2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明學(xué)案 蘇教版必修5.docx

3.4.1　基本不等式的證明 學(xué)習(xí)目標　1.理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2.能熟練運用基本不等式來比較兩個實數(shù)的大小.3.能初步運用基本不等式證明簡單的不等式． 知識點一　算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 思考　如圖，AB是圓O的直徑，點Q是AB上任一點，AQ＝a，BQ＝b，過點Q作PQ垂直于AB且交圓O于點P，連結(jié)AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的長度？ 答案　PO＝＝.易證Rt△APQ∽Rt△PBQ，那么PQ2＝AQQB，即PQ＝. 梳理　一般地，對于正數(shù)a，b，為a，b的算術(shù)平均數(shù)，為a，b的幾何平均數(shù)．兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即≤. 知識點二　基本不等式及其常見推論 ≤(a≥0，b≥0)．當(dāng)對正數(shù)a，b賦予不同的值時，可得以下推論： (1)ab≤2≤(a，b∈R)； (2)＋≥2(a，b同號)； (3)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)． 1．對于任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．() 2.≥.(√) 3．若a>0，b>0，則ab≤恒成立．() 類型一　常見推論的證明 例1　證明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ∴a2＋b2≥2ab. 引申探究 證明不等式2≤(a，b∈R)． 證明　由例1，得a2＋b2≥2ab， ∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab， 兩邊同除以4，即得2≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，取等號． 反思與感悟　作差法與不等式性質(zhì)是證明中常用的方法． 跟蹤訓(xùn)練1　已知a，b，c為任意的實數(shù)，求證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 證明　∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca， ∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 類型二　用基本不等式證明不等式 例2　已知x，y都是正數(shù)． 求證：(1)＋≥2； (2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　(1)∵x，y都是正數(shù)， ∴>0，>0， ∴＋≥2＝2，即＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立． (2)∵x，y都是正數(shù)， ∴x＋y≥2>0， x2＋y2≥2>0，x3＋y3≥2>0. ∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3) ≥222＝8x3y3， 即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，等號成立． 反思與感悟　利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項： (1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事項：①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用． 跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b，c都是正實數(shù)，求證：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正實數(shù)， ∴a＋b≥2>0，b＋c≥2>0，c＋a≥2>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥222＝8abc. 即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 類型三　用基本不等式比較大小 例3　某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x(a，b，x均大于零)，則x與的大小關(guān)系為________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　x≤ 解析　第二年產(chǎn)量為A＋Aa＝A(1＋a)， 第三年產(chǎn)量為A(1＋a)＋A(1＋a)b＝A(1＋a)(1＋b)． 若平均增長率為x，則第三年產(chǎn)量為A(1＋x)2. 依題意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)， ∵a＞0，b＞0，x＞0， ∴(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)≤2， ∴1＋x≤＝1＋，∴x≤(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立)． 反思與感悟　基本不等式≥一端為和，一端為積，使用基本不等式比較大小要擅于利用這個橋梁化和為積或者化積為和． 跟蹤訓(xùn)練3　設(shè)a＞b＞1，P＝，Q＝， R＝lg，則P，Q，R的大小關(guān)系是____________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　P<Q<R 解析　∵a＞b＞1，∴l(xiāng)ga＞lgb＞0， ∴＞，即Q＞P.① 又＞>0， ∴l(xiāng)g＞lg＝(lga＋lgb)，即R＞Q.② 綜合①②，有P<Q<R. 1．若0<a<b，則a，，，b的大小關(guān)系由小到大是______________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　a<<<b 解析　∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b>. ∵b>a>0，∴ab>a2，∴>a. ∵b>a>0，∴>.故b>>>a. 2．下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是______． ①lg(x2＋1)≥lg(2x); ②x2＋1>2x； ③≤1; ④x＋≥2. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、? 解析　對于①，當(dāng)x≤0時，無意義，故①不恒成立；對于②，當(dāng)x＝1時，x2＋1＝2x，故②不成立；對于④，當(dāng)x<0時，不成立；對于③，x2＋1≥1，∴≤1成立． 3．四個不相等的正數(shù)a，b，c，d成等差數(shù)列，則與中的較小者為______． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　 解析　因為a，b，c，d成等差數(shù)列，則a＋d＝b＋c，又因為a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>2，故>. 4．lg9lg11與1的大小關(guān)系是______________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　lg9lg11<1 解析　∵lg9>0，lg11>0， ∴l(xiāng)g9lg11≤2＝2 ＝2<2＝1， 即lg9lg11<1. 5．設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式： ①a2＋1>a；②≥4； ③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a. 其中恒成立的是________．(填序號) 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、佗冖? 解析　由于a2＋1－a＝2＋>0，故①恒成立； 由于a＋≥2，b＋≥2， ∴≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，等號成立，故②恒成立； 由于a＋b≥2，＋≥2， 故(a＋b)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立，故③恒成立； 當(dāng)a＝3時，a2＋9＝6a，故④不恒成立． 