2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.2.1-2.2.2 第1課時 等差數(shù)列的概念及通項公式學(xué)案 蘇教版必修5.docx

第1課時　等差數(shù)列的概念及通項公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解等差數(shù)列的定義，會用定義判斷和證明一個數(shù)列是否為等差數(shù)列.2.會推導(dǎo)等差數(shù)列的通項公式，能運用等差數(shù)列的通項公式解決一些簡單的問題.3.掌握等差中項的概念． 知識點一　等差數(shù)列的概念 思考　給出以下三個數(shù)列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它們有什么共同的特征？ 答案　從第2項起，每項與它的前一項的差是同一個常數(shù)． 梳理　一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項減去它的前一項所得的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示，可正可負(fù)可為零． 知識點二　等差中項的概念 思考　下列所給的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a，b. 答案　插入的數(shù)分別為3,2,0，. 梳理　如果三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項，且A＝. 知識點三　等差數(shù)列的通項公式 思考　對于等差數(shù)列2,4,6,8，…，有a2－a1＝2，即a2＝a1＋2；a3－a2＝2，即a3＝a2＋2＝a1＋22；a4－a3＝2，即a4＝a3＋2＝a1＋32. 試猜想an＝a1＋(　　)2. 答案　n－1 梳理　若一個等差數(shù)列{an}，首項是a1，公差為d，則an＝a1＋(n－1)d.此公式可用累加法證明． 1．若一個數(shù)列從第2項起每一項與前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．() 2．任意兩個實數(shù)都有等差中項．(√) 3．從通項公式可以看出，若等差數(shù)列的公差d>0，則該數(shù)列為遞增數(shù)列．(√) 4．若三個數(shù)a，b，c滿足2b＝a＋c，則a，b，c一定成等差數(shù)列．(√) 類型一　等差數(shù)列的判定與證明 命題角度1　根據(jù)前幾項判定數(shù)列是否為等差數(shù)列 例1　判斷下列數(shù)列是不是等差數(shù)列？ (1)9,7,5,3,…,－2n＋11,…； (2)－1,11,23,35,…,12n－13,…； (3)1,2,1,2,…； (4)1,2,4,6,8,10,…； (5)a,a,a,a,a,…. 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 解　由等差數(shù)列的定義得(1)，(2)，(5)為等差數(shù)列，(3)，(4)不是等差數(shù)列． 反思與感悟　判斷一個數(shù)列是不是等差數(shù)列，就是判斷該數(shù)列的每一項減去它的前一項差是否為同一個常數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練1　下列數(shù)列是等差數(shù)列的是________．(填序號) ①5,5,5,5,5； ②3,7,11,15,19； ③－2，－1,0,2,4,6. 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 答案?、佗? 命題角度2　用定義證明數(shù)列是等差數(shù)列 例2　已知數(shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5.求證{an}是等差數(shù)列． 考點　等差數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列是等差數(shù)列 證明　∵an＝2n＋5， ∴an＋1＝2(n＋1)＋5. ∴an＋1－an＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，n∈N*， ∴{an}是公差為2的等差數(shù)列． 反思與感悟　為了確保從第二項起，每一項減前一項的差始終是同一個常數(shù)．當(dāng)證明項數(shù)較多或者無窮的數(shù)列為等差數(shù)列時，不宜逐項驗證，而需證an＋1－an＝d. 跟蹤訓(xùn)練2　在數(shù)列{an}中，an＝2n，求證{lnan}為等差數(shù)列． 考點　等差數(shù)列的判定 題點　證明數(shù)列是等差數(shù)列 證明　lnan＋1－lnan＝ln＝ln＝ln2.n∈N*， ∴{lnan}是公差為ln2的等差數(shù)列． 類型二　等差中項 例3　在－1與7之間順次插入三個數(shù)a，b，c使這五個數(shù)成等差數(shù)列，求此數(shù)列． 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 解　∵－1，a，b，c,7成等差數(shù)列， ∴b是－1與7的等差中項， ∴b＝＝3. 又a是－1與3的等差中項，∴a＝＝1. 又c是3與7的等差中項，∴c＝＝5. ∴該數(shù)列為－1,1,3,5,7. 反思與感悟　在等差數(shù)列{an}中，由定義有an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，即an＝，從而由等差中項的定義知，等差數(shù)列從第2項起的每一項都是它前一項與后一項的等差中項． 跟蹤訓(xùn)練3　若m和2n的等差中項為4,2m和n的等差中項為5，求m和n的等差中項． 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 解　由m和2n的等差中項為4，得m＋2n＝8. 又由2m和n的等差中項為5，得2m＋n＝10. 兩式相加，得m＋n＝6. 所以m和n的等差中項為＝3. 類型三　等差數(shù)列通項公式的求法及應(yīng)用 命題角度1　基本量(a1，d，n，an)知其中三個求其余 例4　在等差數(shù)列{an}中，已知a6＝12，a18＝36，求通項公式an. 考點　等差數(shù)列基本量的計算問題 題點　求等差數(shù)列的項 解　由題意可得 解得d＝2，a1＝2. ∴an＝2＋(n－1)2＝2n. 反思與感悟　根據(jù)通項公式把已知量和未知量之間的關(guān)系列為方程求解的思想方法，稱為方程思想． 