2018-2019高中數學 第2章 圓錐曲線與方程 2.3.1 雙曲線的標準方程學案 蘇教版選修1 -1.docx

2.3.1　雙曲線的標準方程 學習目標　1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.2.掌握雙曲線的標準方程及其求法.3.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的問題. 知識點一　雙曲線的定義 把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2距離的差的絕對值等于常數(小于F1F2的正數)的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點F1，F(xiàn)2叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距. 知識點二　雙曲線的標準方程 思考　如圖，類比橢圓中a，b，c的意義，你能在y軸上找一點B，使OB＝b嗎？ 答案　以雙曲線與x軸的交點A為圓心，以線段OF2為半徑畫圓交y軸于點B，此時OB＝b. 梳理　 焦點在x軸上 焦點在y軸上 標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 焦點 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 焦距 F1F2＝2c，c2＝a2＋b2  1.在雙曲線標準方程中，a，b，c之間的關系同橢圓中a，b，c之間的關系相同.(　　) 2.點A(1,0)，B(－1,0)，若AC－BC＝4，則點C的軌跡是雙曲線.(　　) 3.在雙曲線標準方程－＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　) 4.雙曲線－＝1的焦距為4.(　√　) 類型一　求雙曲線的標準方程 例1　求下列雙曲線的標準方程： (1)與橢圓＋＝1有公共焦點，且過點(－2，)； (2)焦距為26，且經過點M(0,12)； (3)過點P，Q，且焦點在坐標軸上. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 解　(1)橢圓＋＝1的焦點為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3). 設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， 則有解得 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)因為雙曲線經過點M(0,12)，所以M(0,12)為雙曲線的一個頂點，故焦點在y軸上，且a＝12. 又2c＝26，所以c＝13，所以b2＝c2－a2＝25. 所以雙曲線的標準方程為－＝1. (3)設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0). 因為點P，Q在雙曲線上， 所以解得 故所求雙曲線的標準方程為－＝1. 反思與感悟　待定系數法求方程的步驟 (1)定型：即確定雙曲線的焦點所在的坐標軸是x軸還是y軸. (2)設方程：根據焦點位置設出相應的標準方程的形式， ①若不知道焦點的位置，則進行討論，或設雙曲線的方程為Ax2＋By2＝1(AB<0). ②與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)共焦點的雙曲線的標準方程可設為－＝1(－b2＜k＜a2). (3)計算：利用題中條件列出方程組，求出相關值. (4)結論：寫出雙曲線的標準方程. 跟蹤訓練1　根據條件求雙曲線的標準方程： (1)c＝，經過點A(－5,2)，焦點在x軸上； (2)經過點P(4，－2)和點Q(2，2)； (3)已知雙曲線與橢圓＋＝1有共同的焦點，且過點(，4). 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 解　(1)設雙曲線標準方程為－＝1(a>0，b>0)， ∵c＝，∴b2＝c2－a2＝6－a2. 由題意知－＝1，∴－＝1， 解得a2＝5或a2＝30(舍). ∴b2＝1，∴雙曲線的標準方程為－y2＝1. (2)設雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0). ∵點P(4，－2)和點Q(2，2)在雙曲線上， ∴解得 ∴雙曲線的標準方程為－＝1. (3)橢圓＋＝1的焦點坐標為F1(0，－3)，F(xiàn)2(0,3)， 故可設雙曲線的標準方程為－＝1. 由題意，知解得 ∴雙曲線的標準方程為－＝1. 類型二　由雙曲線方程求參數值或范圍 例2　方程＋＝1表示雙曲線，那么m的取值范圍為____________________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　{m|－3＜m＜2或m＞3} 解析　依題意有或 解得－3＜m＜2或m＞3. ∴m的取值范圍為{m|－3＜m＜2或m＞3}. 反思與感悟　方程表示雙曲線的條件及參數范圍求法 (1)對于方程＋＝1，當mn<0時，表示雙曲線.