(浙江專用)2020版高考數(shù)學新增分大一輪復習 第六章 平面向量、復數(shù) 6.4 平面向量的應用(第1課時)講義(含解析).docx
6.4 平面向量的應用
最新考綱
考情考向分析
會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.
主要考查平面向量與函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等綜合性問題,求參數(shù)范圍、最值等問題是考查的熱點,一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),偶爾會出現(xiàn)在解答題中,屬于中檔題.
1.向量在平面幾何中的應用
(1)用向量解決常見平面幾何問題的技巧:
問題類型
所用知識
公式表示
線平行、點共線等問題
共線向量定理
a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),b≠0
垂直問題
數(shù)量積的運算性質(zhì)
a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0,
其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a,b為非零向量
夾角問題
數(shù)量積的定義
cosθ=(θ為向量a,b的夾角),其中a,b為非零向量
長度問題
數(shù)量積的定義
|a|==,
其中a=(x,y),a為非零向量
(2)用向量方法解決平面幾何問題的步驟
平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.
2.向量在解析幾何中的應用
向量在解析幾何中的應用,是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.它主要強調(diào)向量的坐標問題,進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關知識來解答,坐標的運算是考查的主體.
3.向量與相關知識的交匯
平面向量作為一種工具,常與函數(shù)(三角函數(shù))、解析幾何結(jié)合,常通過向量的線性運算與數(shù)量積,向量的共線與垂直求解相關問題.
概念方法微思考
1.根據(jù)你對向量知識的理解,你認為可以利用向量方法解決哪些幾何問題?
提示 (1)線段的長度問題.(2)直線或線段平行問題.(3)直線或線段垂直問題.(4)角的問題等.
2.如何用向量解決平面幾何問題?
提示 用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題然后通過向量運算,研究幾何元素之間的關系,如距離、夾角等問題,最后把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關系.
題組一 思考辨析
1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“”)
(1)若∥,則A,B,C三點共線.( √ )
(2)在△ABC中,若<0,則△ABC為鈍角三角形.( )
(3)若平面四邊形ABCD滿足+=0,(-)=0,則該四邊形一定是菱形.( √ )
(4)已知平面直角坐標系內(nèi)有三個定點A(-2,-1),B(0,10),C(8,0),若動點P滿足:=+t(+),t∈R,則點P的軌跡方程是x-y+1=0.( √ )
題組二 教材改編
2.[P108A組T5]已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A(3,4),B(5,2),C(-1,-4),則該三角形為( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形
答案 B
解析?。?2,-2),=(-4,-8),=(-6,-6),
∴||==2,||==4,
||==6,
∴||2+||2=||2,
∴△ABC為直角三角形.
3.[P113A組T1]在平面直角坐標系xOy中,若定點A(1,2)與動點P(x,y)滿足=4,則點P的軌跡方程是____________.
答案 x+2y-4=0
解析 由=4,得(x,y)(1,2)=4,即x+2y=4.
題組三 易錯自糾
4.在△ABC中,已知=(2,3),=(1,k),且△ABC的一個內(nèi)角為直角,則實數(shù)k的值為________________.
答案?。蚧?
解析?、偃鬉=90,則有=0,
即2+3k=0,
解得k=-;
②若B=90,則有=0,
因為=-=(-1,k-3),
所以-2+3(k-3)=0,解得k=;
③若C=90,則有=0,
即-1+k(k-3)=0,
解得k=.
綜上所述,k=-或或.
5.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),則該四邊形的面積為________.
答案 5
解析 依題意得=1(-4)+22=0,
所以⊥,所以四邊形ABCD的面積為
||||==5.
6.已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(-2,0),O為坐標原點,則的最大值為________.
答案 6
解析 方法一 由題意知,=(2,0),
令P(cosα,sinα),則=(cosα+2,sinα).
=(2,0)(cosα+2,sinα)=2cosα+4≤6,
故的最大值為6.
方法二 由題意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,
則=(2,0)(x+2,y)=2x+4≤6,
故的最大值為6.
第1課時 平面向量在幾何中的作用
題型一 向量在平面幾何中的應用
命題點1 向量和平面幾何知識的綜合
例1(1)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2,∠BAD=,若=2,則=________.
答案 12
解析 (1)方法一 因為=2,
所以-=,
所以=.
因為AB∥CD,CD=2,∠BAD=,
所以2||=||||cos,化簡得||=2.
