矩陣特征值與特征向量的計(jì)算.ppt

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第5章矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,n階方陣A的特征值是特征方程det(A-?E)=0的根.,Gerschgorin圓盤定理設(shè)矩陣A=(aij)n?n,記復(fù)平面上以aii為圓心,以ri=,為半徑的n個(gè)圓盤為Ri=??????aii??ri?,i=1,2,…,n,A的特征向量是齊次線性方程組(A-?E)x=0的非零解.,則(1)A的任一特征值至少位于其中一個(gè)圓盤內(nèi);(2)在m個(gè)圓盤相互連通(而與其余n-m個(gè)圓盤互不連通)的區(qū)域內(nèi),恰有A的m個(gè)特征值(重特征值按重?cái)?shù)記).,試討論A的特征值的分布.,解由A確定的3個(gè)圓盤分別為,所以3??1?5-2??3??????n?,這時(shí),(5.1)式可寫成,則對(duì)充分大的k有,,v(2i)??12i(a1x1+a2x2),v(2i+1)??12i+1(a1x1-a2x2),于是有,x1?v(k+1)+?1v(k),x2?v(k+1)-?1v(k),對(duì)于規(guī)范化的冪法，由于,u(k+2)=v(k+2)/?k+2=Au(k+1)/?k+2,=Av(k+1)/?k+1?k+2=A2u(k)/?k+1?k+2,于是有,,x1??k+1u(k+1)+?1u(k),x2??k+1u(k+1)-?1u(k),的按模最大特征值和相應(yīng)的特征向量。,例4用乘冪法求矩陣,解取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,2)T,計(jì)算可得,,,1.2加速技術(shù),由于,所以,乘冪法收斂速度取決于比值|?2/?1|,當(dāng)|?2/?1|?1時(shí),收斂是很慢的.,1.Aitken加速方法,由(5.2)式可知,x2=?13u(13)-?1u(12)=(0,0.631924,0.631924)T.,x1=?13u(13)+?1u(12)=(4.315961,8.631924,8.631924)T,,實(shí)際上,A的特征值為?1=4,?2=-4,?3=1.,,可見(jiàn),序列??k?線性收斂于?1.,會(huì)達(dá)到加速收斂的目的.,構(gòu)造Aitken序列,如把Aitken加速方法用于例3,則有,,2.原點(diǎn)位移法,作矩陣B=A-pE,則B的特征值為mi=?i-p(i=1,2,…,n),而且對(duì)應(yīng)的特征向量相同.,,則對(duì)B應(yīng)用乘冪法可達(dá)到加速收斂的目的。,解由于A的特征值為?1=6,?2=3,?3=2,故取p=2.5,則B的特征值為m1=3.5,m2=0.5,m3=-0.5,則,如果選取p,使m1仍然是B的按模最大特征值，且滿足,取初始向量u(0)=v(0)=(1,1,1)T,由規(guī)范化計(jì)算公式:,例5,用原點(diǎn)位移法求例3中矩陣A的按模最大的特征值和特征向量.,,計(jì)算可得,,這是因?yàn)閨?2/?1|=1/2,而|m2/m1|=1/7,故對(duì)B應(yīng)用乘冪法遠(yuǎn)比對(duì)A應(yīng)用乘冪法收斂的快.,反冪法是求矩陣按模最小的特征值和相應(yīng)特征向量的方法.,取,?1??6+2.5=6.000102,x1?u(6)=(1,0.714287,0.249995)T,1.3反冪法,設(shè)A是n階非奇異矩陣,其特征值為,|?1|?|?2|?…?|?n-1|>|?n|>0,對(duì)應(yīng)的特征向量為x1,x2,…,xn,則有A-1的特征值為,對(duì)應(yīng)的特征向量為xn,xn-1,…,x1.,要想求?n和xn只需對(duì)A-1應(yīng)用乘冪法,任取初始向量u(0)=v(0)?0,作,,也可將上式改寫成,式(5.3)稱為反冪法.