進一步，當m>0，n<0時，表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n>0時，表示焦點在y軸上的雙曲線. (2)對于方程－＝1，當mn>0時，表示雙曲線，且當m>0，n>0時，表示焦點在x軸上的雙曲線；當m<0，n<0時，表示焦點在y軸上的雙曲線. (3)已知方程所代表的曲線，求參數的取值范圍時，應先將方程轉化為所對應曲線的標準方程的形式，再根據方程中參數取值的要求，建立不等式(組)求解參數的取值范圍. 跟蹤訓練2　(1)已知方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍為________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　(－1,1) 解析　方程－＝1表示雙曲線， 則(1＋k)(1－k)＞0，∴(k＋1)(k－1)＜0，∴－1＜k＜1. (2)雙曲線2x2－y2＝k的焦距為6，則k的值為________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　6 解析　當k>0時，方程可化為－＝1， 則c2＝＋k＝k，即2＝6，故k＝6. 當k<0時，方程可化為－＝1， 則c2＝－k，故2＝6，解得k＝－6. 綜上所述，k＝－6或6. 類型三　雙曲線的定義及應用 例3　(1)如圖，已知雙曲線的方程為－＝1(a>0，b>0)，點A，B均在雙曲線的右支上，線段AB經過雙曲線的右焦點F2，AB＝m，F(xiàn)1為雙曲線的左焦點，則△ABF1的周長為________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 答案　4a＋2m 解析　由雙曲線的定義，知AF1－AF2＝2a， BF1－BF2＝2a. 又AF2＋BF2＝AB， 所以△ABF1的周長為AF1＋BF1＋AB ＝4a＋2AB＝4a＋2m. (2)已知雙曲線－＝1的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，若雙曲線上一點P使得∠F1PF2＝60，則△F1PF2的面積為________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 答案　16 解析　由－＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 由定義和余弦定理，得PF1－PF2＝6， F1F＝PF＋PF－2PF1PF2cos60， 所以102＝(PF1－PF2)2＋PF1PF2， 所以PF1PF2＝64. ∴＝PF1PF2sin60 ＝64＝16. 引申探究 在本例(2)中，若∠F1PF2＝90，其他條件不變，求△F1PF2的面積. 解　由雙曲線方程知a＝3，b＝4，c＝5. 由雙曲線的定義得|PF1－PF2|＝2a＝6， 所以PF＋PF－2PF1PF2＝36.① 在Rt△F1PF2中，由勾股定理，得PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝100.② 將②代入①，得PF1PF2＝32， 所以＝PF1PF2＝16. 反思與感悟　求雙曲線中焦點三角形面積的方法 (1)方法一：①根據雙曲線的定義求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F(xiàn)1F2之間滿足的關系式； ③通過配方，利用整體的思想求出PF1PF2的值； ④利用公式＝PF1PF2sin∠F1PF2，求得面積. (2)方法二：利用公式＝F1F2|yP|(yP為P點的縱坐標)，求得面積. 特別提醒：利用雙曲線的定義解決與焦點有關的問題，一是要注意定義條件|PF1－PF2|＝2a的變形使用，特別是與PF＋PF，PF1PF2間的關系. 跟蹤訓練3　已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：x2－y2＝1的左、右焦點，點P在C上，∠F1PF2＝60，則PF1PF2＝________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 答案　4 解析　設PF1＝m，PF2＝n， 由余弦定理，得F1F＝m2＋n2－2mncos∠F1PF2， 即m2＋n2－mn＝8， ∴(m－n)2＋mn＝8，∴mn＝4， 即PF1PF2＝4. 1.已知雙曲線中的a＝5，c＝7，則該雙曲線的標準方程為________________________. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 答案?。?或－＝1 2.橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，則a＝________. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 答案　1 解析　由a＞0,0＜a2＜4，且4－a2＝a＋2，可得a＝1. 3.若方程＋＝1表示雙曲線，則k的取值范圍為________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　(5,10) 解析　由題意得(10－k)(5－k)<0，解得5<k<10. 4.