2021高三數(shù)學北師大版理一輪課后限時集訓：44 平行關系 Word版含解析

平行關系 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．若直線l不平行于平面α，且lα，則(　　) A．α內的所有直線與l異面 B．α內不存在與l平行的直線 C．α與直線l至少有兩個公共點 D．α內的直線與l都相交 B　[∵lα，且l與α不平行，∴l(xiāng)∩α＝P，故α內不存在與l平行的直線．故選B.] 2.如圖所示的三棱柱ABCA1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是(　　) A．異面　　　　 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 B　[由面面平行的性質可得DE∥A1B1，又A1B1∥AB， 故DE∥AB.所以選B.] 3．已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β C．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n D　[選項A中，兩直線可能平行，相交或異面，故選項A錯誤；選項B中，兩平面可能平行或相交，故選項B錯誤；選項C中，兩平面可能平行或相交，故選項C錯誤；選項D中，由線面垂直的性質定理可知結論正確．故選D.] 4.如圖，AB∥平面α∥平面β，過A，B的直線m，n分別交α，β于C，E和D，F(xiàn)，若AC＝2，CE＝3，BF＝4，則BD的長為(　　) A. B. C. D. C　[由AB∥α∥β，易證＝， 即＝， 所以BD＝＝＝.] 5．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐與平面α平行的棱有(　　) A．0條 B．1條 C．2條 D．0條或2條 C　[如圖，設平面α截三棱錐所得的四邊形EFGH是平行四邊形，則EF∥GH，EF平面BCD，GH平面BCD，所以EF∥平面BCD，又EF平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，則EF∥CD，EF平面EFGH，CD平面EFGH，則CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，所以該三棱錐與平面α平行的棱有2條，故選C.] 二、填空題 6．設α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，nγ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題． ①α∥γ，nβ；②m∥γ，n∥β；③n∥β，mγ. 可以填入的條件有________． ①和③　[由面面平行的性質定理可知，①正確；當n∥β，mγ時，n和m在同一平面內，且沒有公共點，所以平行，③正確．] 7.如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長度等于________． 　[在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝2， ∴AC＝2. 又E為AD中點，EF∥平面AB1C，EF平面ADC， 平面ADC∩平面AB1C＝AC， ∴EF∥AC，∴F為DC中點，∴EF＝AC＝.] 8.如圖所示，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內部運動，則M只需滿足條件________時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能情況) 點M在線段FH上(或點M與點H重合)　[連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD， ∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH， 則MN平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.] 三、解答題 9.如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD，DE＝3AF＝3. 證明：平面ABF∥平面DCE. [證明]　法一：(應用面面平行的判定定理證明)因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD， 所以DE∥AF，因為AF平面DCE，DE平面DCE，所以AF∥平面DCE， 因為四邊形ABCD是正方形，所以AB∥CD，因為AB平面DCE，所以AB∥平面DCE， 因為AB∩AF＝A，AB平面ABF，AF平面ABF，所以平面ABF∥平面DCE. 法二：(利用兩個平面內的兩條相交直線分別平行證明)： 因為DE⊥平面ABCD，AF⊥平面ABCD， 所以DE∥AF， 因為四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD. 又AF∩AB＝A，DE∩DC＝D， 所以平面ABF∥平面DCE. 法三：(利用垂直于同一條直線的兩個平面平行證明)因為DE⊥平面ABCD， 所以DE⊥AD，在正方形ABCD中，AD⊥DC， 又DE∩DC＝D， 所以AD⊥平面DEC. 同理AD⊥平面ABF. 所以平面ABF∥平面DCE. 10.如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E、F分別是PA、PC的中點．