高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 第8節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 新人教A版

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1、 第八章 第8節(jié) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 [基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練] 1．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577783)已知拋物線y2＝2x，過(guò)點(diǎn)(－1,2)作直線l，使l與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿(mǎn)足上述條件的直線l共有(　　) A．0條　　　　　　　　 B．1條 C．2條 D．3條 解析：D　[因?yàn)辄c(diǎn)(－1,2)在拋物線y2＝2x的左側(cè)，所以該拋物線一定有兩條過(guò)點(diǎn)(－1,2)的切線，過(guò)點(diǎn)(－1,2)與x軸平行的直線也與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以過(guò)點(diǎn)(－1,2)有3條直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，故選D.] 2．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577784)已知橢圓＋＝1以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4,2)，則以P為中點(diǎn)的

2、弦所在直線的斜率為(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：B　[設(shè)弦的端點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 兩式相減，得＋＝0， ∴＝－，∴k＝＝－.] 3．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577785)過(guò)點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x2－＝1交于A，B兩點(diǎn)，使點(diǎn)P為AB中點(diǎn)，則這樣的直線(　　) A．存在一條，且方程為2x－y－1＝0 B．存在無(wú)數(shù)條 C．存在兩條，方程為2x(y＋1)＝0 D．不存在 解析：D　[設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，則x－y＝1，x－y＝1， 兩式相減得(x1－x2)(

3、x1＋x2)－ (y1－y2)(y1＋y2)＝0，所以x1－x2＝(y1－y2)，即kAB＝2， 故所求直線方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 聯(lián)立可得2x2－4x＋3＝0，但此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，故這樣的直線不存在．故選D.] 4．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577786)已知拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若＝0，則k＝(　　) A. B. C. D．2 解析：D　[如圖所示，設(shè)F為焦點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)P，過(guò)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為G，H，連接MF，MP，kMF＝－由＝0，知MA⊥MB，則|MP|＝|AB|＝(|AG

4、|＋|BH|)，所以MP為直角梯形BHGA的中位線，所以MP∥AG∥BH，所以∠GAM＝∠AMP＝∠MAP，又|AG|＝|AF|，AM為公共邊，所以△AMG≌△AMF，所以∠AFM＝∠AGM＝90，則MF⊥AB，所以k＝－＝2.] 5．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577787)過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|＝4b，若這樣的直線有且僅有兩條，則離心率e的取值范圍是(　　) A. B．(，＋∞) C. D.∪(，＋∞) 解析：D　[由題意過(guò)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作直線l與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，使得|AB|＝4b，若這樣的直線

5、有且僅有兩條，可得＜|AB|＝4b，且2a＞4b，e＞1，可得e＞或1或1

6、依題意得，y′＝， 切線MA的方程是y－y1＝(x－x1)，即y＝x－.又點(diǎn)M(2，－2p)位于直線MA上，于是有－2p＝2－，即x－4x1－4p2＝0；同理有x－4x2－4p2＝0，因此x1，x2是方程x2－4x－4p2＝0的兩根，則x1＋x2＝4，x1x2＝－4p2.由線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)是6得，y1＋y2＝12，即＝＝12，＝12，解得p＝1或p＝2. 答案：1或2 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577790)(理科)(2018泉州市模擬)橢圓＋＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F2作一條直線l交橢圓與P、Q兩點(diǎn)，則△F1PQ內(nèi)切圓面積的最大值是_________________

7、_______________________________________________________． 解析：因?yàn)槿切蝺?nèi)切圓的半徑與三角形周長(zhǎng)的乘積是面積的2倍，且△F1PQ的周長(zhǎng)是定值8，所以只需求出△F1PQ內(nèi)切圓的半徑的最大值即可． 設(shè)直線l方程為x＝my＋1，與橢圓方程聯(lián)立得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0. 設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝－，y1y2＝－， 于是S△F1PQ＝|F1F2||y1－y2|＝＝12. ∵＝≤，∴S△F1PQ≤3 所以?xún)?nèi)切圓半徑r＝≤，因此其面積最大值是π. 答案：π 8．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577791)(文科)

