高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第3章 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 第二課時(shí)參考教案

第二課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（二） 一、教學(xué)目標(biāo)： 1、使利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用； 2、提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。 二、教學(xué)重點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 教學(xué)難點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問(wèn)題． 三、教學(xué)方法：探究歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過(guò)程： （一）．創(chuàng)設(shè)情景 生活中經(jīng)常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，我們知道，導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)最大（小）值的有力工具．這一節(jié)，我們利用導(dǎo)數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問(wèn)題． （二）．新課探究 導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用主要是解決有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，主要有以下幾個(gè)方面： 1、與幾何有關(guān)的最值問(wèn)題； 2、與物理學(xué)有關(guān)的最值問(wèn)題； 3、與利潤(rùn)及其成本有關(guān)的最值問(wèn)題； 4、效率最值問(wèn)題。 解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：首先是需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，并確定函數(shù)的定義域，通過(guò)創(chuàng)造在閉區(qū)間內(nèi)求函數(shù)取值的情境，即核心問(wèn)題是建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系。再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得以解決，在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具． 利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： - 1 - / 6 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 （三）．典例分析 例1、海報(bào)版面尺寸的設(shè)計(jì) 學(xué)?；虬嗉?jí)舉行活動(dòng)，通常需要張貼海報(bào)進(jìn)行宣傳。現(xiàn)讓你設(shè)計(jì)一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報(bào)，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設(shè)計(jì)海報(bào)的尺寸，才能使四周空心面積最?。? 解：設(shè)版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時(shí)四周空白面積為 。 求導(dǎo)數(shù)，得 。 令，解得舍去）。 于是寬為。 當(dāng)時(shí)，<0；當(dāng)時(shí)，>0. 因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，能使四周空白面積最小。 答：當(dāng)版心高為16dm，寬為8dm時(shí)，海報(bào)四周空白面積最小。 例2、飲料瓶大小對(duì)飲料公司利潤(rùn)的影響 （1）你是否注意過(guò)，市場(chǎng)上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤(rùn)越大？ 【背景知識(shí)】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm 問(wèn)題：（１）瓶子的半徑多大時(shí)，能使每瓶飲料的利潤(rùn)最大？（２）瓶子的半徑多大時(shí)，每瓶的利潤(rùn)最??？ 解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤(rùn)是 令 解得 （舍去） 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，． 當(dāng)半徑時(shí)，它表示單調(diào)遞增，即半徑越大，利潤(rùn)越高； 當(dāng)半徑時(shí)， 它表示單調(diào)遞減，即半徑越大，利潤(rùn)越低． （1）半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最小，這時(shí)，表示此種瓶?jī)?nèi)飲料的利潤(rùn)還不夠瓶子的成本，此時(shí)利潤(rùn)是負(fù)值． （2）半徑為cm時(shí)，利潤(rùn)最大． 換一個(gè)角度：如果我們不用導(dǎo)數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？ 有圖像知：當(dāng)時(shí)，，即瓶子的半徑為3cm時(shí)，飲料的利潤(rùn)與飲料瓶的成本恰好相等；當(dāng)時(shí)，利潤(rùn)才為正值． 當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，其實(shí)際意義為：瓶子的半徑小于2cm時(shí)，瓶子的半徑越大，利潤(rùn)越小，半徑為cm 時(shí)，利潤(rùn)最?。? （四）．課堂練習(xí) 1．用總長(zhǎng)為14.8m的鋼條制作一個(gè)長(zhǎng)方體容器的框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長(zhǎng)0.5m,那么高為多少時(shí)容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積） 2．課本P65 練習(xí)題 （五）．回顧總結(jié)：1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路： 解決數(shù)學(xué)模型 作答 用函數(shù)表示的數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題 用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 優(yōu)化問(wèn)題的答案 2．解決優(yōu)化問(wèn)題的方法：通過(guò)搜集大量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立與其相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問(wèn)題得到解決．在這個(gè)過(guò)程中，導(dǎo)數(shù)往往是一個(gè)有利的工具。 （六）．布置作業(yè)：1、一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時(shí)，希望在斷面ABCD的面積為定值S時(shí)，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時(shí)的高h(yuǎn)和下底邊長(zhǎng)b. 解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b ∴AD=h+b, ∴S= ① ∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=2+b ② 由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)= l′==0,∴h=, 當(dāng)h<時(shí)，l′<0,h>時(shí)，l′>0. ∴h=時(shí)，l取最小值，此時(shí)b= 2、已知矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)位于x軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)． 【解】設(shè)位于拋物線上的矩形的一個(gè)頂點(diǎn)為（x，y），且x ＞0，y ＞0， 則另一個(gè)在拋物線上的頂點(diǎn)為（－x，y），在x軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．設(shè)矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知x ＝是S在（0，2）上的極值點(diǎn)，即是最大值點(diǎn)， 所以這種矩形中面積最大者的邊長(zhǎng)為和． 【點(diǎn)評(píng)】應(yīng)用題求解，要正確寫(xiě)出目標(biāo)函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應(yīng)用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值． 五、教后反思： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！