自動控制理論2-1控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型.ppt

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1,第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,第二次課,2,1.引言系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部其他變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。,控制系統(tǒng)中常見的二種數(shù)學(xué)模型形式：,1、外部描述：把系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方式表達出來，稱之為輸入—輸出描述，或外部描述，例如微分方程、傳遞函數(shù)、框圖和差分方程。適用于單輸入、單輸出系統(tǒng)。,3,2、內(nèi)部描述：不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系，而且還可以描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性，稱之為狀態(tài)變量描述，或內(nèi)部描述，例如狀態(tài)變量空間法（矩陣），適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時變系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和隨機控制系統(tǒng)。,4,對控制系統(tǒng)的研究，一般都是建立在模型基礎(chǔ)上進行的。常見的模型：,數(shù)學(xué)模型：微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性,————研究系統(tǒng)的動態(tài)特性,物理模型：化學(xué)中的分子結(jié)構(gòu)模型,物理學(xué)中的力—電模型,————研究系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),圖模型：方塊圖、信號流程圖、樹圖等,————兩者皆有,5,工程上常用的數(shù)學(xué)模型：,6,“三域”模型及其相互關(guān)系,7,微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性分別是系統(tǒng)在時間域、復(fù)數(shù)域和頻率域中的數(shù)學(xué)模型。人們在研究分析一個控制系統(tǒng)的特性時，可以根據(jù)對象的特點和工程的需要，人為地建立不同域中的數(shù)學(xué)模型進行討論。習(xí)慣上把用微分方程的求解、分析系統(tǒng)的方法稱為數(shù)學(xué)分析法，把用傳遞函數(shù)、頻率特性求解、分析系統(tǒng)的方法稱為工程分析法。一般來說，工程分析法比數(shù)學(xué)分析法直觀、方便，這也是我們引入復(fù)域、頻域數(shù)學(xué)模型的主要原因。,8,第一節(jié)建立系統(tǒng)微分方程,一、建立系統(tǒng)微分方程步驟（四步）1.明確系統(tǒng)的輸入－輸出量；2.列些每個元件的輸入－輸出的微分方程；3.各元件方程疊加，消中間量，求得系統(tǒng)輸出輸入方程；4.與輸出量有關(guān)項列左側(cè)，與輸入量有關(guān)項列右側(cè)。,9,二、舉例,例2-1R-L-C電路(P13),二階微分方程,10,例2-3阻尼器系統(tǒng)(P15),二階微分方程,11,本節(jié)重點：,控制系統(tǒng)微分方程的建立的方法兩種典型控制系統(tǒng)微分方程的建立。,12,復(fù)習(xí)：拉普拉斯變換,,13,本節(jié)主要內(nèi)容：,傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的基本性質(zhì)典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,第三次課,第二節(jié)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),14,傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。,了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響--分析,可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求---綜合,傳遞函數(shù)的基本概念,15,一、傳遞函數(shù)的基本概念,傳遞函數(shù)的定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下系統(tǒng)（或元件）輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。,設(shè)系統(tǒng)輸入r（t），輸出c（t）則系統(tǒng)傳遞函數(shù)為,16,例如求RC電路傳遞函數(shù)。r(t)——輸入量c(t)——輸出量,復(fù)域:——————傳遞函數(shù),時域：（RC=T）——微分方程,17,將上式求拉氏變化，得(令初始值為零）,當(dāng)傳遞函數(shù)和輸入已知時C(s)=G(s)R(s)。通過反變換可求出時域表達式c(t)。,傳遞函數(shù)的基本概念,稱為環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),式中：r（t）為輸入信號，c（t）為輸出信號,為常系數(shù),設(shè)系統(tǒng)或元件的微分方程為：,18,[關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點說明],傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng)，它與線性常系數(shù)微分方程一一對應(yīng)。且與系統(tǒng)的動態(tài)特性一一對應(yīng)。傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的物理性質(zhì)。物理性質(zhì)截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。