8、(2018邯鄲市二模)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，以拋物線C上的點(diǎn)M(x0,2)為圓心的圓與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線x＝截得的弦長(zhǎng)為||，若＝2，則||＝___________________________________________. 解析：由題意，|MF|＝x0＋. ∵圓M與線段MF相交于點(diǎn)A，且被直線x＝截得的弦長(zhǎng)為||， ∴|MA|＝2. ∵＝2，∴|MF|＝|MA|，∴x0＝p，∴2p2＝8， ∴p＝2，∴||＝1. 答案：1  9．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577792)(2018張家口市模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F和橢圓E：

9、＋＝1的右焦點(diǎn)重合，直線l過(guò)點(diǎn)F交拋物線于A，B兩點(diǎn)． (1)若直線l的傾斜角為135，求|AB|的長(zhǎng)； (2)若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝m，＝n，試求m＋n的值． 解：(1)據(jù)已知得橢圓E的右焦點(diǎn)為F(1,0)， ∴＝1，故拋物線C的方程為y2＝4x. ∵直線l的傾斜角為135，∴y＝－x＋1， 于是得到(－x＋1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴x1＋x2＝6，∴|AB|＝p＋x1＋x2＝8， (2)根據(jù)題意知斜率必存在，于是設(shè)方程為y＝k(x－1)，點(diǎn)M坐標(biāo)為M(0，－k)， ∵A(x1，y1)，B(x2，y2)為l與拋物線

10、C的交點(diǎn)，，得到k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， ∵Δ＝16(k2＋1)＞0，∴x1＋x2＝2＋，x1x2＝1. ∵＝m，＝n， ∴(x1，y1＋k)＝m(1－x1，－y1)，(x2，y2＋k)＝n(1－x2，－y2)， ∴m＝，n＝， ∴m＋n＝＋＝＝＝－1. 10．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577793)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的焦點(diǎn)F1到雙曲線－y2＝1漸近線的距離為. (1)求橢圓C的方程； (2)直線AB：y＝kx＋m(k＜0)與橢圓C交于不同的A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，且原點(diǎn)O到直線AB的距

11、離為，求直線AB的方程． 解：(1)∵橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為， ∴＝， ∵雙曲線－y2＝1的一條漸近線方程為x－y＝0， 橢圓C的左焦點(diǎn)F1(－c,0)， ∵橢圓C的焦點(diǎn)F1到雙曲線－y2＝1漸近線的距離為. ∴d＝＝＝得c＝1， 則a＝，b＝1， 則橢圓C的方程為＋y2＝1； (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由原點(diǎn)O到直線AB的距離為，得＝， 即m2＝(1＋k2)，① 將y＝kx＋m(k＜0)代入＋y2＝1；得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 則判別式Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝

12、8(2k2－m2＋1)＞0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∵以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2， ∴＝0， 即(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0 即(x1－1)(x2－1)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0， 即(1＋k2)x1x2＋(km－1)(x1＋x2)＋m2＋1＝0， ∴(1＋k2)＋(km－1)＋m2＋1＝0， 化簡(jiǎn)得3m2＋4km－1＝0?、? 由①②得11m4－10m2－1＝0，得m2＝1， ∵k＜0，∴，滿(mǎn)足判別式Δ＝8(2k2－m2＋1)＞0， ∴AB的方程為y＝－x＋1. [能力提升組] 11．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577794)(2018泉州市一模)已知

