(浙江專用)2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第六章 平面向量、復數(shù) 6.4 平面向量的應用(第1課時)講義(含解析).docx
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6.4 平面向量的應用 最新考綱 考情考向分析 會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題. 主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題,求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),偶爾會出現(xiàn)在解答題中,屬于中檔題. 1.向量在平面幾何中的應用 (1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧: 問題類型 所用知識 公式表示 線平行、點共線等問題 共線向量定理 a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0 垂直問題 數(shù)量積的運算性質(zhì) a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0, 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b為非零向量 夾角問題 數(shù)量積的定義 cosθ=(θ為向量a,b的夾角),其中a,b為非零向量 長度問題 數(shù)量積的定義 |a|==, 其中a=(x,y),a為非零向量 (2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟 平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題. 2.向量在解析幾何中的應用 向量在解析幾何中的應用,是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主要強調(diào)向量的坐標問題,進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答,坐標的運算是考查的主體. 3.向量與相關知識的交匯 平面向量作為一種工具,常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結合,常通過向量的線性運算與數(shù)量積,向量的共線與垂直求解相關問題. 概念方法微思考 1.根據(jù)你對向量知識的理解,你認為可以利用向量方法解決哪些幾何問題? 提示 (1)線段的長度問題.(2)直線或線段平行問題.(3)直線或線段垂直問題.(4)角的問題等. 2.如何用向量解決平面幾何問題? 提示 用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題然后通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題,最后把運算結果“翻譯”成幾何關系. 題組一 思考辨析 1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“”) (1)若∥,則A,B,C三點共線.( √ ) (2)在△ABC中,若<0,則△ABC為鈍角三角形.( ) (3)若平面四邊形ABCD滿足+=0,(-)=0,則該四邊形一定是菱形.( √ ) (4)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若動點P滿足:=+t(+),t∈R,則點P的軌跡方程是x-y+1=0.( √ ) 題組二 教材改編 2.[P108A組T5]已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),則該三角形為( ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析?。?2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6), ∴||==2,||==4, ||==6, ∴||2+||2=||2, ∴△ABC為直角三角形. 3.[P113A組T1]在平面直角坐標系xOy中,若定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足=4,則點P的軌跡方程是____________. 答案 x+2y-4=0 解析 由=4,得(x,y)(1,2)=4,即x+2y=4. 題組三 易錯自糾 4.在△ABC中,已知=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,則實數(shù)k的值為________________. 答案 -或或 解析?、偃鬉=90,則有=0, 即2+3k=0, 解得k=-; ②若B=90,則有=0, 因為=-=(-1,k-3), 所以-2+3(k-3)=0,解得k=; ③若C=90,則有=0, 即-1+k(k-3)=0, 解得k=. 綜上所述,k=-或或. 5.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為________. 答案 5 解析 依題意得=1(-4)+22=0, 所以⊥,所以四邊形ABCD的面積為 ||||==5. 6.已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為坐標原點,則的最大值為________. 答案 6 解析 方法一 由題意知,=(2,0), 令P(cosα,sinα),則=(cosα+2,sinα). =(2,0)(cosα+2,sinα)=2cosα+4≤6, 故的最大值為6. 方法二 由題意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1, 則=(2,0)(x+2,y)=2x+4≤6, 故的最大值為6. 