而研究某傳遞函數(shù)所得結(jié)論可適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng)。傳遞函數(shù)僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與系統(tǒng)的輸入無關(guān)。只反映了輸入和輸出之間的關(guān)系，不反映中間變量的關(guān)系。,19,傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入單輸出系統(tǒng)。若系統(tǒng)有多個輸入信號，在求傳遞函數(shù)時，除了一個有關(guān)的輸入外，其它的輸入量一概視為零。傳遞函數(shù)忽略了初始條件的影響。傳遞函數(shù)是s的有理分式，對實際系統(tǒng)而言分母的階次n大于分子的階次m，此時稱為n階系統(tǒng)。,20,傳遞函數(shù)的基本概念例1,[例1]求下圖的傳遞函數(shù)：,21,電阻,電容,電感,時域,復(fù)數(shù)域,22,傳遞函數(shù)的基本概念例2,[例2]求下圖的傳遞函數(shù)：,23,二、典型環(huán)節(jié)及其數(shù)學(xué)模型,1、比例環(huán)節(jié)（又叫放大環(huán)節(jié)）特點：輸出量按一定比例復(fù)現(xiàn)輸入量，無滯后、失真現(xiàn)象。運動方程:c(t)=Kr(t)K——放大系數(shù)，通常都是有量綱的。傳遞函數(shù)：頻率特性：,24,,一些比例環(huán)節(jié),,,25,實驗中的比例環(huán)節(jié)：,,26,例：輸入：n1(t)——轉(zhuǎn)速Z1——主動輪的齒數(shù)輸出：n2(t)——轉(zhuǎn)速Z2——從動輪的齒數(shù),運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：,27,2、微分環(huán)節(jié),特點：動態(tài)過程中，輸出量正比于輸入量的變化速度。運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：,28,微分環(huán)節(jié)舉例,,29,實驗中的比例微分環(huán)節(jié)：,,30,例RC電路設(shè)：輸入——ur(t)輸出——uc(t)消去i(t)，得到：運動方程：傳遞函數(shù)：（Tc=RC）當(dāng)Tc<<1時，又可表示成：頻率特性：G（j?）=jTc?——此時可近似為純微分環(huán)節(jié)。,31,,3、積分環(huán)節(jié),特點：輸出量的變化速度和輸入量成正比。運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：,32,例1：積分電路,輸入為r(t)，輸出為c(t)運動方程：傳遞函數(shù)：（T=R1C）頻率特性：,,,,33,實驗中的比例積分環(huán)節(jié)：,,34,其它積分環(huán)節(jié)舉例,35,4、慣性環(huán)節(jié)(又叫非周期環(huán)節(jié)),特點：此環(huán)節(jié)中含有一個獨立的儲能元件，以致對突變的輸入來說，輸出不能立即復(fù)現(xiàn)，存在時間上的延遲。運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：,36,例如求RC電路傳遞函數(shù)。r(t)——輸入量c(t)——輸出量,復(fù)域:——————傳遞函數(shù),時域：（RC=T）——微分方程,37,例：直流電機,輸入量:ud——電樞電壓輸出量：id——電樞電流動態(tài)方程如下：運動方程：傳遞函數(shù):式中Ld——電樞回路電感；Rd——電樞回路電阻；τd——電樞繞組的時間常數(shù)；,38,其他一些慣性環(huán)節(jié)例子,一階水箱，水銀溫度計等,39,5、振蕩環(huán)節(jié),特點：包含兩個獨立的儲能元件，當(dāng)輸入量發(fā)生變化時，兩個儲能元件的能量進行交換，使輸出帶有振蕩的性質(zhì)。運動方程：傳遞函數(shù)：式中：?——阻尼比，T——振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。頻率特性：,40,例1：RLC電路,解：消去中間變量i(t)得到運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：,41,例3：機械裝置,輸入----------力：f(t)，輸出----------位移：x(t)。微分方程式中：K——彈簧彈性系數(shù)；M——物體的質(zhì)量，B——粘性摩擦系數(shù)。傳遞函數(shù)：,42,6、一階微分環(huán)節(jié),特點：此環(huán)節(jié)的輸出量不僅與輸入量本身有關(guān)，而且與輸入量的變化率有關(guān)運動方程：傳遞函數(shù)：G(s)=Ts+1頻率特性：G(j?)=j?T+1,43,RC電路,輸入：u(t)，輸出：i(t)，則傳遞函數(shù)：（R=1?RC=?）頻率特性：一階微分環(huán)節(jié)可看成一個微分環(huán)節(jié)與一個比例環(huán)節(jié)的并聯(lián)，其傳遞函數(shù)和頻率特性是慣性環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,44,7、二階微分環(huán)節(jié),特點：輸出與輸入及輸入一階、二階導(dǎo)數(shù)都有關(guān)運動方程：傳遞函數(shù)：頻率特性：可以看出，二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)和頻率特性是振蕩環(huán)節(jié)的倒數(shù)。,45,典型環(huán)節(jié)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型,,46,小結(jié),（1）不同物理性質(zhì)的系統(tǒng)，可以有相同形式的傳遞函數(shù)。例如：前面介紹的振蕩環(huán)節(jié)中兩個例子，一個是機械系統(tǒng)，另一個是電氣系統(tǒng)，但傳遞函數(shù)的形式完全相同。（2）同一個系統(tǒng)，當(dāng)選取不同的輸入量、輸出量時，就可能得到不同形式的傳遞函數(shù)。例如：電容：輸入—電流，輸出—電壓，則是積分環(huán)節(jié)。反之，輸入—電壓，輸出—電流，則為微分環(huán)節(jié)。,