故=(+)=||2+
=(2)2+22cos=12.
方法二 如圖,建立平面直角坐標系xAy.
依題意,可設點D(m,m),
C(m+2,m),B(n,0),
其中m>0,n>0,
則由=2,
得(n,0)(m+2,m)=2(n,0)(m,m),
所以n(m+2)=2nm,化簡得m=2.
故=(m,m)(m+2,m)=2m2+2m=12.
(2)(2018浙江聯(lián)盟校聯(lián)考)已知動點P是邊長為的正方形ABCD的邊上任意一點,MN是正方形ABCD的外接圓O的一條動弦,且MN=,則的取值范圍是________.
答案
解析 如圖,取MN的中點H,連接PH,則=+=-,=+,因為MN=,所以=2-2=2-≥-,當且僅當點P,H重合時取到最小值.當P,H不重合時,連接PO,OH,易得OH=,則2=(+)2=2+2+2=2+-2||||cos∠POH=2+-||cos∠POH≤2++||≤+,當且僅當P,O,H三點共線,且P在A,B,C,D其中某一點處時取到等號,所以=2-≤+1,故的取值范圍為.
命題點2 三角形的“四心”
例2已知O是平面上的一定點,A,B,C是平面上不共線的三個動點,若動點P滿足=+λ(+),λ∈(0,+∞),則點P的軌跡一定通過△ABC的( )
A.內(nèi)心 B.外心
C.重心 D.垂心
答案 C
解析 由原等式,得-=λ(+),即=λ(+),根據(jù)平行四邊形法則,知+是△ABC的中線AD(D為BC的中點)所對應向量的2倍,所以點P的軌跡必過△ABC的重心.
引申探究
1.在本例中,若動點P滿足=+λ,λ∈(0,+∞),則如何選擇?
答案 A
解析 由條件,得-=λ,
即=λ,而和分別表示平行于,的單位向量,故+平分∠BAC,
即平分∠BAC,所以點P的軌跡必過△ABC的內(nèi)心.
2.在本例中,若動點P滿足=+λ,λ∈(0,+∞),則如何選擇?
答案 D
解析 由條件,得=λ,
從而=λ
=λ+λ
=0,
所以⊥,
則動點P的軌跡一定通過△ABC的垂心.
命題點3 平面向量與解三角形
例3(1)O是△ABC的外心(三角形外接圓的圓心).若=+,則∠BAC等于( )
A.30B.45C.60D.90
答案 C
解析 取BC的中點D,連接AD,則+=2.
由題意得3=2,
∴AD為BC的中線且O為重心.又O為外心,
∴△ABC為正三角形,
∴∠BAC=60,故選C.
(2)在△ABC中,AB=8,AC=6,AD垂直BC于點D,E,F(xiàn)分別為AB,AC的中點,若=6,則BC等于( )
A.2 B.10
C.2 D.14
答案 A
解析 由題意,知DE=AE=4,DF=AF=3,
∵=||||cos∠EDF
=||||
===6,
∴||=,∴BC=2.
思維升華向量與平面幾何綜合問題的解法
(1)坐標法
把幾何圖形放在適當?shù)淖鴺讼抵?,則有關點與向量就可以用坐標表示,這樣就能進行相應的代數(shù)運算和向量運算,從而使問題得到解決.
(2)基向量法
適當選取一組基底,溝通向量之間的聯(lián)系,利用向量間的關系構(gòu)造關于未知量的方程進行求解.
跟蹤訓練1 (1)(2018杭州二模)設P為△ABC所在平面上一點,且滿足3+4=m(m>0).若△ABP的面積為8,則△ABC的面積為________.
答案 14
解析 由3+4=m,
可得+=,
可設=+,
則D,A,C共線,且D在線段AC上,
可得=,
∴D分AC的比為4∶3,
∴C到直線AB的距離等于P到直線AB的距離的倍,
故S△ABC=S△ABP=8=14.
(2)(2018浙江十校聯(lián)盟適應性考試)已知正方形ABCD的邊長為6,點E,F(xiàn)分別在邊AD,BC上,且DE=EA,CF=2FB,如果對于常數(shù)λ,在正方形ABCD的四條邊上(不含頂點)有且僅有2個不同的點P,使得=λ,則λ的取值范圍為________.