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明． [解]　直線l∥平面PAC，證明如下： 因為E、F分別是PA、PC的中點， 所以EF∥AC. 又EF平面ABC，且AC平面ABC， 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF， 且平面BEF∩平面ABC＝l， 所以EF∥l. 因為l平面PAC，EF平面PAC， 所以l∥平面PAC. 1．下列四個正方體圖形中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是(　　) ①　　　?、凇　　　、邸　　　、? A．①③　　　　　 B．②③ C．①④ D．②④ C　[對于圖形①，易得平面MNP與AB所在的對角面平行，所以AB∥平面MNP；對于圖形④，易得AB∥PN，又AB平面MNP，PN平面MNP，所以AB∥平面MNP；圖形②③無論用定義還是判定定理都無法證明線面平行．故選C.] 2.(2019安徽蚌埠模擬)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別為AA1，AB的中點，M點是正方形ABB1A1內的動點，若C1M∥平面CD1EF，則M點的軌跡長度為________． 　[如圖所示，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C1H，C1G，EG，HF，可得 四邊形EGC1D1是平行四邊形，所以C1G∥D1E.同理可得C1H∥CF. 因為C1H∩C1G＝C1，所以平面C1GH∥平面CD1EF. 由M點是正方形ABB1A1內的動點可知，若C1M∥平面CD1EF， 則點M在線段GH上，所以M點的軌跡長度GH＝＝.] 3.已知A、B、C、D四點不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，則四邊形EFHG是________四邊形． 平行　[∵AB∥α，平面ABD∩α＝FH，平面ABC∩α＝EG， ∴AB∥FH，AB∥EG， ∴FH∥EG，同理EF∥GH， ∴四邊形EFHG是平行四邊形．] 4.如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個截面，若截面為平行四邊形． (1)求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH； (2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長的取值范圍． [解]　(1)證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形， ∴EF∥HG. ∵HG平面ABD，EF平面ABD， ∴EF∥平面ABD. 又∵EF平面ABC， 平面ABD∩平面ABC＝AB， ∴EF∥AB，又∵AB平面EFGH， EF平面EFGH， ∴AB∥平面EFGH. 同理可證，CD∥平面EFGH. (2)設EF＝x(0＜x＜4)， ∵EF∥AB，F(xiàn)G∥CD， ∴＝， 則＝＝＝1－. ∴FG＝6－x. ∵四邊形EFGH為平行四邊形， ∴四邊形EFGH的周長 l＝2＝12－x. 又∵0＜x＜4， ∴8＜l＜12， 即四邊形EFGH周長的取值范圍是(8,12)． 1.如圖所示，透明塑料制成的長方體容器ABCDA1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面四個命題： ①沒有水的部分始終呈棱柱形； ②水面EFGH所在四邊形的面積為定值； ③棱A1D1始終與水面所在平面平行； ④當容器傾斜如圖所示時，BEBF是定值． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[由題圖，顯然①正確，②錯誤； 對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG， ∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，F(xiàn)G平面EFGH， ∴A1D1∥平面EFGH(水面)． ∴③正確； 對于④，∵水是定量的(定體積V)， ∴S△BEFBC＝V，即BEBFBC＝V. ∴BEBF＝(定值)，即④正確，故選C.] 2.如圖，四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點． (1)求證：CE∥平面PAD. (2)在線段AB上是否存在一點F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結論，若不存在，請說明理由． [解]　(1)證明：取PA的中點H，連接EH，DH， 因為E為PB的中點， 所以EH∥AB，EH＝AB， 又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD， 因此四邊形DCEH為平行四邊形， 所以CE∥DH， 又DH平面PAD，CE平面PAD， 因此CE∥平面PAD. (2)存在點F為AB的中點，使平面PAD∥平面CEF， 證明如下： 取AB的中點F，連接CF，EF， 則AF＝AB， 因為CD＝AB， 所以AF＝CD， 又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形， 因此CF∥AD. 又AD平面PAD，CF平面PAD， 所以CF∥平面PAD， 由(1)可知CE∥平面PAD， 又CE∩CF＝C， 故平面CEF∥平面PAD， 故存在AB的中點F滿足要求．