中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識過關(guān) 第四章 圖形的初步認(rèn)識與三角形 第18講 直角三角形與三角函數(shù)精練.doc

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第18講　直角三角形與三角函數(shù) A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1.(xx日照)在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,AC=5,則sin A的值為(　　) A.513 B.1213 C.512 D.125 2.(xx濱州)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為　(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 3.(xx臨沂)如圖,利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2 m,測得AB=1.6 m.BC=12.4 m.則建筑物CD的高是(　　) A.9.3 m B.10.5 m C.12.4 m D.14 m 4.(xx泰山模擬)直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現(xiàn)將△ABC如圖那樣折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,折痕為DE,則tan∠CBE的值是(　　) A.247 B.73 C.724 D.13 5.如圖,斜面AC的坡度(CD與AD的比)為1∶2,AC=35米,坡頂有旗桿BC,旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶相連.若AB=10米,則旗桿BC的高度為(　　) A.5米 B.6米 C.8米 D.(3+5)米 二、填空題 6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,AC=7,則sin B=　　　　. 7.(xx泰安模擬)如圖,是矗立在泰安岱廟前的交通警示牌,經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù):AM=4米,AB=8米,∠MAD=45,∠MBC=30,則警示牌的高CD為　　米(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):2≈1.41,3≈1.73).　 8.(xx德州)如圖,在44的正方形方格圖形中,小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則∠BAC的正弦值是　　　　. 三、解答題 9.(xx東營)關(guān)于x的方程2x2-5xsin A+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根,其中∠A是銳角三角形ABC的一個內(nèi)角. (1)求sin A的值; (2)若關(guān)于y的方程y2-10y+k2-4k+29=0的兩個根恰好是△ABC的兩邊長,求△ABC的周長. B組　提升題組 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、選擇題 1.如圖,在矩形ABCD中,BC=6,CD=3,將△BCD沿對角線BD翻折,點(diǎn)C落在點(diǎn)C處,BC交AD于點(diǎn)E,則線段DE的長為(　　) A.3 B.154 C.5 D.152 2.(xx棗莊)如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值是(　　) A.24 B.14 C.13 D.23 二、填空題 3.如圖,一只螞蟻沿著棱長為2的正方體表面從點(diǎn)A出發(fā),經(jīng)過3個面爬到點(diǎn)B,如果它運(yùn)動的路徑是最短的,則AC的長為　　　　. 4.如圖,在△ABC中,∠BAC=60,∠ABC=90,直線l1∥l2∥l3,l1與l2之間距離是1,l2與l3之間距離是2.且l1、l2、l3分別經(jīng)過點(diǎn)A、B、C,則邊AC的長為　　　　. 三、解答題 5.如圖,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,點(diǎn)P是AB邊上一點(diǎn)(不與A,B重合),連接CP,過點(diǎn)P作PQ⊥CP交AD邊于點(diǎn)Q,連接CQ. (1)當(dāng)△CDQ≌△CPQ時,求AQ的長; (2)取CQ的中點(diǎn)M,連接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的長. 6.如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=90,AB=8 cm,AD=12 cm,BC=18 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2 cm/s的速度沿A→D→C運(yùn)動,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)的同時點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以1 cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時,點(diǎn)Q也停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)P,Q運(yùn)動的時間為t秒. 從運(yùn)動開始,當(dāng)t取何值時,△PQC為直角三角形? 第18講　直角三角形與三角函數(shù) A組　基礎(chǔ)題組 一、選擇題 1.B　在Rt△ABC中,由勾股定理得BC=AB2-AC2=12,∴sin A=BCAB=1213.故選B. 2.A　∵在直角三角形中,勾為3,股為4, ∴弦為32+42=5. 故選A. 3.B　∵EB∥CD,∠A=∠A, ∴△ABE∽△ACD, ∴ABAC=BECD, 即1.61.6+12.4=1.2CD, ∴CD=10.5 m. 故選B. 4.C　根據(jù)題意可知BE=AE.設(shè)CE=x, 則BE=AE=8-x. 