13、拋物線E的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)F的直線m與E交于A，B兩點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點(diǎn)，若m與l不平行，則△CMD是(　　) A．等腰三角形且為銳角三角形 B．等腰三角形且為鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．非等腰的直角三角形 解析：A　[∵點(diǎn)A在拋物線y2＝2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，C，D分別為A，B在l上的射影，M為AB的中點(diǎn)，NM是M到拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為E，如圖： ∴△CMD中，CN＝ND，所以三角形CMD是等腰三角形， 可得∠CFD＝90，MN＞EF，可得∠CMD＜90. 則△CMD是等腰三角形且為銳角三角形．故

14、選A.] 12．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577795)F為橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，第一象限內(nèi)的點(diǎn)M在橢圓上，若MF⊥x軸，直線MN與圓x2＋y2＝1相切于第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，則|NF|等于(　　) A. B. C. D. 解析：A　[因?yàn)镸F⊥x軸，F(xiàn)為橢圓＋y2＝1的右焦點(diǎn)，所以F(2,0)，M，設(shè)lMN：y－＝k(x－2)， N(x，y)，則O到lMN的距離d＝＝1，解得k＝(負(fù)值舍去)． 又因?yàn)? 即N，所以|NF|＝＝.] 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577796)(理科)(2018武漢市模擬)已知直線MN過(guò)橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F，與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．直線PQ過(guò)原點(diǎn)O與MN平行

15、，且PQ與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，則＝　________　. 解析：橢圓＋y2＝1的左焦點(diǎn)F(－1,0)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，則|MN|＝＝，則|PQ|＝2b＝2，則＝＝2；當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的斜率k，則MN的方程y＝k(x＋1)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，由，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，由韋達(dá)定理可知：x1＋x2＝－，x1x2＝， |MN|＝ ＝. 直線PQ過(guò)原點(diǎn)O與MN平行，則直線PQ的方程y＝kx，設(shè)P(x3，y3)，Q(x4，y4)，由，得x2＝，y2＝， 則|OP|2＝x2＋y2＝＋＝＝， ∴|PQ|＝2|OP|，則|PQ

16、|2＝4|OP|2 ＝，∴＝2. 答案：2 13．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577797)(文科)設(shè)A，B分別為橢圓＋＝1(a＞b＞0)和雙曲線－＝1的公共頂點(diǎn)，P，M分別為雙曲線和橢圓上異于A，B的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，|λ|＞1，設(shè)直線AP，BP，AM，BM的斜率分別為k1，k2，k3，k4且k1＋k2＝5，則k3＋k4＝　________　. 解析：如圖所示， ∵滿(mǎn)足＋＝λ(＋)，其中λ∈R，|λ|＞1， ∴－2＝λ(－2)， ∴O，M，P三點(diǎn)共線． 設(shè)P(x1，y1)，M(x2，y2)，＝k≠0. 則－＝1，＋＝1， ∴＝，＝－， ∵k1＋k2＝5， ∴

17、5＝＋＝＝＝. ∴k3＋k4＝＋＝＝－＝－5. 答案：－5. 14．(導(dǎo)學(xué)號(hào)14577798)(2018益陽(yáng)市調(diào)研)設(shè)橢圓C：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,0)． (1)求橢圓的方程； (2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線l，m，其中l(wèi)交橢圓于M，N，m交橢圓于P，Q，求|MN|＋|PQ|的最小值． 解：(1)因?yàn)?a＝ ＋＝4， 所以b＝＝，所以橢圓的方程為＋＝1. (2)①當(dāng)直線l、m中有一條直線的斜率不存在時(shí)，|MN|＋|PQ|＝7， ②當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線l1的方程y＝k(x－1)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由

18、得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝， |MN|＝ ＝＝， 設(shè)直線m的方程為y＝－(x－1)，同理得|PQ|＝，所以|MN|＋|PQ|＝， 設(shè)t＝k2＋1，則t>1，所以|MN|＋|PQ|＝， 因?yàn)閠>1，所以＝時(shí)，|MN|＋|PQ|有最小值<7. 綜上，|MN|＋|PQ|的最小值是. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375