2018-2019高中數(shù)學(xué) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末檢測試卷 蘇教版選修1 -1.docx

第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 章末檢測試卷(三) (時(shí)間：120分鐘　滿分：160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1.曲線y＝sinx在點(diǎn)P處的切線斜率是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　求某點(diǎn)處切線斜率 答案　 解析　由y＝sinx，得y′＝cosx，所以在點(diǎn)P處的切線斜率是k＝cos＝. 2.函數(shù)f(x)＝lnx－x的單調(diào)遞增區(qū)間為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求函數(shù)單調(diào)區(qū)間 答案　(0,1) 解析　令f′(x)＝－1>0，解不等式即可解得x<1，注意定義域?yàn)?0，＋∞).所以0<x<1. 3.設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求函數(shù)導(dǎo)數(shù) 答案　e 解析　∵f(x)＝xlnx， ∴f′(x)＝lnx＋x＝lnx＋1， ∴由f′(x0)＝2，得lnx0＋1＝2，∴x0＝e. 4.函數(shù)f(x)＝(x－1)2(x－2)2的極大值是________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求函數(shù)極大值 答案　 解析　∵f(x)＝(x－1)2(x－2)2， ∴f′(x)＝2(x－1)(2x－3)(x－2). 令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝，x3＝2. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，1) 1 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ ∴f＝是函數(shù)的極大值. 5.若直線y＝kx－3與曲線y＝2lnx相切，則實(shí)數(shù)k＝________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　求切線方程 答案　2 解析　依題意，設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，則有 由此得2－3＝2lnx0，∴x0＝e－. ∴k＝＝＝2. 6.已知函數(shù)f(x)＝x－alnx在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍 答案　[2，＋∞) 解析　函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝1－. 若函數(shù)f(x)＝x－alnx在區(qū)間(0,2]上單調(diào)遞減， 則等價(jià)為f′(x)≤0恒成立， 即1－≤0，即≥1，即a≥x， ∵0<x≤2，∴a≥2. 7.若函數(shù)f(x)＝(2x2＋ax)ex的單調(diào)遞減區(qū)間為，則實(shí)數(shù)a的值為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù) 答案　3 解析　f′(x)＝ex[2x2＋(4＋a)x＋a]，由f(x)的單調(diào)減區(qū)間為， 得2x2＋(4＋a)x＋a＜0的解集為， 所以解得a＝3. 8.設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈，則導(dǎo)數(shù)f′(1)的取值范圍為__________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求函數(shù)導(dǎo)數(shù) 答案　[，2] 解析　∵f′(x)＝x2sinθ＋xcosθ， ∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2 ＝2sin. ∵0≤θ≤，∴≤θ＋≤， ∴≤sin≤1.∴≤2sin≤2. 9.方程2x3－6x2＋7＝0在(0,2)內(nèi)根的個(gè)數(shù)為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　方程根的個(gè)數(shù) 答案　1 解析　令f(x)＝2x3－6x2＋7， ∴f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2). 由f′(x)＞0，得x＞2或x＜0；由f′(x)＜0，得0＜x＜2. 又f(0)＝7＞0，f(2)＝－1＜0. ∴方程在(0,2)內(nèi)只有一個(gè)實(shí)根. 10.已知不等式ex－x＞ax的解集為P，若[0,2]?P，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　不等式恒成立問題 答案　(－∞，e－1) 解析　由題意知不等式ex－x＞ax在x∈[0,2]上恒成立. 當(dāng)x＝0時(shí)，顯然對任意實(shí)數(shù)a，該不等式都成立； 當(dāng)x∈(0,2]時(shí)，原不等式即a＜－1， 令g(x)＝－1，則g′(x)＝， 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)1＜x＜2時(shí)，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增， 故g(x)在(0,2]上的最小值為g(1)＝e－1， 故a的取值范圍為(－∞，e－1). 11.已知y＝f(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)，f′(x)＋＞0，若g(x)＝f(x)＋，則函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　函數(shù)零點(diǎn)問題 答案　0 解析　令h(x)＝xf(x)， 因?yàn)楫?dāng)x≠0時(shí)，＞0，所以＞0， 因此當(dāng)x＞0時(shí)，h′(x)＞0，當(dāng)x＜0時(shí)，h′(x)＜0， 又h(0)＝0，易知當(dāng)x≠0時(shí)，h(x)＞0， 又g(x)＝，所以g(x)≠0， 故函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0. 12.函數(shù)f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的極大值為正數(shù)，極小值為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　由函數(shù)極值求參數(shù)范圍 答案　 解析　f′(x)＝3x2－3a2＝3(x－a)(x＋a)(a>0)， 令f′(x)＝0，得x＝a. 當(dāng)－a<x<a時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)遞減； 當(dāng)x>a或x<－a時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)遞增. 所以f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0，f(a)＝a3－3a3＋a<0， 解得a>. 13.