2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 6-1 數(shù)列的概念但因為測試 新人教B版
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1、 2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 6-1 數(shù)列的概念但因為測試 新人教B版 1.(2011沈陽六校??肌V東深圳一檢)設(shè)數(shù)列{(-1)n}的前n項和為Sn,則對任意正整數(shù)n,Sn=( ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 因為數(shù)列{(-1)n}是首項與公比均為-1的等比數(shù)列,所以Sn==,選D. [點評] 直接檢驗,S1=-1,排除B,C;S3=-1,排除A,故選D. 2.(文)(2011許昌月考)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=,那么這個數(shù)列是( ) A.遞增數(shù)列 B.遞減數(shù)列 C.?dāng)[動數(shù)列 D.常數(shù)列 [答案] A [解析] a
2、n=-,∵n∈N*, ∴an隨n的增大而增大,故選A. [點評] 上面解答過程利用了反比例函數(shù)y=-的單調(diào)性,也可以直接驗證an+1-an>0. (理)已知數(shù)列{an}的通項公式是an=n2+kn+2,若對任意n∈N*,都有an+1>an成立,則實數(shù)k的取值范圍是( ) A.k>0 B.k>-1 C.k>-2 D.k>-3 [答案] D [解析] 由an+1>an知道數(shù)列是一個遞增數(shù)列,又因為通項公式an=n2+kn+2,可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以-<,即得k>-3,故選D. 3.(文)(2011惠州二模,天津南開中學(xué)月考)已知整數(shù)按如下規(guī)律排成
3、一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……則第60個數(shù)對是( ) 1 / 15 A.(5,5) B.(5,6) C.(5,7) D.(5,8) [答案] C [解析] 根據(jù)題中規(guī)律知,(1,1)為第1項,(1,2)為第2項,(1,3)為第4項,…,(1,11)為第56項,因此第60項為(5,7). (理)將數(shù)列{3n-1}按“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,則第100組中的第一個數(shù)是( ) A.34950 B.35000
4、 C.35010 D.35050 [答案] A [解析] 由“第n組有n個數(shù)”的規(guī)則分組中,各組數(shù)的個數(shù)構(gòu)成一個以1為首項,公差為1的等差數(shù)列,前99組數(shù)的個數(shù)共有=4950個,故第100組中的第1個數(shù)是34950,選A. 4.(2011太原模擬)已知正數(shù)數(shù)列{an}對任意p,q∈N*,都有ap+q=apaq,若a2=4,則a9=( ) A.256 B.512 C.1024 D.502 [答案] B [解析] 依題意得a2=a1a1=4,a1=2(a1=-2舍去),a4=a2a2=16,a8=a4a4=1616=256,a9=a1a8=2256=512,故選B.
5、 5.(2011三亞聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=log3(n∈N*),設(shè)其前n項和為Sn,則使Sn<-4成立的最小自然數(shù)n等于( ) A.83 B.82 C.81 D.80 [答案] C [解析] ∵an=log3=log3n-log3(n+1), ∵Sn=log31-log32+log32-log33+…+log3n-log3(n+1)=-log3(n+1)<-4,解得n>34-1=80. 6.(文)在數(shù)列{an}中,已知an+1+an-1=2an(n∈N+,n≥2),若平面上的三個不共線的向量、、,滿足=a1005+a1006,三點A、B、C共線,且直線
6、不過O點,則S2010等于( ) A.1005 B.1006 C.2010 D.2011 [答案] A [解析] 由條件知{an}成等差數(shù)列, ∵A、B、C共線,∴a1005+a1006=1, ∴S2010==1005(a1005+a1006)=1005. (理)(2011太原???設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2=3,且對任意的n∈N*,點列{Pn(n,an)}恒滿足PnPn+1=(1,2),則數(shù)列{an}的前n項和Sn為( ) A.n(n- ) B.n(n-) C.n(n- ) D.n(n-) [答案] A [解析] 設(shè)Pn+1(n+1,an
7、+1),則PnPn+1=(1,an+1-an)=(1,2),即an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是以2為公差的等差數(shù)列.又a1+2a2=3,所以a1=-,所以Sn=n(n-),選A. 7.(2011合肥三檢)已知數(shù)列{an}中,a1=,an+1=1-(n≥2),則a16=________. [答案] [解析] 由題可知a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1-=,∴此數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列, ∴a16=a35+1=a1=. 8.(文)(2011吉林部分中學(xué)質(zhì)量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-3,則數(shù)列{an}的通項公式為________. [答案] an=
8、[解析] 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1,當(dāng)n=1時,a1=S1=-1,所以an=.