設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－＝1的左、右焦點，P是雙曲線上的一點，且3PF1＝4PF2，則△PF1F2的面積為________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 答案　24 解析　由題意得解得 又由F1F2＝10，可得△PF1F2是直角三角形， 則＝PF1PF2＝24. 5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程： (1)a＝3，c＝4，焦點在x軸上； (2)焦點為(0，－6)，(0,6)，經過點A(－5,6)； (3)以橢圓＋＝1長軸的頂點為焦點，且過(3，). 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 解　(1)由題意知，a＝3，c＝4. 由c2＝a2＋b2，得b2＝c2－a2＝42－32＝7. 因為雙曲線的焦點在x軸上， 所以所求雙曲線的標準方程為－＝1. (2)由已知得c＝6，且焦點在y軸上. 因為點A(－5,6)在雙曲線上， 所以2a＝|－| ＝|13－5|＝8， 則a＝4，b2＝c2－a2＝62－42＝20. 所以所求雙曲線的標準方程為－＝1. (3)由題意知，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝2. 設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， 則有a2＋b2＝c2＝8. 因為過點(3，)，所以－＝1， 解得a2＝3，b2＝5， 所以所求雙曲線的標準方程為－＝1. 1.在雙曲線定義中|PF1－PF2|＝2a(2a<F1F2)，不要漏了絕對值符號，當2a＝F1F2時表示兩條射線. 2.在雙曲線的標準方程中，a>b不一定成立，要注意與橢圓中a，b，c的區(qū)別.在橢圓中a2＝b2＋c2，在雙曲線中c2＝a2＋b2. 3.用待定系數法求雙曲線的標準方程時，要先判斷焦點所在的位置，設出標準方程后，由條件列出a，b，c的方程組. 如果焦點不確定要分類討論，采用待定系數法求方程或用形如mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式求解. 一、填空題 1.過點(1,1)，且＝的雙曲線的標準方程是______________________. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 答案　－y2＝1或－x2＝1 解析　由于＝，∴b2＝2a2.當焦點在x軸上時，設雙曲線方程為－＝1，代入(1,1)點，得a2＝.此時雙曲線的標準方程為－y2＝1；同理求得當焦點在y軸上時，雙曲線的標準方程為－x2＝1. 2.“k<2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　充分不必要 解析　k<2?方程＋＝1表示雙曲線，而方程＋＝1表示雙曲線?(4－k)(k－2)<0?k<2或k>4.所以“k<2”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件. 3.已知雙曲線－＝1的一個焦點坐標為(3,0)，則m＝________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　5 解析　因為c＝＝3，故m＝5. 4.已知雙曲線－＝1的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若雙曲線上的點P到點F1的距離為12，則點P到點F2的距離為________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　22或2 解析　設F1為左焦點，F(xiàn)2為右焦點. 當點P在雙曲線左支上時， PF2－PF1＝10，此時PF2＝22； 當點P在雙曲線右支上時， PF1－PF2＝10，此時PF2＝2. 5.若雙曲線－＝1的一個焦點到中心的距離為3，則m＝________. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　7或－2 解析?、佼斀裹c在x軸上時，有m>5， 則c2＝m＋m－5＝9，∴m＝7； ②當焦點在y軸上時，有m<0， 則c2＝－m＋5－m＝9，∴m＝－2. 綜上所述，m＝7或m＝－2. 6.設橢圓＋＝1和雙曲線－y2＝1的公共焦點為F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個公共點，則cos∠F1PF2＝________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應用 答案　 解析　設PF1＝d1，PF2＝d2，則d1＋d2＝2，① |d1－d2|＝2.② ①2＋②2，得d＋d＝18. ①2－②2，得2d1d2＝6. 又c＝2，∴cos∠F1PF2＝＝＝. 7.與橢圓＋y2＝1共焦點且過點Q(2,1)的雙曲線的標準方程是____________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應用 答案?。瓂2＝1 解析　由橢圓的方程，得共同的焦點坐標為(，0). 