顯然有,每一步求v(k)需要求解線性方程組,可采用LU分解法求解.,,反冪法還可結(jié)合原點(diǎn)位移法應(yīng)用.設(shè)已求得矩陣A的特征值??i的某個(gè)近似值,對(duì)B應(yīng)用反冪法可求出精度更高的?i和xi.,設(shè)已求得例3中矩陣A的特征值的近似值?1?6.003,和相應(yīng)的特征向量x1?(1,0.714405,-0.249579)T,試用帶原點(diǎn)位移的反冪法求?1和x1的更精確的值.,作原點(diǎn)位移,令B=A-E,,則B的特征值為,例6,解取p=6.003,作矩陣B=A-6.003E,則,,取初始向量u(0)=(1,0.714405,-0.249579)T,對(duì)B用反冪法計(jì)算可得:,可見(jiàn)收斂速度非?？?這是因?yàn)锽的3個(gè)特征值為?1=-4.003,?2=-3.003,?3=-0.003,|?3/?2|?0.000999很小.,Jacobi方法是求實(shí)對(duì)稱矩陣全部特征值和特征向量的一種矩陣變換方法。,2Jacobi方法,實(shí)對(duì)稱矩陣A具有下列性質(zhì)：,（1）A的特征值均為實(shí)數(shù)；,（2）存在正交矩陣R，使RTAR=diag(?1,?2,…,?n),而,,R的第i個(gè)列向量恰為?i的特征向量;,直接求正交矩陣R是困難的.Jacobi提出用一系列所謂平面旋轉(zhuǎn)矩陣逐次將A約化為對(duì)角矩陣.,平面解析幾何中的平面坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換,表示平面上坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)角?的變換.,（3）若記A1=RTAR,則A1仍為對(duì)稱矩陣.,2.1平面旋轉(zhuǎn)矩陣,在三維空間直角坐標(biāo)系中,ox1y1平面繞著oz1軸旋轉(zhuǎn)?角的坐標(biāo)變換為,,Rpq(?)具有下列性質(zhì):,一般地,在n維向量空間Rn中,沿著xpyq平面旋轉(zhuǎn)?角的變換矩陣為,稱Rpq(?)為平面旋轉(zhuǎn)矩陣.,,設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=(aij)n?n,記B=RpqT(?)ARpq(?)=(bij)n?n則它們?cè)刂g有如下關(guān)系:,（1）Rpq(?)為正交矩陣,即Rpq-1(?)=RpqT(?);,（2）如果A為對(duì)稱矩陣,則RpqT(?)ARpq(?)也為對(duì)稱矩陣,且與A有相同的特征值.,（3）RpqT(?)A僅改變A的第p行與第q行元素,ARpq(?)僅改變A的第p列與第q列元素.,,所以有,從而,有(5.5)、(5.6)式可得,如果apq?0,適當(dāng)選取角?,使,,只需角?滿足,從而,如果取|apq|=,若記,于是,則上式可記為,,由式(5.7),令t=tan?,則t滿足方程,t2+2?t-1=0,經(jīng)典Jacobi算法是對(duì)A(0)=A施行一系列平面旋轉(zhuǎn)變換:,為保證|?|??/4,取絕對(duì)值較小的根,有,于是,2.2Jacobi方法,A(1)=R1TA(0)R1,A(2)=R2TA(1)R2,…,A(k)=RkTA(k-1)Rk,…,每一步變換選擇A(k-1)=(aij(k-1))n?n的非對(duì)角線元素中絕對(duì)值最大者apq(k-1)(稱為主元素)作為殲滅對(duì)象,構(gòu)造平面旋,,?是給定的精度要求,則A的特征值可取為?i?aii(k),i=1,2,…,n.,轉(zhuǎn)矩陣Rk=Rpq(?),經(jīng)變換得到A(k)=(aij(k))n?n,且apq(k)=0,這時(shí)由(5.8)式有,從而,由此遞推得到,當(dāng)k充分大時(shí),或者?(A(k))

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關(guān) 鍵  詞：

矩陣 特征值 特征向量 計(jì)算