第1課時 平面向量在幾何中的作用 題型一 向量在平面幾何中的應用 命題點1 向量和平面幾何知識的綜合 例1(1)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若=2,則=________. 答案 12 解析 (1)方法一 因為=2, 所以-=, 所以=. 因為AB∥CD,CD=2,∠BAD=, 所以2||=||||cos,化簡得||=2. 故=(+)=||2+ =(2)2+22cos=12. 方法二 如圖,建立平面直角坐標系xAy. 依題意,可設點D(m,m), C(m+2,m),B(n,0), 其中m>0,n>0, 則由=2, 得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m), 所以n(m+2)=2nm,化簡得m=2. 故=(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12. (2)(2018浙江聯(lián)盟校聯(lián)考)已知動點P是邊長為的正方形ABCD的邊上任意一點,MN是正方形ABCD的外接圓O的一條動弦,且MN=,則的取值范圍是________. 答案 解析 如圖,取MN的中點H,連接PH,則=+=-,=+,因為MN=,所以=2-2=2-≥-,當且僅當點P,H重合時取到最小值.當P,H不重合時,連接PO,OH,易得OH=,則2=(+)2=2+2+2=2+-2||||cos∠POH=2+-||cos∠POH≤2++||≤+,當且僅當P,O,H三點共線,且P在A,B,C,D其中某一點處時取到等號,所以=2-≤+1,故的取值范圍為. 命題點2 三角形的“四心” 例2已知O是平面上的一定點,A,B,C是平面上不共線的三個動點,若動點P滿足=+λ(+),λ∈(0,+∞),則點P的軌跡一定通過△ABC的( ) A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心 答案 C 解析 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根據(jù)平行四邊形法則,知+是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍,所以點P的軌跡必過△ABC的重心. 引申探究 1.在本例中,若動點P滿足=+λ,λ∈(0,+∞),則如何選擇? 答案 A 解析 由條件,得-=λ, 即=λ,而和分別表示平行于,的單位向量,故+平分∠BAC, 即平分∠BAC,所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心. 2.在本例中,若動點P滿足=+λ,λ∈(0,+∞),則如何選擇? 答案 D 解析 由條件,得=λ, 從而=λ =λ+λ =0, 所以⊥, 則動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心. 命題點3 平面向量與解三角形 例3(1)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心).若=+,則∠BAC等于( ) A.30B.45C.60D.90 答案 C 解析 取BC的中點D,連接AD,則+=2. 由題意得3=2, ∴AD為BC的中線且O為重心.又O為外心, ∴△ABC為正三角形, ∴∠BAC=60,故選C. (2)在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于點D,E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,若=6,則BC等于( ) A.2 B.10 C.2 D.14 答案 A 解析 由題意,知DE=AE=4,DF=AF=3, ∵=||||cos∠EDF =|||| ===6, ∴||=,∴BC=2. 思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法 (1)坐標法 把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵校瑒t有關點與向量就可以用坐標表示,這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決. (2)基向量法 適當選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關系構造關于未知量的方程進行求解. 跟蹤訓練1 (1)(2018杭州二模)設P為△ABC所在平面上一點,且滿足3+4=m(m>0).若△ABP的面積為8,則△ABC的面積為________. 答案 14 解析 由3+4=m, 可得+=, 可設=+, 則D,A,C共線,且D在線段AC上, 可得=, ∴D分AC的比為4∶3, ∴C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍, 故S△ABC=S△ABP=8=14. (2)(2018浙江十校聯(lián)盟適應性考試)已知正方形ABCD的邊長為6,點E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且DE=EA,CF=2FB,如果對于常數(shù)λ,在正方形ABCD的四條邊上(不含頂點)有且僅有2個不同的點P,使得=λ,則λ的取值范圍為________. 答案 解析 由題意作出圖形如圖所示,連接EF,取EF的中點G,連接PG,則=(+)(+)=(+)(-)=2-2=2-2=2-.由已知和圖形可得以點G為圓心,PG為半徑的圓只能與AB相交,與BC,AD,CD相離,得PG∈,易得λ∈. 題型二 向量在解析幾何中的應用 命題點1 向量共線的應用 例4 (1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點共線,當k<0時,若k為直線的斜率,則過點(2,-1)的直線方程為________________. (2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個頂點A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點D的坐標為________. 