《高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)16 空間向量的正交分解及其坐標表示 新人教A版選修21》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 課時分層作業(yè)16 空間向量的正交分解及其坐標表示 新人教A版選修21(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時分層作業(yè)(十六) 空間向量的正交分解及其坐標表示
(建議用時:40分鐘)
[基礎(chǔ)達標練]
一、選擇題
1.給出下列命題:
①若{a,b,c}可以作為空間的一個基底,d與c共線,d≠0,則{a,b,d}也可以作為空間的一個基底;
②已知向量a∥b,則a,b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底;
③A,B,M,N是空間四點,若,,不能構(gòu)成空間的一個基底,則A,B,M,N四點共面;
④已知{a,b,c}是空間的一個基底,若m=a+c,則{a,b,m}也是空間的一個基底.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D [根據(jù)基底的概念
2、,知空間中任何三個不共面的向量都可作為空間的一個基底.顯然②正確.③中由,,不能構(gòu)成空間的一個基底,知,,共面.又,,過相同點B,知A,B,M,N四點共面.所以③正確.下面證明①④正確:①假設(shè)d與a,b共面,則存在實數(shù)λ,μ,使得d=λa+μb,∵d與c共線,c≠0,∴存在實數(shù)k,使得d=kC.∵d≠0,∴k≠0,從而c=a+b,∴c與a,b共面,與條件矛盾,∴d與a,b不共面.同理可證④也是正確的.于是①②③④四個命題都正確,故選D.]
2.在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M是上底面對角線AC與BD的交點,若=a,=b,=c,則可表示為( )
A.a(chǎn)+b+c B.a(chǎn)-b+c
3、
C.-a-b+c D.-a+b+c
D [由于=+=+(+)
=-a+b+c,故選D.]
3.正方體ABCDA′B′C′D′中,O1,O2,O3分別是AC,AB′,AD′的中點,以{1,2,3}為基底,=x1+y+z3,則x,y,z的值是( )
A.x=y(tǒng)=z=1 B.x=y(tǒng)=z=
C.x=y(tǒng)=z= D.x=y(tǒng)=z=2
A [=++
=(+)+(+)+(+)
=++=++,
由空間向量的基本定理,得x=y(tǒng)=z=1.]
4.已知點O,A,B,C為空間不共面的四點,且向量a=++,向量b=+-,則與a,b不能構(gòu)成空間基底的向量是( )
【導(dǎo)學(xué)號:46342150】
4、
A. B.
C. D.或
C [因為a-b=2,所以a,b與共面,不能構(gòu)成空間的一個基底.]
5.如圖3133,在空間直角坐標系中,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1,B1E=A1B1,則等于( )
圖3133
A.
B.
C.
D.
C [由圖知B(1,1,0),E,所以=.]
二、填空題
6.已知空間的一個基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m與n共線,則x=________,y=________.
1?。? [因為m與n共線,所以存在實數(shù)λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有
解得]
7.如圖31
5、34, 在平行六面體ABCDA1B1C1D1中,M為AC和BD的交點,若=a,=b,=c,則=________.
圖3134
-a+b-c [=-
=(+)-(+)=-+-=-a+b-C.]
8.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,建立如圖3135所示的空間直角坐標系,M,N分別是AB,PC的中點,并且PA=AD=1,則的坐標為________.
【導(dǎo)學(xué)號:46342151】
圖3135
= [∵PA=AD=AB=1,且PA⊥平面ABCD,AD⊥AB,
∴M,P(0,0,1),C(-1,1,0),
則N.
∴=]
三、解答題
9.如圖3136,在平行六面體
6、ABCDA1B1C1D1中,=-,=,設(shè)=a,=b,=c,試用a,b,c表示.
圖3136
[解] 連接AN,則=+.
由已知可得四邊形ABCD是平行四邊形,從而可得
=+=a+b,
=-=-(a+b),
又=-=b-c,
故=+=-=-
=b-(b-c),
所以=+=-(a+b)+b-(b-c)
=(-a+b+c).
10.如圖3137,在正四棱錐PABCD中,底面ABCD是邊長為1的正方形,O是AC與BD的交點,PO=1,M是PC的中點.設(shè)=a,=b,=C.
圖3137
(1)用向量a,b,c表示.
(2)在如圖的空間直角坐標系中,求的坐標.
【
7、導(dǎo)學(xué)號:46342152】
[解] (1)∵=+,=,=,=-,=+,
∴=+(-)=+-(+)=-++=-a+b+C.
(2)a==(1,0,0),b==(0,1,0).
∵A(0,0,0),O,P,∴c==-=,
∴=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+=.
[能力提升練]
1.已知M,A,B,C四點互不重合且任意三點不共線,則下列式子中能使向量,,成為空間的一個基底的是( )
A.=OA+OB+OC
B.=+
C.=++
D.=2-
C [對于選項A,由=x+y+z(x+y+z=1)?M,A,B,C四點共面,知,,共面;對于選項B,D,易知,,共面,
8、故選C.]
2.已知在長方體ABCDA1B1C1D1中,向量a在基底{,,}下的坐標為(2,1,-3),則向量a在基底{,,}下的坐標為( )
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
B [∵a=2+-3=2--3=-+2-3DD1,∴向量a在基底{,,}下的坐標為(-1,2,-3),故選B.]
3.在空間四邊形ABCD中,=a-2c,=5a-5b+8c,對角線AC,BD的中點分別是E,F(xiàn),則=________.
3a-b+3c [=(+)=(+)+(+)=+++++=(+)=3a-b+3c.]
4.已知向量p在基底{a,b
9、,c}下的坐標為(2,1,-1),則p在基底{2a,b,-c}下的坐標為________;在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為__________.
【導(dǎo)學(xué)號:46342153】
(1,1,1) [由題意知p=2a+b-c,
則向量p在基底{2a,b,-c}下的坐標為(1,1,1)
設(shè)向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為(x,y,z),則
p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc
又∵p=2a+b-c,
∴,
解得x=,y=,z=-1;
∴p在基底{a+b,a-b,c}下的坐標為.]
5.已知{e1,e2,e3}為空間的一個基底,
10、且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.
(1)判斷P,A,B,C四點是否共面.
(2)能否以{,,}作為空間的一個基底?若能,試以這一基底表示;若不能,請說明理由.
[解] (1)假設(shè)P,A,B,C四點共面,
則存在實數(shù)x,y,z,使=x+y+z,且x+y+z=1,
即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3).
比較對應(yīng)的系數(shù),得到關(guān)于x,y,z的方程組,
解得,與x+y+z=1矛盾,
故P,A,B,C四點不共面.
(2)若OA,,共面,則存在實數(shù)m,n,使=m
11、+n,
同(1)可證,,,不共面,
因此{,,}可以作為空間的一個基底,令=a,=b,=c,
由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,
得,
所以=2e1-e2+3e3=2(3a-b-5c)-(a-c)+3(4a-b-7c)=17a-5b-30c=17-5-30.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375