高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例學(xué)案 新人教A版必修5

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1、 第1課時(shí)　解三角形的實(shí)際應(yīng)用舉例 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點(diǎn)).2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題．(重點(diǎn))． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．基線的概念與選擇原則 (1)定義 在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線． (2)性質(zhì) 在測量過程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高． 思考：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個(gè)問題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘

2、的呢？ 提示：利用正弦定理和余弦定理． 2．測量中的有關(guān)角的概念 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖121所示)． 圖121 (2)方向角 從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60，即以正南方向?yàn)槭歼叄槙r(shí)針方向向西旋轉(zhuǎn)60. (如圖122所示) 圖122 思考：李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？ 提示：東南方向． [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊．(

3、　　) (2)兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離無法求得．(　　) (3)東偏北45的方向就是東北方向．(　　) (4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√　 提示：已知三角形中至少知道一條邊才能解三角形，故(1)錯(cuò)．兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離可以用解三角形的方法求出，故(2)錯(cuò)． 2．如圖123，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432044】 圖123 A．α，a，b　　　　　　 B．α，β，a C．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b C　[選擇a，b，γ可直接利用余弦定理AB

4、＝求解．] 3．小強(qiáng)站在地面上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時(shí)測得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫?　　) A．α＋β B．α－β C．β－α D．α C　[如圖所示，設(shè)小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－α，故選C項(xiàng)．] 4．某人先向正東方向走了x km，然后他向右轉(zhuǎn)150，向新的方向走了3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為 km，那么x的值為(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432045】 A. B．2 C．2或 D．3 C　[如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos 30， 即x2－3x＋6＝0，解之得

5、x＝2或.] [合 作 探 究攻 重 難] 測量距離問題 　海上A，B兩個(gè)小島相距10 海里，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432046】 A．10 海里　　　　　 B.海里 C．5海里 D．5海里 D　[根據(jù)題意，可得右圖．在△ABC中，A＝60，B＝75，AB＝10，∴C＝45.由正弦定理可得＝，即＝，∴BC＝5(海里)．] [規(guī)律方法]　三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略： ((1)解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角

6、形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求? ((2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來解決. [跟蹤訓(xùn)練] 1．如圖124所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120 m，則河的寬度為________ m. 圖124 60　[由題意知，∠ACB＝180－30－75＝75，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BD⊥AC于D，∴河寬＝BD＝120sin 30＝60(m)．]

7、 測量高度問題 　(1)如圖125，從山頂望地面上C，D兩點(diǎn)，測得它們的俯角分別為45和30，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于(　　) 圖125 A．100米　　　　 B．50米 C．50米 D．50(＋1)米 (2)在一幢20 m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0，塔基的俯角為45，那么這座塔吊的高是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432047】 A．20 m B．20(1＋)m C．10(＋)m D．20(＋)m 思路探究：(1)解決本題關(guān)鍵是求AB時(shí)確定在哪一個(gè)三角形中求解，該三角形是否可解． (2)解決本題關(guān)鍵是畫出示意圖． (1)D

8、　(2)B　[(1)設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝h，∴h－h(huán)＝100，即h＝50(＋1)． (2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m. 在△DCE中，∠EDC＝60，∠DCE＝90，CD＝20 m，∴EC＝CDtan 60＝20 m，∴BE＝BC＋CE＝(20＋20)m.選B.] [規(guī)律方法]　解決測量高度問題的一般步驟： (1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖. (2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形. (3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想

9、的運(yùn)用. [跟蹤訓(xùn)練] 2.某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)．如圖126所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，請據(jù)此算出H的值． 圖126 [解] 由AB＝，BD＝， AD＝及AB＋BD＝AD， 得＋＝， 解得H＝＝＝124. 因此電視塔的高度H是124 m. 與立體幾何有關(guān)的測量問題 [探究問題] 1．已知A，B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45，∠BAD＝120，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45，其中D是點(diǎn)

10、C到水平面的垂足．試畫出符合題意的示意圖． 提示：用線段CD表示山，用△DAB表示海平面．結(jié)合題中相應(yīng)的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示． 2．在探究1中若要求山高CD怎樣求解？ 提示：由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長，然后在Rt△ACD中求出CD. 如圖127，為了測量河對岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C和D，測得CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A的仰角分別是45和30，且∠CBD＝30，求塔高AB. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432048】 圖127 思路探究：利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出B

11、C＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解． [解]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45，若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30，則BD＝h. 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2BCBDcos∠CBD， 即2002＝h2＋(h)2－2hh， 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)， 即塔高AB＝200米． 母題探究：(變條件)若將例題中的條件“CD＝200米，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測得塔頂A的仰角分別是45和30，且∠CBD＝30”改為“CD＝800米，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角為45，∠CDB＝120，又在C點(diǎn)測得∠DCB＝4

12、5.”求塔高AB. [解]　在△BCD中，∠CBD＝180－120－45＝15， CD＝800 m，∠BCD＝45， 由正弦定理，＝， BD＝＝ ＝800(＋1)m， 又∠ADB＝45，AB＝BD. ∴AB＝800(＋1)m. 即山的高度為800(＋1) m. [規(guī)律方法]　測量高度問題的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題. (2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．甲、乙兩人在同一地平面上的不同

13、方向觀測20 m高的旗桿，甲觀測的仰角為50，乙觀測的仰角為40，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，那么有(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432049】 A．d1>d2　　　　　　　 B．d120 m D．d2<20 m B　[如圖，設(shè)旗桿高為h， 則d1＝，d2＝. 因?yàn)閠an 50>tan 40，所以d1

14、AC＝∠ACB－∠D＝60－30＝30， 所以△ADC為等腰三角形， 所以AC＝DC＝100米， 在Rt△ABC中，AB＝ACsin 60＝50米．] 3．一艘船上午9：30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30的方向，且與它相距8海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，此船的航速是(　　)海里/小時(shí). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432050】 A．8(＋) B．8(－) C．16(＋) D．16(－) D　[由題意得在三角形SAB中，∠BAS＝30，∠SBA＝180－75＝105，∠BSA＝45. 由正弦定理得＝， 即

15、＝，得AB＝8(－)， 因此此船的航速為＝16(－)(海里/小時(shí))．] 4．在高出海平面200 m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45與30，此時(shí)兩船間的距離為________m. 200(＋1)　[過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H， 由圖易知∠BAH＝45，∠CAH＝60，AH＝200 m， 則BH＝AH＝200 m，CH＝AHtan 60＝200 m. 故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(＋1)m.] 5．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75，距離為12海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30，距離為8海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東

16、120，求： (1)A處與D處之間的距離； (2)燈塔C與D處之間的距離. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432051】 [解]　由題意，畫出示意圖． (1)在△ABD中，由已知∠ADB＝60，B＝45，AB＝12. 由正弦定理得AD＝sin 45＝24(海里)． (2)在△ADC中，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2ADACcos 30＝242＋(8)2－2248＝(8)2， ∴CD＝8(海里)． 即A處與D處之間的距離為24海里，C、D之間的距離為8海里． 我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。