答案 (1)2x+y-3=0 (2)(2,4) 解析 (1)∵=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5),且∥, ∴(4-k)(k-5)+67=0, 解得k=-2或k=11. 由k<0可知k=-2,則過點(2,-1)且斜率為-2的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0. (2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,∴=2. 設點D的坐標為(x,y), 則=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), =(2,1)-(1,2)=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), ∴解得 故點D的坐標為(2,4). 命題點2 解析幾何中的最值問題 例5 (1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)已知點P在雙曲線-=1上,點A滿足=(t-1)(t∈R),且=64,=(0,1),則||的最大值為( ) A.B.C.D. 答案 B 解析 ∵=(t-1),∴=t, ∴(xA,yA)=t(xP,yP).又點(xP,yP)在雙曲線上, ∴-=1,∴x=+16t2,① ∵=64,∴||||=|t|||2=64, ∴|t|=64,將①代入上式整理得 +16|t|=64, 即64=+16|t|≥2=|yA|, 當且僅當|t|=時取等號,∴|yA|≤, ||=|(0,1)(xA,yA)|=≤. ∴||的最大值為. (2)(2018紹興市適應性考試)已知正三角形ABC的邊長為4,O是平面ABC內(nèi)的動點,且∠AOB=,則的最大值為________. 答案 解析 設△ABC的外接圓為⊙O′,則⊙O′的直徑,2R==,∴R=, 以O′為原點,以O′C為y軸建立平面坐標系如圖所示, 則=(4,0),∵∠AOB=∠ACB=,∴O的軌跡為優(yōu)弧,設=(a,b),顯然當O為圓O′與x軸負半軸的交點時,a取得最大值.∴=4a≤,即的最大值為. 命題點3 平面向量與幾何動點問題 例6 (1)(2018杭州二中交流卷)已知矩形ABCD的面積為2,M,N分別是AD,BC的中點,點P為線段MN上的動點,則P+2的最小值是________. 答案 解析 分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系,A為坐標原點,設B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m>0,n>0), 則mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n). +2=x2-mx+n2+m2 =2+n2+m2≥n2+m2, 而n2+m2≥mn=, 故當x=且n=m,即當m=,n=, x=時,+2取最小值. (2)(2018紹興、諸暨期末)已知△ABC,滿足+=,點D為線段AB上一動點,若的最小值為-3,則△ABC的面積S等于( ) A.9B.9C.18D.18 答案 D 解析 因為+=+, 所以由平面向量的基本定理得==,記||=3m,||=2m(其中m>0),則由|+|=m,得cosA=,設=t(-1≤t≤0),故=t(t+)=3m2(3t2+t)≥-m2=-3,即m2=12, 因此S△ABC=||||sinA=18,故選D. 思維升華向量在解析幾何中的“兩個”作用 (1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用a⊥b?ab=0(a,b為非零向量),a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法. 跟蹤訓練2 (1)已知點A在橢圓+=1上,點P滿足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐標原點),且=72,則線段OP在x軸上投影的最大值為________. 答案 15 解析 因為=(λ-1),所以=λ, 即O,A,P三點共線,因為=72, 所以=λ||2=72, 設A(x,y),OA與x軸正方向的夾角為θ,線段OP在x軸上的投影為|||cosθ|=|λ||x|===≤=15, 當且僅當|x|=時取等號. (2)(2018浙江寧波高三適應性考試)已知點M為單位圓x2+y2=1上的動點,點O為坐標原點,點A在直線x=2上,則的最小值為________. 答案 2 解析 由題意得=(+)=||2+=||2+||cosθ,其中θ為向量和的夾角,因為點A在直線x=2上,所以||≥2,則由二次函數(shù)的性質(zhì)易得當||=2時,=||2+||cosθ取得最小值4+2cosθ,則當cosθ=-1,即向量和方向相反時,取得最小值2. 1.在△ABC中,(+)=||2,則△ABC的形狀一定是( ) A.等邊三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案 C 解析 由(+)=||2, 得(+-)=0, 即(++)=0,2=0,∴⊥, ∴A=90.又根據(jù)已知條件不能得到||=||, 故△ABC一定是直角三角形. 2.已知點A(-2,0),B(3,0),動點P(x,y)滿足=x2,則點P的軌跡是( ) A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 答案 D 解析 ∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y), ∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2, ∴y2=x+6,即點P的軌跡是拋物線. 