答案
解析 由題意作出圖形如圖所示,連接EF,取EF的中點G,連接PG,則=(+)(+)=(+)(-)=2-2=2-2=2-.由已知和圖形可得以點G為圓心,PG為半徑的圓只能與AB相交,與BC,AD,CD相離,得PG∈,易得λ∈.
題型二 向量在解析幾何中的應用
命題點1 向量共線的應用
例4 (1)已知向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),且A,B,C三點共線,當k<0時,若k為直線的斜率,則過點(2,-1)的直線方程為________________.
(2)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三個頂點A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點D的坐標為________.
答案 (1)2x+y-3=0 (2)(2,4)
解析 (1)∵=-=(4-k,-7),
=-=(6,k-5),且∥,
∴(4-k)(k-5)+67=0,
解得k=-2或k=11.
由k<0可知k=-2,則過點(2,-1)且斜率為-2的直線方程為y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0.
(2)∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,∴=2.
設點D的坐標為(x,y),
則=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y),
=(2,1)-(1,2)=(1,-1),
∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2),
∴解得
故點D的坐標為(2,4).
命題點2 解析幾何中的最值問題
例5 (1)(2018浙江鎮(zhèn)海中學模擬)已知點P在雙曲線-=1上,點A滿足=(t-1)(t∈R),且=64,=(0,1),則||的最大值為( )
A.B.C.D.
答案 B
解析 ∵=(t-1),∴=t,
∴(xA,yA)=t(xP,yP).又點(xP,yP)在雙曲線上,
∴-=1,∴x=+16t2,①
∵=64,∴||||=|t|||2=64,
∴|t|=64,將①代入上式整理得
+16|t|=64,
即64=+16|t|≥2=|yA|,
當且僅當|t|=時取等號,∴|yA|≤,
||=|(0,1)(xA,yA)|=≤.
∴||的最大值為.
(2)(2018紹興市適應性考試)已知正三角形ABC的邊長為4,O是平面ABC內(nèi)的動點,且∠AOB=,則的最大值為________.
答案
解析 設△ABC的外接圓為⊙O′,則⊙O′的直徑,2R==,∴R=,
以O′為原點,以O′C為y軸建立平面坐標系如圖所示,
則=(4,0),∵∠AOB=∠ACB=,∴O的軌跡為優(yōu)弧,設=(a,b),顯然當O為圓O′與x軸負半軸的交點時,a取得最大值.∴=4a≤,即的最大值為.
命題點3 平面向量與幾何動點問題
例6 (1)(2018杭州二中交流卷)已知矩形ABCD的面積為2,M,N分別是AD,BC的中點,點P為線段MN上的動點,則P+2的最小值是________.
答案
解析 分別以AB,AD所在直線為x,y軸建立平面直角坐標系,A為坐標原點,設B(m,0),M(0,n),P(x,n)(m>0,n>0),
則mn=1,=(-x,-n),=(m-x,-n).
+2=x2-mx+n2+m2
=2+n2+m2≥n2+m2,
而n2+m2≥mn=,
故當x=且n=m,即當m=,n=,
x=時,+2取最小值.
(2)(2018紹興、諸暨期末)已知△ABC,滿足+=,點D為線段AB上一動點,若的最小值為-3,則△ABC的面積S等于( )
A.9B.9C.18D.18
答案 D
解析 因為+=+,
所以由平面向量的基本定理得==,記||=3m,||=2m(其中m>0),則由|+|=m,得cosA=,設=t(-1≤t≤0),故=t(t+)=3m2(3t2+t)≥-m2=-3,即m2=12,
因此S△ABC=||||sinA=18,故選D.
思維升華向量在解析幾何中的“兩個”作用
(1)載體作用:向量在解析幾何問題中出現(xiàn),多用于“包裝”,解決此類問題的關鍵是利用向量的意義、運算脫去“向量外衣”,導出曲線上點的坐標之間的關系,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.
(2)工具作用:利用a⊥b?ab=0(a,b為非零向量),a∥b?a=λb(b≠0),可解決垂直、平行問題,特別地,向量垂直、平行的坐標表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較簡捷的方法.
跟蹤訓練2 (1)已知點A在橢圓+=1上,點P滿足=(λ-1)(λ∈R)(O是坐標原點),且=72,則線段OP在x軸上投影的最大值為________.
答案 15
解析 因為=(λ-1),所以=λ,
即O,A,P三點共線,因為=72,
所以=λ||2=72,
設A(x,y),OA與x軸正方向的夾角為θ,線段OP在x軸上的投影為|||cosθ|=|λ||x|===≤=15,
當且僅當|x|=時取等號.
