分鐘，小軍仍在爸爸的前面 C．小軍比爸爸晚到山頂 D．爸爸前10分鐘登山的速度比小軍慢，10分鐘之后登山的速度比小軍快 6．若函數(shù)的自變量的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，則的取值范圍是( ) A．ml D．m≤1 7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4，0)、點(diǎn)B(0，3)，若有一個(gè)直角三角形與Rt△ABO全等，且它們有一條公共邊，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)直角三角形未知頂點(diǎn)的坐標(biāo)(不必寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程)． 8．如圖，用同樣

12、規(guī)格黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請(qǐng)觀察下列圖形并解答有關(guān)問(wèn)題： （1）設(shè)鋪設(shè)地面所用瓷磚的總塊數(shù)為，請(qǐng)寫(xiě)出與(表示第個(gè)圖形)的函數(shù)關(guān)系式； (2)按上述鋪設(shè)方案，鋪一塊這樣的矩形地面共用了506塊瓷磚，求此時(shí)的值； (3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，在問(wèn)題(2)中，共需花多少元錢購(gòu)買瓷磚? (4)是否存在黑瓷磚與白瓷磚塊數(shù)相等情形?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明為什么? 9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)正方形ABCD，它的4個(gè)頂點(diǎn)為A(10，0)，B (0，10)，C(一10，0)，D(0，一10)，則該正方形內(nèi)及邊界上共有 個(gè)整點(diǎn)

13、(即縱橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))． 10．如圖，已知邊長(zhǎng)為l的正方形OABC在直角坐標(biāo)系中，A、B兩點(diǎn)在第一象限內(nèi)，OA與軸的夾角為30，那么點(diǎn)B的坐標(biāo)是 ． 11．如圖，一個(gè)粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)，在第一分鐘內(nèi)它從原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到(1，0)，而后它接著按圖所示在與軸、軸平行的方向上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，且每分鐘移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，那么在1989分鐘后這個(gè)粒子所處位置為 ． 12．在直角坐標(biāo)系中，已知A(1，1)，在軸上確定點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有( ) A．1個(gè) B．2個(gè) C． 3個(gè) D．4個(gè)

14、 13．已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是(l，)，這里、是有理數(shù)，PA、PB分別是點(diǎn)P到軸和軸的垂線段，且矩形OAPB的面積為，則P點(diǎn)可能出現(xiàn)的象限有（ ） A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 14．甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)，沿同一條道路去B地，途中都使用兩種不同的速度Vl與V2(Vi

15、 B．圖(1)或圖(2) C．圖(3) D．圖(4) 15．依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)．《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》規(guī)定，公民每月工資、薪金收入不超過(guò)800元，不需交稅；超過(guò)800元的部分為全月應(yīng)納稅所得額，都應(yīng)交稅，且根據(jù)超過(guò)部分的多少按不同的稅率交稅，詳細(xì)的稅率如下表： 級(jí)別 全月應(yīng)納稅所得額 稅率(％) 1 不超過(guò)500元部分 5 2 超過(guò)500元至2000元部分 10 3 超過(guò)2000元至5000元部分 15 … … (1)某公民

16、2002年10月的總收人為1350元，問(wèn)他應(yīng)交稅款多少元? (2)設(shè)表示每月收入(單位：元)，表示應(yīng)交稅款(單位：元)，當(dāng)1300

17、17．現(xiàn)計(jì)劃把甲種貨物1240噸和乙種貨物880噸用一列貨車運(yùn)往某地，已知這列貨車掛有A、B兩種不同規(guī)格的貨車廂共40節(jié)，使用A型車廂每節(jié)費(fèi)用6000元，使用月型車廂每節(jié)費(fèi)用為8000元． (1)設(shè)運(yùn)送這批貨物的總費(fèi)用為萬(wàn)元，這列貨車掛A型車廂節(jié)，試寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果每節(jié)A型車廂最多可裝甲種貨物35噸和乙種貨物15噸，每節(jié)月型B車廂最多可裝甲種貨物25噸和乙種貨物35噸，裝貨時(shí)按此要求安排A、B兩種車廂的節(jié)數(shù)，那么共有哪幾種安排車廂的方案 ? (3)在上述方案中，哪個(gè)方案運(yùn)費(fèi)最高?最少運(yùn)費(fèi)為多少元? 18．如圖，梯形OABC中，O為直角坐標(biāo)

18、系的原點(diǎn)，A、B、C的坐標(biāo)分別為(14，0)，(14，3)，(4，3)．點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位；點(diǎn)Q沿OC、CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)． (1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒，如果點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位，試分別寫(xiě)出這時(shí)點(diǎn)Q在OC上或在CB上時(shí)的坐標(biāo)(用含的代數(shù)式表示)； (2)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動(dòng)了秒，如果點(diǎn)P與點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程之和恰好為梯形OABC的周長(zhǎng)的一半，①試用含的代數(shù)式表示這時(shí)點(diǎn)Q所經(jīng)過(guò)的路程和它的速度；②試問(wèn)：這時(shí)直線PQ是否可能同時(shí)把梯形OABC的面積也分成相等的兩部分?如有可能，求出相應(yīng)的的值和P、Q的坐標(biāo)；如不可能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 參考答案 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！