(理)(2011湖南湘西聯(lián)考)設(shè)關(guān)于x的不等式x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整數(shù)的個數(shù)為an,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=________.
[答案] n2+n(n∈N*)
[解析] 由x2-x<2nx(n∈N*)得0 9、,
∴a1=2.
(理)(2010山東濟(jì)寧模擬)已知數(shù)列2008,2009,1,-2008,-2009,…這個數(shù)列的特點是從第二項起,每一項都等于它的前后兩項之和,則這個數(shù)列的前2011項之和S2011等于________.
[答案] 2008
[解析] 由題意an+1+an-1=an(n≥2),an+an+2=an+1,兩式相加得an+2=-an-1,
∴an+3=-an,∴an+6=an,
即{an}是以6為周期的數(shù)列.
∵2011=3356+1,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
∴a1+a2+…+a2011=3350+a1=2008.
10.(文)已知數(shù)列{a 10、n}的各項均為正數(shù),Sn為其前n項和,對于任意的n∈N*滿足關(guān)系式2Sn=3an-3.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項公式是bn=,前n項和為Tn,求證:對于任意的正數(shù)n,總有Tn<1.
[解析] (1)由已知得(n≥2).
故2(Sn-Sn-1)=3an-3an-1,故an=3an-1(n≥2).
故數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且公比q=3.
又當(dāng)n=1時,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an=3n.
(2)證明:bn==-.
∴Tn=b1+b2+…+bn
=++…+
=1-<1.
(理)(2011邯鄲模擬)已知數(shù)列{an}滿足前n項和Sn= 11、n2+1,數(shù)列{bn}滿足bn=,且前n項和為Tn,設(shè)cn=T2n+1-Tn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性.
[解析] (1)Sn=n2+1,∴an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1(n≥2),
當(dāng)n=1時,a1=S1=2,
∵bn=,∴b1==,
n≥2時,bn==,
∴bn=.
(2)由題設(shè)知,Tn=b1+b2+…+bn,T2n+1=b1+b2+…+b2n+1,
∴cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1,
∴cn+1-cn=(bn+2+bn+3+…+b2n+3)-(bn+1+b 12、n+2+…+b2n+1)=b2n+2+b2n+3-bn+1=+-<+-=0,
∴cn+1 13、子可以排成一個正三角形(如圖所示).
則第七個三角形數(shù)是( )
A.27 B.28
C.29 D.30
[答案] B
[分析] 觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每一項與它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號,所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可.
[解析] 根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.
12.(2011贛州市摸底、大連模擬)設(shè)a1,a2,…,a50是從-1,0,1這三個整數(shù)中取值的數(shù)列,若a1+a2+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,則a1,a2,…,a50中數(shù)字1的個數(shù)為( 14、)
A.24 B.15
C.14 D.11
[答案] A
[解析]
?a+a+…+a=39.
故a1,a2,…,a50中有11個零,
設(shè)有x個1,y個-1,則
?故選A.
13.(文)(2011遼寧大連模擬)數(shù)列{an}中,a1=2,且an+1=an+2n(n∈N*),則a2010=( )
A.22010-1 B.22010
C.22010+2 D.22011-1
[答案] B
[解析] 由條件知an+1-an=2n,a1=2,
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2= 15、2n,∴a2010=22010.
(理)(2011大同市模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x),g(x)滿足=ax,且f ′(x)g(x) 16、f(x)=sin,an=f(n)+f ′(n),數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S2013=________.
[答案] 1
[解析] f ′(x)=cos,an=sin+cos,∴a1=1,a2=-,a3=-1,a4=,且{an}的周期為4,又2013=5034+1且a1+a2+a3+a4=0,
∴S2013=5030+a1=1.
(理)(2011山西忻州市聯(lián)考)數(shù)列{an}中,a1=35,an+1-an=2n-1(n∈N*),則的最小值是________.
[答案] 10
[解析] 由an+1-an=2n-1可知,當(dāng)n≥2時,
an=(an-an-1)+(an-1-an-2) 17、+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=[2(n-1)-1]+[2(n-2)-1]+[2(n-3)-1]+…+(21-1)+35=2[1+2+3+…+(n-1)]-(n-1)+35=n2-2n+36.
∴==n+-2≥2-2=10,
當(dāng)且僅當(dāng)n=6時,取等號.