(2)(2018浙江寧波高三適應性考試)已知點M為單位圓x2+y2=1上的動點,點O為坐標原點,點A在直線x=2上,則的最小值為________.
答案 2
解析 由題意得=(+)=||2+=||2+||cosθ,其中θ為向量和的夾角,因為點A在直線x=2上,所以||≥2,則由二次函數(shù)的性質(zhì)易得當||=2時,=||2+||cosθ取得最小值4+2cosθ,則當cosθ=-1,即向量和方向相反時,取得最小值2.
1.在△ABC中,(+)=||2,則△ABC的形狀一定是( )
A.等邊三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 C
解析 由(+)=||2,
得(+-)=0,
即(++)=0,2=0,∴⊥,
∴A=90.又根據(jù)已知條件不能得到||=||,
故△ABC一定是直角三角形.
2.已知點A(-2,0),B(3,0),動點P(x,y)滿足=x2,則點P的軌跡是( )
A.圓 B.橢圓
C.雙曲線 D.拋物線
答案 D
解析 ∵=(-2-x,-y),=(3-x,-y),
∴=(-2-x)(3-x)+y2=x2,
∴y2=x+6,即點P的軌跡是拋物線.
3.(2018湖州質(zhì)檢)已知O是△ABC的外心,∠C=45,若=m+n(m,n∈R),則m+n的取值范圍是( )
A.[-,] B.[-,1)
C.[-,-1) D.(1,]
答案 B
解析 ∵O是△ABC的外心,∠C=45,
∴∠AOB=90,又=m+n,
兩邊平方可得m2+n2=1,∴(m+n)2≤2(m2+n2)=2,
當且僅當m=n時,等號成立,∴-≤m+n≤.
又由題意可知,m,n不能同時為正,∴m+n<1,
故m+n的取值范圍是[-,1).
4.(2018溫州高考適應性測試)如圖,已知△ABC的邊BC的垂直平分線交BC于點Q,交AC于點P,若||=1,||=2,則的值為( )
A.3 B.
C. D.
答案 B
解析 連接AQ,因為PQ垂直平分BC,所以⊥,=(+),所以=(+)==(+)(-)=(2-2)=(22-12)=.故選B.
5.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l與拋物線在第一象限的交點為A,與拋物線的準線的交點為B,點A在拋物線的準線上的射影為C,若=,=48,則拋物線的方程為( )
A.y2=8x B.y2=4x
C.y2=16x D.y2=4x
答案 B
解析 如圖所示,由=,得F為線段AB的中點,
∵|AF|=|AC|,∴∠ABC=30,
由=48,得|BC|=4.
則|AC|=4,∴由中位線的性質(zhì),
有p=|AC|=2,
故拋物線的方程為y2=4x.故選B.
6.(2018浙江六校協(xié)作體聯(lián)考)已知O為坐標原點,=(3,1),||=,當△AOB的面積取得最大值時,等于( )
A.(-2,-4) B.(-4,2)
C.(-2,-4)或(-4,2) D.(-2,-4)或(4,2)
答案 C
解析 方法一 由于||=,則點B在以點O(0,0)為圓心,為半徑的圓上,由數(shù)形結(jié)合易知,要使△AOB的面積取得最大值,則需滿足⊥.設=(a,b),則解得或
當時,=(1,-3),
則=-=(1,-3)-(3,1)=(-2,-4);
當時,=(-1,3),
則=-=(-1,3)-(3,1)=(-4,2).
綜上,=(-2,-4)或(-4,2).故選C.
方法二 由于||=,則點B在以點O(0,0)為圓心,為半徑的圓上,由數(shù)形結(jié)合易知,要使△AOB的面積取得最大值,則需滿足⊥.在平面直角坐標系中,畫出向量,,
當如圖1所示時,過點A作AA′⊥x軸于點A′,過點B作BB′⊥x軸于點B′,則∠OBB′=∠AOA′,又||=||,所以Rt△AOA′≌Rt△OBB′,則|OB′|=|AA′|=1,|BB′|=|OA′|=3,所以B(1,-3),=(1,-3),=(1,-3)-(3,1)=(-2,-4),
當如圖2所示時,同理可得B(-1,3),=(-1,3),=(-1,3)-(3,1)=(-4,2),
綜上,=(-2,-4)或(-4,2).故選C.