綜上，恒成立的是①②③. 1．兩個不等式a2＋b2≥2ab與≥都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)…時，取等號”這句話的含義要有正確的理解．一方面：當(dāng)a＝b時，＝；另一方面：當(dāng)＝時，也有a＝b. 2.在利用基本不等式證明的過程中，常需要把數(shù)、式合理地拆成兩項或多項或把恒等式變形配湊成適當(dāng)?shù)臄?shù)、式，以便于利用基本不等式． 一、填空題 1．a(chǎn)，b∈R，則a2＋b2與2|ab|的大小關(guān)系是____________． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　a2＋b2≥2|ab| 解析　∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(當(dāng)且僅當(dāng)|a|＝|b|時，等號成立)． 2．若a，b∈R且ab>0，則下列不等式中恒成立的是______． ①a2＋b2>2ab; ②a＋b≥2； ③＋>；④＋≥2. 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　④ 解析　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴①錯誤； 對于②，③，當(dāng)a<0，b<0時，顯然錯誤； 對于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立． 3．若x>0，y>0且x＋y＝4，則＋的最小值為______． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　1 解析　若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1， ∴＋＝(x＋y) ＝≥(2＋2)＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時，等號成立． 4．如果正數(shù)a，b，c，d滿足a＋b＝cd＝4，那么ab________c＋d.(填≥，≤) 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案　≤ 解析　因為a＋b＝cd＝4，所以由基本不等式得a＋b≥2，故ab≤4.又因為cd≤，所以c＋d≥4，所以ab≤c＋d，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝d＝2時，等號成立． 5．設(shè)f(x)＝lnx,0<a<b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，則p，q，r的大小關(guān)系是________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　p＝r<q 解析　因為0<a<b，所以>. 又因為f(x)＝ln x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f>f()，即p<q. 而r＝(f(a)＋f(b))＝(ln a＋ln b) ＝ln(ab)＝ln， 所以r＝p，故p＝r<q. 6．若a>1,0<b<1，則logab＋logba的取值范圍是______． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　(－∞，－2] 解析　∵a>1,0<b<1， ∴l(xiāng)ogab<0，－logab>0. ∴－logab－logba＝－logab－ ≥2＝2. ∴l(xiāng)ogab＋logba≤－2. 當(dāng)且僅當(dāng)logab＝logba，即ab＝1時，取等號． ∴l(xiāng)ogab＋logba∈(－∞，－2]． 7．設(shè)正數(shù)a，使a2＋a－2＞0成立，若t＞0，則logat________loga.(填“＞”“≥”“≤”或“＜”) 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　∵a2＋a－2＞0，∴a＞1或a＜－2(舍)， ∴y＝logax是增函數(shù)， 又≥，∴l(xiāng)oga≥loga＝logat. 8．設(shè)a，b為非零實數(shù)，給出不等式： ①≥ab；②≥2；③≥； ④＋≥2.其中恒成立的不等式是________． 考點　基本不等式的理解 題點　基本不等式的理解 答案?、佗? 解析　由重要不等式a2＋b2≥2ab，可知①正確；＝＝≥＝＝2，可知②正確；當(dāng)a＝b＝－1時，不等式的左邊為＝－1，右邊為＝－，可知③不正確；當(dāng)a＝1，b＝－1時，可知④不正確． 9．已知a＞b＞c，則與的大小關(guān)系是______________________________． 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　≤ 解析　因為a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0， 所以＝≥，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時，等號成立． 10．設(shè)a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，則m，n，p的大小關(guān)系是________．(用“＞”連接) 考點　基本不等式比較大小 題點　利用基本不等式比較大小 答案　m＞p＞n 解析　∵a＞1，∴a2＋1＞2a＞a＋1， ∴l(xiāng)oga(a2＋1)＞loga(2a)＞loga(a＋1)，故m＞p＞n. 二、解答題 11．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：＋＋≥a＋b＋c. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c都是正數(shù)， ∴，，也都是正數(shù)， ∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b， 三式相加得2≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，等號成立． 12．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求證： (1)＋＋≥8；(2)≥9. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　(1)＋＋＝＋＋＝2， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4， ∴＋＋≥8(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立)． (2)方法一　∵a>0，b>0，a＋b＝1， ∴1＋＝1＋＝2＋， 同理，1＋＝2＋， ∴＝ ＝5＋2≥5＋4＝9， ∴≥9(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立)． 方法二　＝1＋＋＋. 由(1)知，＋＋≥8， 故＝1＋＋＋≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立． 13．已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1. 求證：≥8. 考點　基本不等式證明不等式 題點　運用基本不等式證明不等式 證明　∵a，b，c均為正實數(shù)，且a＋b＋c＝1， ∴－1＝＝≥， 同理－1≥，－1≥. 由于上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘得 ≥＝8. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，等號成立． 三、探究與拓展 14．若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為______． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　2 解析　由已知得＋＝＝，且a>0，b>0， ∴ab＝b＋2a≥2，∴ab≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝2時，等號成立． 15．設(shè)x，y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，則x＋y的最小值為____________． 考點　基本不等式求最值 題點　利用基本不等式求最值 答案　2(＋1) 解析　∵x，y為正實數(shù)，且xy－(x＋y)＝1，xy≤2，∴2－(x＋y)－1≥0，解得x＋y≥2(＋1)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1＋時取等號．