3.(2018湖州質(zhì)檢)已知O是△ABC的外心,∠C=45,若=m+n(m,n∈R),則m+n的取值范圍是( ) A.[-,] B.[-,1) C.[-,-1) D.(1,] 答案 B 解析 ∵O是△ABC的外心,∠C=45, ∴∠AOB=90,又=m+n, 兩邊平方可得m2+n2=1,∴(m+n)2≤2(m2+n2)=2, 當且僅當m=n時,等號成立,∴-≤m+n≤. 又由題意可知,m,n不能同時為正,∴m+n<1, 故m+n的取值范圍是[-,1). 4.(2018溫州高考適應性測試)如圖,已知△ABC的邊BC的垂直平分線交BC于點Q,交AC于點P,若||=1,||=2,則的值為( ) A.3 B. C. D. 答案 B 解析 連接AQ,因為PQ垂直平分BC,所以⊥,=(+),所以=(+)==(+)(-)=(2-2)=(22-12)=.故選B. 5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A,與拋物線的準線的交點為B,點A在拋物線的準線上的射影為C,若=,=48,則拋物線的方程為( ) A.y2=8x B.y2=4x C.y2=16x D.y2=4x 答案 B 解析 如圖所示,由=,得F為線段AB的中點, ∵|AF|=|AC|,∴∠ABC=30, 由=48,得|BC|=4. 則|AC|=4,∴由中位線的性質(zhì), 有p=|AC|=2, 故拋物線的方程為y2=4x.故選B. 6.(2018浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知O為坐標原點,=(3,1),||=,當△AOB的面積取得最大值時,等于( ) A.(-2,-4) B.(-4,2) C.(-2,-4)或(-4,2) D.(-2,-4)或(4,2) 答案 C 解析 方法一 由于||=,則點B在以點O(0,0)為圓心,為半徑的圓上,由數(shù)形結合易知,要使△AOB的面積取得最大值,則需滿足⊥.設=(a,b),則解得或 當時,=(1,-3), 則=-=(1,-3)-(3,1)=(-2,-4); 當時,=(-1,3), 則=-=(-1,3)-(3,1)=(-4,2). 綜上,=(-2,-4)或(-4,2).故選C. 方法二 由于||=,則點B在以點O(0,0)為圓心,為半徑的圓上,由數(shù)形結合易知,要使△AOB的面積取得最大值,則需滿足⊥.在平面直角坐標系中,畫出向量,, 當如圖1所示時,過點A作AA′⊥x軸于點A′,過點B作BB′⊥x軸于點B′,則∠OBB′=∠AOA′,又||=||,所以Rt△AOA′≌Rt△OBB′,則|OB′|=|AA′|=1,|BB′|=|OA′|=3,所以B(1,-3),=(1,-3),=(1,-3)-(3,1)=(-2,-4), 當如圖2所示時,同理可得B(-1,3),=(-1,3),=(-1,3)-(3,1)=(-4,2), 綜上,=(-2,-4)或(-4,2).故選C. 7.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若點A,B,C能構成三角形,則實數(shù)m滿足的條件是________. 答案 m≠ 解析 由題意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能構成三角形,則,不共線,則-3(1-m)≠1(2-m),解得m≠. 8.(2009浙江改編)設向量a,b滿足:|a|=3,|b|=4,ab=0,以a,b,a-b的模為邊長構成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為________. 答案 4 解析 由|a|=3,|b|=4及ab=0知a⊥b,故a,b,a-b構成直角三角形,且|a-b|=5.又其內(nèi)切圓半徑為=1.如圖所示.將內(nèi)切圓向上或向下平移可知該圓與該直角三角形最多有4個交點. 9.已知圓C:(x-2)2+y2=4,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE,PF,切點分別為E,F(xiàn),則的最小值是________. 答案 6 解析 圓C:(x-2)2+y2=4的圓心為C(2,0),半徑等于2,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1, 圓心M(2+5cosθ,5sinθ),半徑等于1. ∵|CM|=5>2+1,∴兩圓相離. 如圖所示,設直線CM和圓M交于H,G兩點, 則的最小值是. |HC|=|CM|-1=5-1=4, |HE|=|HF|===2, sin∠CHE==, ∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=, ∴=||||cos∠EHF =22=6. 10.已知點D為△ABC所在平面上一點,且滿足=-,若△ACD的面積為1,則△ABD的面積為________. 答案 4 解析 由=-,得5=+4, 所以-=4(-),即=4. 所以點D在邊BC上,且||=4||, 所以S△ABD=4S△ACD=4. 11.已知直線2x+y+2=0與x軸、y軸的交點分別為A,B,橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1和上頂點D,若=0,則該橢圓的離心率e=________. 答案 解析 因為直線2x+y+2=0與x軸、y軸的交點分別為A,B,所以A(-1,0),B(0,-2),又F1(-c,0),D(0,b), 所以=(-c,2),=(1,b).因為=0, 所以-c+2b=0,所以=,即=,所以=, 所以該橢圓的離心率e==. 12.如圖,設正△BCD的外接圓O的半徑為R,點A在BD下方的圓弧上,則的最小值為________. 答案?。? 解析 因為 ==||2-|| =(||-1)2-, 因為R≤||≤2R,而- 配套講稿:
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