設雙曲線的標準方程為－＝1(a>0，b>0)， 則由解得 所以所求雙曲線的標準方程為－y2＝1. 8.已知雙曲線－＝1，直線l過其左焦點F1，交雙曲線左支于A，B兩點，且AB＝4，F(xiàn)2為雙曲線的右焦點，△ABF2的周長為20，則m的值為________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線定義的應用 答案　9 解析　由已知，AB＋AF2＋BF2＝20. 又AB＝4，則AF2＋BF2＝16. 根據雙曲線的定義，2a＝AF2－AF1＝BF2－BF1， 所以4a＝AF2＋BF2－(AF1＋BF1)＝16－4＝12， 即a＝3，所以m＝a2＝9. 9.設F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1的左、右焦點，P是雙曲線左支上一點.若PF1，PF2，F(xiàn)1F2成等差數列，且公差大于0，則∠F1PF2＝________. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 答案　120 解析　由PF1＋F1F2＝2PF2，PF2－PF1＝4， 得PF1＝6，PF2＝10. 又F1F2＝14， 由余弦定理，可得cos∠F1PF2＝－， ∴∠F1PF2＝120. 10.設F1，F(xiàn)2分別是雙曲線－y2＝1的左、右焦點，點P在雙曲線上，當△F1PF2的面積為1時，的值為________. 答案　0 解析　不妨設P(xP，yP)(xP>0，yP>0). 由2cyP＝1，得yP＝， ∴P， ∴＝， ＝， ∴＝0. 二、解答題 11.已知在周長為48的Rt△MPN中，∠MPN＝90，tan∠PMN＝，求以M，N為焦點，且過點P的雙曲線的標準方程. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　待定系數法求雙曲線的標準方程 解　由Rt△MPN的周長為48，且tan∠PMN＝，設PN＝3k，PM＝4k，則MN＝5k,3k＋4k＋5k＝48，得k＝4，則PN＝12，PM＝16，MN＝20.以MN中點為坐標原點，以MN所在直線為x軸，以線段MN的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系， 由PM－PN＝4＝2a，得a＝2，a2＝4， 由MN＝20，得2c＝20，c＝10，則b2＝c2－a2＝96， 所以雙曲線的標準方程為－＝1. 12.已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，試就k的不同取值討論方程所表示的曲線類型. 考點　雙曲線的標準方程的求法 題點　定義法、待定系數法求雙曲線的標準方程 解　(1)當k＝0時，方程變?yōu)閥＝2，表示兩條與x軸平行的直線； (2)當k＝1時，方程變?yōu)閤2＋y2＝4，表示圓心為原點，以2為半徑的圓； (3)當k<0時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的雙曲線； (4)當0<k<1時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在x軸上的橢圓； (5)當k>1時，方程變?yōu)椋?，表示焦點在y軸上的橢圓. 13.已知雙曲線過點(3，－2)且與橢圓4x2＋9y2＝36有相同的焦點. (1)求雙曲線的標準方程； (2)若點M在雙曲線上，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，且MF1＋MF2＝6，試判斷△MF1F2的形狀. 考點　雙曲線的定義 題點　雙曲線的焦點三角形 解　(1)橢圓方程可化為＋＝1，焦點在x軸上，且c＝＝，故設雙曲線方程為－＝1. 則有解得a2＝3，b2＝2， 所以雙曲線的標準方程為－＝1. (2)不妨設點M在雙曲線的右支上， 則有MF1－MF2＝2， 又MF1＋MF2＝6， 解得MF1＝4，MF2＝2. 又F1F2＝2， 因此在△MF1F2中，MF1邊最長， 而cos∠MF2F1＝<0， 所以∠MF2F1為鈍角， 故△MF1F2為鈍角三角形. 三、探究與拓展 14.曲線mx2－y2＝1(m>0)的右頂點為A，若該雙曲線右支上存在兩點B，C使得△ABC為等腰直角三角形，則實數m的取值范圍為______. 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 答案　(0,1) 解析　由題意可知，點A的坐標為， 設直線AB的方程為y＝tan45， 即x＝y(tǒng)＋，與雙曲線方程聯(lián)立，可得 則(m－1)y2＋2y＝0， 解得y＝0或y＝. 由題意知y＝為B點的縱坐標，且滿足>0， 即0<m<1. 15.已知0<α<180，當α變化時，方程x2cosα＋y2sinα＝1表示的曲線怎樣變化？ 考點　雙曲線的標準方程 題點　由雙曲線方程求參數 解　(1)當0<α<90時，方程為＋＝1. ①當0<α<45時，0<<，方程表示焦點在y軸上的橢圓； ②當α＝45時，方程表示圓x2＋y2＝； ③當45<α<90時，>>0，方程表示焦點在x軸上的橢圓； (2)當α＝90時，方程為y2＝1，方程表示兩條平行直線y＝1. (3)當90<α<180時，方程為－＝1，方程表示焦點在y軸上的雙曲線.