2021高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時(shí)集訓(xùn)：60 圓錐曲線中的證明、探索性問題 Word版含解析

圓錐曲線中的證明、探索性問題 建議用時(shí)：45分鐘 1．(2019長沙模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且點(diǎn)F1到橢圓C上任意一點(diǎn)的最大距離為3，橢圓C的離心率為. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)是否存在斜率為－1的直線l與以線段F1F2為直徑的圓相交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓相交于C，D，且＝？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由． [解]　(1)根據(jù)題意，設(shè)F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－c,0)，(c,0)，由題意可得 解得a＝2，c＝1，則b2＝a2－c2＝3， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)假設(shè)存在斜率為－1的直線l，設(shè)為y＝－x＋m， 由(1)知F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(－1,0)，(1,0)， 所以以線段F1F2為直徑的圓為x2＋y2＝1， 由題意知圓心(0,0)到直線l的距離d＝<1， 得|m|<. |AB|＝2＝2＝， 聯(lián)立得 消去y，得7x2－8mx＋4m2－12＝0， 由題意得Δ＝(－8m)2－47(4m2－12)＝336－48m2＝48(7－m2)>0，解得m2<7. 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， |CD|＝|x1－x2|＝ ＝＝＝|AB| ＝，解得m2＝<7，得m＝. 即存在符合條件的直線l，其方程為y＝－x. 2．(2019全國卷Ⅲ)已知曲線C：y＝，D為直線y＝－上的動點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B. (1)證明：直線AB過定點(diǎn)； (2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積． [解]　(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x＝2y1. 由于y′＝x，所以切線DA的斜率為x1，故＝x1. 整理得2tx1－2y1＋1＝0. 設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx2－2y2＋1＝0. 故直線AB的方程為2tx－2y＋1＝0. 所以直線AB過定點(diǎn). (2)由(1)得直線AB的方程為y＝tx＋. 由 可得x2－2tx－1＝0. 于是x1＋x2＝2t，x1x2＝－1，y1＋y2＝t(x1＋x2)＋1＝2t2＋1， |AB|＝|x1－x2|＝＝2(t2＋1)． 設(shè)d1，d2分別為點(diǎn)D，E到直線AB的距離，則d1＝，d2＝. 因此，四邊形ADBE的面積S＝|AB|(d1＋d2)＝(t2＋3). 設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M. 由于⊥，而＝(t，t2－2)，與向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0. 解得t＝0或t＝1. 當(dāng)t＝0時(shí)，S＝3；當(dāng)t＝1時(shí)，S＝4. 因此，四邊形ADBE的面積為3或4. 3．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(－2,0)，B(2,0)，C三點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)若直線l：y＝k(x－1)(k≠0)與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，證明直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上． [解]　(1)設(shè)橢圓E的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)， 將A(－2,0)，B(2,0)，C代入橢圓E的方程，得 解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：將直線l：y＝k(x－1)代入橢圓方程＋＝1并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0. 設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝. 消去k2，得2x1x2＝5(x1＋x2)－8. 直線AM的方程為y＝(x＋2)，即y＝(x＋2)． 直線BN的方程為y＝(x－2)，即y＝(x－2)． 由直線AM與直線BN的方程消去y，得 x＝＝＝4. ∴直線AM與直線BN的交點(diǎn)在直線x＝4上．