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，g(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函數(shù)，且g(x)≠0.當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)－f(x)g′(x)>0，且f(2)＝0，則不等式<0的解集是____________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　構(gòu)造函數(shù)解不等式 答案　(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析　令h(x)＝. 當(dāng)x<0時(shí)，h′(x)＝>0， ∴函數(shù)h(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增. ∵f(x)和g(x)均為奇函數(shù)， ∴h(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)， ∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減. ∵f(2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0， ∴不等式<0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞). 14.已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x0>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　函數(shù)零點(diǎn)問題 答案　(－∞，－2) 解析　若a＝0，令f(x)＝0， 解得x＝，不合題意； 若a>0，則f(－1)＝－a－2<0，f(0)＝1>0， 所以f(x)存在負(fù)的零點(diǎn)，不合題意； 若a<0，則f′(x)＝3ax， 可得f＝1－為極小值. 則1－>0，解得a>2或a<－2，故a<－2. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－2). 二、解答題(本大題共6小題，共90分) 15.(14分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程； (2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線y＝－x＋3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的幾何意義 題點(diǎn)　求切線方程與切點(diǎn)坐標(biāo) 解　(1)因?yàn)閒′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， 所以f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為 k＝f′(2)＝13. 所以切線方程為y＝13(x－2)－6， 即13x－y－32＝0. (2)因?yàn)榍芯€與直線y＝－＋3垂直， 所以切線的斜率為k＝4. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)， 則f′(x0)＝3x＋1＝4， 所以x0＝1， 所以或 即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－14)或(－1，－18). 所以切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18， 即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0. 16.(14分)已知函數(shù)f(x)＝x2ex. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)證明：?x1，x2∈(－∞，0]，f(x1)－f(x2)≤. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求單調(diào)區(qū)間和證明不等式 (1)解　f′(x)＝x(x＋2)ex. 令f′(x)＝x(x＋2)ex＝0， 得x1＝－2，x2＝0. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,0) 0 (0，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－2,0)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(0，＋∞). (2)證明　由(1)知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－2,0)， 所以當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)最大值＝f(－2)＝. 因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，－2]時(shí)，f(x)＞0，f(0)＝0， 所以當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，f(x)最小值＝f(0)＝0. 所以f(x)最大值－f(x)最小值＝. 所以對?x1，x2∈(－∞，0]，都有f(x1)－f(x2)≤. 17.(14分)某經(jīng)銷商計(jì)劃銷售一款新型的空氣凈化器，經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：當(dāng)每臺凈化器的利潤為x(單位：元，x＞0)時(shí)，銷售量q(x)(單位：百臺)與x的關(guān)系滿足：若x不超過20，則q(x)＝；若x大于或等于180，則銷售量為零；當(dāng)20≤x≤180時(shí)，q(x)＝a－b(a，b為實(shí)常數(shù)). (1)求函數(shù)q(x)的表達(dá)式； (2)當(dāng)x為多少時(shí)，總利潤(單位：元)取得最大值，并求出該最大值. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　實(shí)際應(yīng)用問題 解　(1)當(dāng)20≤x≤180時(shí)， 由得 故q(x)＝ (2)設(shè)總利潤f(x)＝xq(x)， 由(1)得f(x)＝ 當(dāng)0＜x≤20時(shí)，f(x)＝＝126000－， 又f(x)在(0,20]上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)x＝20時(shí)，f(x)有最大值120000. 當(dāng)20＜x＜180時(shí)，f(x)＝9000x－300x， f′(x)＝9000－450， 令f′(x)＝0，得x＝80. 當(dāng)20＜x＜80時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增， 當(dāng)80＜x＜180時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減， 所以當(dāng)x＝80時(shí)，f(x)有最大值240000. 當(dāng)x≥180時(shí)，f(x)＝0. 答　當(dāng)x＝80時(shí)，總利潤取得最大值240000元. 18.