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高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案:第4章 微積分基本定理 第二課時參考教案

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高中數(shù)學(xué)(北師大版)選修2-2教案:第4章 微積分基本定理 第二課時參考教案

微積分基本定理 第二課時 一:教學(xué)目標  知識與技能目標:通過實例,直觀了解微積分基本定理的含義,會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分 過程與方法:通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法 情感態(tài)度與價值觀:通過微積分基本定理的學(xué)習(xí),體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點,提高理性思維能力。 二、教學(xué)重難點   重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系,使學(xué)生直觀了解微積分基本定理的含義,并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。 難點 了解微積分基本定理的含義  三、教學(xué)方法:探析歸納,講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 (一)、復(fù)習(xí):定積分的概念及用定義計算 (二)、探究新課 我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復(fù)雜,所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法,也是比較一般的方法。 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)一物體沿直線作變速運動,在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)(),則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面,這段路程還可以通過位置函數(shù)S(t)在上的增量來表達,即 = - 1 - / 6 而。 對于一般函數(shù),設(shè),是否也有 若上式成立,我們就找到了用的原函數(shù)(即滿足)的數(shù)值差來計算在上的定積分的方法。 注:1:定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的任意一個原函數(shù),則 證明:因為=與都是的原函數(shù),故-=C() 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C,且==0 即有C=,故=+ =-= 令,有 此處并不要求學(xué)生理解證明的過程 為了方便起見,還常用表示,即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法,把求定積分的問題,轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題,是微分學(xué)與積分學(xué)之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時也提供計算定積分的一種有效方法,為后面的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位,起到了承上啟下的作用,不僅如此,它甚至給微積分學(xué)的發(fā)展帶來了深遠的影響,是微積分學(xué)中最重要最輝煌的成果。 例1.計算下列定積分: (1); (2)。 解:(1)因為, 所以。 (2))因為, 所以 。 練習(xí):計算 解:由于是的一個原函數(shù),所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 === 例2.計算下列定積分:。 由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。 解:因為,所以 , , . 可以發(fā)現(xiàn),定積分的值可能取正值也可能取負值,還可能是0: ( l )當對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時(圖1.6一3 ) ,定積分的值取正值,且等于曲邊梯形的面積; 圖1 . 6 一 3 ( 2 ) (2)當對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸下方時(圖 1 . 6 一 4 ) ,定積分的值取負值,且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù); ( 3)當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時,定積分的值為0(圖 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積. 例3.A、B兩站相距7.2km,一輛電車從A站B開往站,電車開出ts后到達途中C點,這一段的速度為1.2t(m/s),到C點的速度為24m/s,從C點到B點前的D點以等速行駛,從D點開始剎車,經(jīng)ts后,速度為(24-1.2t)m/s,在B點恰好停車,試求 (1)A、C間的距離;(2)B、D間的距離;(3)電車從A站到B站所需的時間。 分析:作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即 略解:(1)設(shè)A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC= (2)設(shè)D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s), 則DB= (3)CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320(s) 微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系,同時它也提供了計算定積分的一種有效方法.微積分基本定理是微積分學(xué)中最重要的定理,它使微積分學(xué)蓬勃發(fā)展起來,成為一門影響深遠的學(xué)科,可以毫不夸張地說,微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果. 四:課堂小結(jié): 本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立,進而推廣到了一般的函數(shù),得出了微積分基本定理,得到了一種求定積分的簡便方法,運用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù),這就要求大家前面的求導(dǎo)數(shù)的知識比較熟練,希望,不明白的同學(xué),回頭來多復(fù)習(xí)! 五:教學(xué)后記: 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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