15.(文)(2010吉林市質(zhì)檢)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,且3an+1+2Sn=3(n為正整數(shù)).
(1)求出數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若對任意正整數(shù)n,k≤Sn恒成立,求實數(shù)k的最大值.
[解析] (1)∵3an+1+2Sn=3①
∴當(dāng)n≥2時,3an+2Sn-1=3②
由 18、①-②得,3an+1-3an+2an=0.
∴= (n≥2).
又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得a2=.
∴數(shù)列{an}是首項為1,公比q=的等比數(shù)列.
∴an=a1qn-1=n-1(n為正整數(shù))
(2)由(1)知,∴Sn=
由題意可知,對于任意的正整數(shù)n,恒有
k≤,
∵數(shù)列單調(diào)遞增,當(dāng)n=1時,數(shù)列取最小項為,∴必有k≤1,即實數(shù)k的最大值為1.
(理)(2011福建廈門一模)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象過點(-4n,0),且f ′(0)=2n,n∈N*.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若數(shù)列{an}滿足=f ′(),且a1=4,求數(shù)列{an}的 19、通項公式;
(3)記bn=,數(shù)列{bn}的前n項和Tn,求證:≤Tn<2.
[解析] (1)由題意及f ′(x)=2ax+b得
解之得即f(x)=x2+2nx(n∈N*).
(2)由條件得=+2n,∴-=2n,
累加得-=2+4+6+…+2(n-1)
==n2-n,
∴=(n-)2,
所以an==(n∈N*).
(3)bn==
=2(-),
則Tn=b1+b2+…+bn
=++…+
=2[(1-)+(-)+…+(-)]
=2(1-)<2.
∵2n+1≥3,故2(1-)≥,∴≤Tn<2.
1.?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n+1,則{an}的通項 20、公式為( )
A.a(chǎn)n=2n-1 B.a(chǎn)n=2n+1
C.a(chǎn)n= D.a(chǎn)n=
[答案] D
[解析] a1=S1=4,n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n+1,
∴an=.
2.如果f(a+b)=f(a)f(b)(a,b∈R)且f(1)=2,則+++…+等于( )
A.2009 B.2010
C.2011 D.2012
[答案] D
[解析] 令a=n,b=1,f(n+1)=f(n)f(1),
∴=f(1)=2,
∴+…+=21006=2012.
3.(2010石獅石光華僑聯(lián)合中學(xué)模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=1,且=+3(n∈N*),則a10= 21、( )
A.28 B.33
C. D.
[答案] D
[解析] ∵-=3,∴數(shù)列是首項為=1,公差為3的等差數(shù)列,∴=1+3(n-1)=3n-2,
∴an=,∴a10=.
4.由1開始的奇數(shù)列,按下列方法分組:(1),(3,5),(7,9,11),…,第n組有n個數(shù),則第n組的首項為( )
A.n2-n B.n2-n+1
C.n2+n D.n2+n+1
[答案] B
[解析] 前n-1組共有1+2+…+(n-1)==個奇數(shù),故第n組的首項為2+1=n2-n+1.
[點評] 可直接驗證,第2組的首項為3,將n=2代入可知A、C、D都不對,故選B. 22、
5.已知數(shù)列{an}滿足a1=0,an+1=an+2n,那么a2011的值是( )
A.20082009 B.20092010
C.20102011 D.20112012
[答案] C
[解析] 解法1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考慮到所給結(jié)論都是相鄰兩整數(shù)乘積的形式,可變形為:
a1=01 a2=12 a3=23 a4=34
猜想a2011=20102011,故選C.
解法2:an-an-1=2(n-1),
an-1-an-2=2(n-2),
…
a3-a2=22,
a2-a1=21.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ 23、…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=2[(n-1)+(n-2)+…+1].
=2=n(n-1).
∴a2011=20102011.
6.如圖所示的程序框圖,如果輸入值為2010,則輸出值為________.
[答案]?。?
[解析] 此程序框圖計算數(shù)列{an}的第n項,并輸出,其中a1=1,a2=5,an+2=an+1-an依次計算可得數(shù)列的項為:1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,故該數(shù)列周期為6,又2010=3356,∴a2010=a6=-4.
7.(2011浙江文,17)若數(shù)列{n(n+4)()n}中的最大項是第k項,則k=________.
[答案] 4
[解析] 由題意可列不等式組
即
化簡可得解之得≤k≤1+
又∵k∈Z,∴k=4.
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