(16分)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－lnx. (1)當(dāng)a＝0時(shí)，求f(x)的極值； (2)若f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　求極值及由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍 解　(1)函數(shù)的定義域?yàn)?0，＋∞). 因?yàn)閒(x)＝ax2＋2x－lnx， 當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝2x－lnx， 則f′(x)＝2－，令f′(x)＝0，得x＝. 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 所以當(dāng)x＝時(shí)，f(x)有極小值1＋ln2，無極大值. (2)由已知，得f(x)＝ax2＋2x－lnx，且x>0， 則f′(x)＝ax＋2－＝. 若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥，顯然不符合題意； 若a≠0，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)， 所以f′(x)≥0對x∈恒成立， 即不等式ax2＋2x－1≥0對x∈恒成立， 即a≥＝－＝2－1對x∈恒成立，故a≥max. 而當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)2－1有最大值3， 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3，＋∞). 19.(16分)已知函數(shù)f(x)＝lnx＋(a＞0). (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若不等式f(x)≥a對于x＞0的一切值恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 解　(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞). 當(dāng)a＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝lnx＋， 所以f′(x)＝－＝， 所以當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞增. (2)由題意知lnx＋≥a在(0，＋∞)上恒成立， 等價(jià)于xlnx＋a＋e－2－ax≥0在(0，＋∞)上恒成立. 令g(x)＝xlnx＋a＋e－2－ax，則g′(x)＝lnx＋1－a， 令g′(x)＝0，得x＝ea－1. 當(dāng)x變化時(shí)，g′(x)，g(x)的變化情況如下表： x (0，ea－1) ea－1 (ea－1，＋∞) g′(x) － 0 ＋ g(x) ↘ 極小值 ↗ 所以g(x)的最小值為g(ea－1)＝(a－1)ea－1＋a＋e－2－aea－1＝a＋e－2－ea－1， 令t(x)＝x＋e－2－ex－1(x＞0)， 則t′(x)＝′＝1－ex－1， 令t′(x)＝0，得x＝1. 當(dāng)x變化時(shí)，t′(x)，t(x)的變化情況如下表： x (0,1) 1 (1，＋∞) t′(x) ＋ 0 － t(x) ↗ 極大值 ↘ 所以當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，g(x)的最小值為t(a)＞t(0)＝e－2－＝＞0，符合題意；當(dāng)a∈[1，＋∞)時(shí)，g(x)的最小值為t(a)＝a＋e－2－ea－1≥0＝t(2)， 所以a∈[1,2]. 綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,2]. 20.(16分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c. (1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程； (2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求c的取值范圍； (3)求證：a2－3b＞0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件. 考點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用 題點(diǎn)　導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用 (1)解　由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，曲線在x＝0處的切線斜率為k＝f′(0)＝b. 又f(0)＝c，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c). 所以所求切線方程為y－c＝b(x－0)，即bx－y＋c＝0. (2)解　由a＝b＝4，得f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c， 所以f′(x)＝3x2＋8x＋4＝(3x＋2)(x＋2). 令f′(x)＝0，得(3x＋2)(x＋2)＝0， 解得x＝－2或x＝－， 當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，－2) －2 － f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ c ↘ c－ ↗ 所以，當(dāng)c＞0且c－＜0時(shí)，存在x1∈(－∞，－2)， x2∈，x3∈， 使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝0.由f(x)的單調(diào)性知，當(dāng)且僅當(dāng)c∈時(shí)，函數(shù)f(x)＝x3＋4x2＋4x＋c有三個(gè)不同零點(diǎn). (3)證明　當(dāng)Δ＝4a2－12b＜0，即a2－3b＜0時(shí)， f′(x)＝3x2＋2ax＋b＞0，x∈(－∞，＋∞)， 此時(shí)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn). 當(dāng)Δ＝4a2－12b＝0時(shí)，f′(x)＝3x2＋2ax＋b只有一個(gè)零點(diǎn)，記作x0. 當(dāng)x∈(－∞，x0)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(－∞，x0)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x∈(x0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在區(qū)間(x0，＋∞)上單調(diào)遞增. 所以f(x)不可能有三個(gè)不同零點(diǎn). 綜上所述，若函數(shù)f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)， 則必須有Δ＝4a2－12b＞0， 故a2－3b＞0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要條件. 當(dāng)a＝b＝4，c＝0時(shí)，a2－3b＞0，f(x)＝x3＋4x2＋4x＝x(x＋2)2只有兩個(gè)不同零點(diǎn)， 所以a2－3b＞0不是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的充分條件. 因此a2－3b＞0是f(x)有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要不充分條件.