跟蹤訓(xùn)練4　(1)求等差數(shù)列8,5,2，…的第20項； (2)判斷－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13，…的項，如果是，是第幾項？ 考點　等差數(shù)列基本量的計算問題 題點　求等差數(shù)列的項 解　(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3， 由n＝20，得a20＝8＋(20－1)(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得這個數(shù)列的通項公式為an＝－5＋(n－1)(－4)＝－4n－1. 由題意，令－401＝－4n－1，得n＝100， 即－401是這個數(shù)列的第100項． 命題角度2　等差數(shù)列的實際應(yīng)用 例5　某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4km(不含4km)計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需要支付多少車費？ 考點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 解　根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4km時，每增加1km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費． 令a1＝11.2，表示4km處的車費，公差d＝1.2， 那么當(dāng)出租車行至14km處時，n＝11， 此時a11＝11.2＋(11－1)1.2＝23.2. 即需要支付車費23.2元． 反思與感悟　在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要確認(rèn)首項、項數(shù)等關(guān)鍵因素． 跟蹤訓(xùn)練5　在通常情況下，從地面到10km高空，高度每增加1km，氣溫就下降某一個固定數(shù)值．如果1km高度的氣溫是8.5℃，5km高度的氣溫是－17.5℃，求2km，4km,8km高度的氣溫． 考點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 解　用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的數(shù)列， 由題意可知，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d. 則a1＝8.5，a5＝－17.5， 由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5， 解得d＝－6.5， ∴an＝15－6.5n. ∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37， 即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃，－11℃，－37℃. 1．下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是________．(填序號) ①1,1,1,1,1; ②4,7,10,13,16； ③，，1，，；④－3，－2，－1,1,2. 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 答案?、? 2．已知等差數(shù)列{an}的通項公式an＝3－2n，則它的公差d＝________. 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 答案?。? 解析　由等差數(shù)列的定義，得d＝a2－a1＝－1－1＝－2. 3．已知在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則B＝________. 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 答案　60 解析　因為A，B，C成等差數(shù)列， 所以B是A，C的等差中項， 則有A＋C＝2B， 又因為A＋B＋C＝180， 所以3B＝180，從而B＝60. 4．已知等差數(shù)列－5，－2,1，…，則該數(shù)列的第20項為________． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 答案　52 解析　公差d＝－2－(－5)＝3，a20＝－5＋(20－1)d＝－5＋193＝52. 5．已知等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，則它的項數(shù)是________． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 答案　46 解析　d＝－1－1＝－2，設(shè)－89為第n項，則－89＝1＋(n－1)d＝1＋(n－1)(－2)，∴n＝46. 1．判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列的常用方法： (1)an＋1－an＝d(d為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． (3)an＝kn＋b(k，b為常數(shù)，n∈N*)?{an}是等差數(shù)列． 但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個反例即可． 2．由等差數(shù)列的通項公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首項a1和公差d，就可以求出通項公式，反過來，在a1，d，n，an四個量中，只要知道其中任意三個量，就可以求出另一個量． 一、填空題 1.－1與＋1的等差中項是________． 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 答案　 解析　設(shè)等差中項為a，則有a＝＝. 2．在數(shù)列{an}中，a1＝2,2an＋1－2an＝1，則a101＝______. 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 答案　52 解析　因為2an＋1－2an＝1，a1＝2，所以數(shù)列{an}是首項a1＝2，公差d＝的等差數(shù)列，所以a101＝a1＋100d＝2＋100＝52. 3．若a≠b，則等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是________． 考點　等差數(shù)列基本量的計算問題 題點　等差數(shù)列公差有關(guān)問題 答案　 解析　由等差數(shù)列的通項公式，得b＝a＋(4－1)d， 所以d＝. 