在Rt△BCE中,根據(jù)勾股定理得BE2=BC2+CE2, 即(8-x)2=62+x2,解得x=74. ∴tan∠CBE=CECB=746=724. 故選C. 5.A　設(shè)CD=x米,則AD=2x米,由勾股定理可得,AC=x2+(2x)2=5x米. ∵AC=35米, ∴5x=35, ∴x=3,即CD=3米, ∴AD=23=6米.在Rt△ABD中,BD=102-62=8米, ∴BC=8-3=5米.故選A. 二、填空題 6.答案　713 解析　∵在Rt△ABC中,∠C=90,AB=13,AC=7, ∴sin B=ACAB=713. 7.答案　2.9 解析　由題意可得:∵AM=4米,∠MAD=45, ∴DM=4米, ∵AM=4米,AB=8米, ∴MB=12米, ∵∠MBC=30, ∴BC=2MC, ∴MC2+MB2=(2MC)2, MC2+122=(2MC)2, ∴MC=43≈6.92(米),CD=MC-4≈2.9米. 8.答案　55 解析　∵AB2=32+42=25,AC2=22+42=20,BC2=12+22=5,∴AC2+BC2=AB2, ∴△ABC為直角三角形,且∠ACB=90, 則sin∠BAC=BCAB=55. 三、解答題 9.解析　(1)∵關(guān)于x的方程2x2-5xsin A+2=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根, ∴Δ=25sin2A-16=0, ∴sin2A=1625, ∴sin A=45, ∵∠A為銳角, ∴sin A=45. (2)由題意知,方程y2-10y+k2-4k+29=0有兩個實(shí)數(shù)根,則Δ≥0, ∴100-4(k2-4k+29)≥0, ∴-(k-2)2≥0, ∴(k-2)2≤0, 又∵(k-2)2≥0, ∴k=2. 把k=2代入方程,得y2-10y+25=0, 解得y1=y2=5, ∴△ABC是等腰三角形,且腰長為5. 分兩種情況: ①∠A是頂角時:如圖1,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,在Rt△ABD中,AB=AC=5, ∵sin A=45, ∴AD=3,BD=4, ∴DC=2, ∴BC=25. ∴△ABC的周長為10+25. ②∠A是底角時:如圖2,過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D,在Rt△ABD中,AB=5, ∵sin A=45, ∴AD=DC=3, ∴AC=6. ∴△ABC的周長為16. 綜上,△ABC的周長為10+25或16. B組　提升題組 一、選擇題 1.B　設(shè)ED=x,則AE=6-x. ∵四邊形ABCD為矩形, ∴AD∥BC, ∴∠EDB=∠DBC. 由題意得:∠EBD=∠DBC, ∴∠EDB=∠EBD,∴EB=ED=x. 由勾股定理得: BE2=AB2+AE2, 即x2=32+(6-x)2, 解得:x=154, ∴ED=154.故選B. 2.A　∵四邊形ABCD是矩形, ∴AD=BC,AD∥BC, ∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn), ∴BE=12BC=12AD, ∴△BEF∽△DAF, ∴EFAF=BEAD, ∴EF=12AF, ∴EF=13AE, ∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn), ∴由矩形的對稱性得:AE=DE, ∴EF=13DE,設(shè)EF=x,則DE=3x, ∴DF=DE2-EF2=22x, ∴tan∠BDE=EFDF=x22x=24. 故選A. 二、填空題 3.答案　2103 解析　將正方體展開,右邊與后面的正方形及前面正方形放在一個面上,展開圖如圖所示,此時AB最短, ∵△BCM∽△ACN, ∴MBAN=MCNC,即42=MCNC=2,即MC=2NC, ∴CN=13MN=23, 在Rt△ACN中,根據(jù)勾股定理得:AC=AN2+CN2=2103. 4.答案　2321 解析　過點(diǎn)B作DE⊥l2,交l1于D,交l3于E,如圖, ∵DE⊥l2,l1∥l2∥l3, ∴DE⊥l1,DE⊥l3, ∴∠ABD+∠DAB=90,∠ADB=∠BEC=90, 又∵∠ABC=90, ∴∠ABD+∠EBC=90, ∴∠DAB=∠EBC, 在△ABD和△BCE中, ∠ADB=∠BEC, ∠DAB=∠EBC, ∴△ABD∽△BCE, ∴ECDB=EBDA=BCAB. 在△ABC中, ∠BAC=60,tan∠BAC=BCAB=3, ∴ECDB=EBDA=BCAB=3, ∵DB=1,BE=2, ∴EC=3,AD=233. 在Rt△ABD中,AD=233,DB=1, ∴AB2=73, EC=3,BE=2, 在Rt△BCE中, ∴BC2=7, ∴AC2=BC2+AB2=7+73=283. ∴AC=2321. 三、解答題 5.解析　(1)∵△CDQ≌△CPQ, ∴DQ=PQ,PC=DC, ∵AB=DC=5,AD=BC=3, ∴PC=5, 在Rt△PBC中,PB=PC2-BC2=4, ∴PA=AB-PB=5-4=1, 設(shè)AQ=x,則DQ=PQ=3-x, 在Rt△PAQ中,(3-x)2=x2+12, 解得x=43, ∴AQ=43. (2)如圖,過M作EF⊥CD于F, 則EF⊥AB, ∵M(jìn)D⊥MP, ∴∠PMD=90, ∴∠PME+∠DMF=90, ∵∠FDM+∠DMF=90, ∴∠MDF=∠PME, ∵M(jìn)是QC的中點(diǎn), ∴DM=PM=12QC, 在△MDF和△PME中, ∠MDF=∠PME,∠DFM=∠MEP,DM=PM, ∴△MDF≌△PME(AAS), ∴DF=ME,MF=PE, ∵EF⊥CD,AD⊥CD, ∴EF∥AD, ∵QM=MC,∴DF=CF=12DC=52, ∴ME=52, ∵M(jìn)E是梯形ABCQ的中位線, ∴2ME=AQ+BC,即5=AQ+3, ∴AQ=2. 6.解析　過P點(diǎn)作PE⊥BC于E,過D點(diǎn)作DF⊥BC于F, ∴DF=AB=8 cm. FC=BC-AD=18-12=6 cm. ①當(dāng)PQ⊥BC時, BE+CE=18 cm.即2t+t=18, ∴t=6; ②當(dāng)QP⊥PC時, 當(dāng)P在DC邊上時,可得PC=22-2t,QC=t, 此時滿足22-2tt=610, 則t=11013. 當(dāng)P在AD邊上時,CE=BC-2t=(18-2t)cm, PE=8 cm,QE=t-CE=(3t-18)cm, 易知PE2=QECE, ∴64=(3t-18)(18-2t),無解. ③當(dāng)PC⊥BC時,因?yàn)椤螪CB<90,所以此種情形不存在. ∴當(dāng)t=6或11013時,△PQC是直角三角形.