高中數(shù)學（北師大版）選修2-2教案：第3章 拓展資料：導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性交匯

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1、 導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性交匯 利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性是高考考查的重點，重點以三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為載體，近幾年常考查以下幾種題型。下面舉例說明。 一、 直接利用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間 例1、已知函數(shù)，求導函數(shù)，并確定的單調(diào)區(qū)間． 解：． 令，得． 當，即時，的變化情況如下表： 0 當，即時，的變化情況如下表： 0 所以，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 當，即時，， 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減． 二、 給出

2、函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍 例2、設a>0，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍。 - 1 - / 4 分析1：函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以為函數(shù)的遞增區(qū)間的子集，因此先求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。 解法1：，令， 得，或，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和 因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以，得 所以a的取值范圍是 分析2：因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，恒成立。 解法2：，因為函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以當時，恒成立，即恒成立，這是要， 又當時，，所以，因為a>0，所以a的取值范圍是 點評：“函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間為A”與“函數(shù)f（x）在區(qū)間B內(nèi)單調(diào)

3、遞增（或遞減）”這兩種說法是有區(qū)別的，它們的關系是，不要誤認為是A＝B. 例3、若函數(shù)，在區(qū)間（1，4）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍。 解：，因為函數(shù)在區(qū)間（1，4）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，所以當時，恒成立；當時，恒成立。因為為二次函數(shù)，（大致圖象如圖所示） 所以，即，解得 所以a的取值范圍是[5，7]. 三、 綜合應用 例4、已知函數(shù)（b，c為常數(shù)）， （1）若f（x）在x＝1和x＝3處取得極值，試求b，c的值； （2）若f（x）在，上單調(diào)遞增且在上單調(diào)遞減，又滿足，求證：； （3）在（2）的條件下，若，試比較與的大小，并加以證明。 （1）解：由題意可得，因為f（x）在x＝1和x＝3處取得極值，所以的兩根為1，3，從而有，所以 （2）證明：若f（x）在，上單調(diào)遞增且在上單調(diào)遞減，說明是方程＝0的兩根，則有，，由， 可得，即有. （3）解：由（2）的條件，有， 從而有＋x， 所以， 又，所以， 從而，故>. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！