4．已知在等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5＝________. 考點　等差數(shù)列基本量的計算問題 題點　求等差數(shù)列的項 答案　15 解析　設(shè){an}的首項為a1，公差為d， 根據(jù)題意得 解得a1＝47，d＝－8. 所以a5＝47＋(5－1)(－8)＝15. 5．等差數(shù)列20,17,14,11，…中第一個負(fù)數(shù)項是第______項． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 答案　8 解析　∵a1＝20，d＝－3， ∴an＝20＋(n－1)(－3)＝23－3n， ∴a7＝2＞0，a8＝－1<0. 6．若5，x，y，z,21成等差數(shù)列，則x＋y＋z＝______. 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 答案　39 解析　∵5，x，y，z,21成等差數(shù)列， ∴y既是5和21的等差中項也是x和z的等差中項． ∴5＋21＝2y， ∴y＝13，x＋z＝2y＝26， ∴x＋y＋z＝39. 7．一個等差數(shù)列的前4項是a，x，b,2x，則＝________. 考點　等差中項 題點　等差中項及其應(yīng)用 答案　 解析　∵b是x,2x的等差中項，∴b＝＝， 又∵x是a，b的等差中項，∴2x＝a＋b， ∴a＝，∴＝. 8．已知在等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，則a12＝________. 考點　等差數(shù)列基本量的計算問題 題點　求等差數(shù)列的項 答案　15 解析　由 得 ∴a12＝a1＋11d＝－＋11＝15. 9．若一個等差數(shù)列的前三項為a,2a－1,3－a，則這個數(shù)列的通項公式為________． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　求通項公式 答案　an＝＋1，n∈N* 解析　∵a＋(3－a)＝2(2a－1)， ∴a＝. ∴這個等差數(shù)列的前三項依次為，，， ∴d＝，an＝＋(n－1)＝＋1，n∈N*. 10．現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升． 考點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 題點　等差數(shù)列的應(yīng)用題 答案　 解析　設(shè)此等差數(shù)列為{an}，公差為d， 則∴ 解得∴a5＝a1＋4d＝＋4＝. 11．在等差數(shù)列{an}中，若a1＝84，a2＝80，則使an≥0，且an＋1<0的n＝________. 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 答案　22 解析　公差d＝a2－a1＝－4， ∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n， 令即?21<n≤22. 又∵n∈N*，∴n＝22. 二、解答題 12．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n，設(shè)bn＝. (1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 (1)證明　由已知an＋1＝2an＋2n，得bn＋1＝＝＝＋1＝bn＋1.又b1＝a1＝1，因此{(lán)bn}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列． (2)解　由(1)知數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝n，又bn＝，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2n－1. 13．已知等差數(shù)列{an}：3,7,11,15，…. (1)135,4m＋19(m∈N*)是{an}中的項嗎？試說明理由； (2)若ap，aq(p，q∈N*)是數(shù)列{an}中的項，則2ap＋3aq是數(shù)列{an}中的項嗎？并說明你的理由． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　通項公式的綜合應(yīng)用 解　由題可知，a1＝3，d＝4，則an＝a1＋(n－1)d＝4n－1. (1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34， ∴135是數(shù)列{an}的第34項． 令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5∈N*， ∴4m＋19是數(shù)列{an}的第m＋5項． (2)∵ap，aq是數(shù)列{an}中的項， ∴ap＝4p－1，aq＝4q－1. ∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1) ＝8p＋12q－5＝4(2p＋3q－1)－1， 其中2p＋3q－1∈N*， ∴2ap＋3aq是數(shù)列{an}的第2p＋3q－1項． 三、探究與拓展 14．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an－1－an＝anan－1(n≥2，n∈N*)，則a10＝________. 考點　等差數(shù)列的概念 題點　等差數(shù)列概念的理解運用 答案　 解析　易知an≠0，∵數(shù)列{an}滿足an－1－an＝anan－1(n≥2)，∴－＝1(n≥2)，故數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，∴＝1＋9＝10， ∴a10＝. 15．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝10，a2＝5，an－an＋2＝2(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式． 考點　等差數(shù)列的通項公式 題點　求通項公式 解　由an－an＋2＝2知，{an}的奇數(shù)項，偶數(shù)項 分別構(gòu)成公差為－2的等差數(shù)列． 當(dāng)n＝2k－1時，2k＝n＋1，a2k－1＝a1＋(k－1)(－2)＝12－2k， ∴an＝12－(n＋1)＝11－n(n為奇數(shù))． 當(dāng)n＝2k時，a2k＝a2＋(k－1)(－2)＝5－2k＋2 ＝7－2k. ∴an＝7－n(n為偶數(shù))． ∴an＝