7.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若點A,B,C能構(gòu)成三角形,則實數(shù)m滿足的條件是________.
答案 m≠
解析 由題意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能構(gòu)成三角形,則,不共線,則-3(1-m)≠1(2-m),解得m≠.
8.(2009浙江改編)設向量a,b滿足:|a|=3,|b|=4,ab=0,以a,b,a-b的模為邊長構(gòu)成三角形,則它的邊與半徑為1的圓的公共點個數(shù)最多為________.
答案 4
解析 由|a|=3,|b|=4及ab=0知a⊥b,故a,b,a-b構(gòu)成直角三角形,且|a-b|=5.又其內(nèi)切圓半徑為=1.如圖所示.將內(nèi)切圓向上或向下平移可知該圓與該直角三角形最多有4個交點.
9.已知圓C:(x-2)2+y2=4,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),過圓M上任意一點P作圓C的兩條切線PE,PF,切點分別為E,F(xiàn),則的最小值是________.
答案 6
解析 圓C:(x-2)2+y2=4的圓心為C(2,0),半徑等于2,圓M:(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1,
圓心M(2+5cosθ,5sinθ),半徑等于1.
∵|CM|=5>2+1,∴兩圓相離.
如圖所示,設直線CM和圓M交于H,G兩點,
則的最小值是.
|HC|=|CM|-1=5-1=4,
|HE|=|HF|===2,
sin∠CHE==,
∴cos∠EHF=cos2∠CHE=1-2sin2∠CHE=,
∴=||||cos∠EHF
=22=6.
10.已知點D為△ABC所在平面上一點,且滿足=-,若△ACD的面積為1,則△ABD的面積為________.
答案 4
解析 由=-,得5=+4,
所以-=4(-),即=4.
所以點D在邊BC上,且||=4||,
所以S△ABD=4S△ACD=4.
11.已知直線2x+y+2=0與x軸、y軸的交點分別為A,B,橢圓+=1(a>b>0)的左焦點F1和上頂點D,若=0,則該橢圓的離心率e=________.
答案
解析 因為直線2x+y+2=0與x軸、y軸的交點分別為A,B,所以A(-1,0),B(0,-2),又F1(-c,0),D(0,b),
所以=(-c,2),=(1,b).因為=0,
所以-c+2b=0,所以=,即=,所以=,
所以該橢圓的離心率e==.
12.如圖,設正△BCD的外接圓O的半徑為R,點A在BD下方的圓弧上,則的最小值為________.
答案?。?
解析 因為
==||2-||
=(||-1)2-,
因為R≤||≤2R,而<R<,
所以當||=1時,取到最小值-.
13.如圖,已知F1,F(xiàn)2為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,點P在第一象限,且滿足||=a,(+)=0,線段PF2與雙曲線C交于點Q,若=5,則雙曲線C的漸近線方程為( )
A.y=x B.y=x
C.y=x D.y=x
答案 B
解析 由(+)=0,
可得||=||=2c,|QF1|=a,|QF2|=,
在△QF1F2中,由余弦定理得,
cos∠F1F2Q==,
即=,∴c=a,b=a,∴雙曲線的漸近線方程為y=x.
14.(2018浙江杭州市地區(qū)聯(lián)考)在△ABC中,AB=5,AC=4,∠BAC=60,M為△ABC內(nèi)一點,S△MAB∶S△MCB∶S△MAC=1∶2∶3,則等于( )
A.B.-C.D.-
答案 C
解析 如圖,延長BM交AC于點D,由S△MAB∶S△MCB∶S△MAC=1∶2∶3,可得S△MAC=S△CAB,所以M為BD的中點,設===k,則S△ABD=kS△CBD,S△AMD=kS△CMD,
兩式相減得S△MAB=kS△MCB,故k=.
所以=+=-
=-=--,
=+=+
=+=-.
所以=
=-2+2-
=-16+25-54=.
15.(2018杭州市高級中學仿真測試)記min{a,b}=已知向量a,b,c滿足|a|=1,|b|=2,且ab=1,若c=λa+μb(λ,μ≥0,且λ+2μ=1),則當min{ac,bc}取最大值時,|c|=________.
答案 1
解析 設向量a與b的夾角為θ,則ab=|a||b|cosθ=2cosθ=1,所以cosθ=,所以θ=60,不妨設a=(1,0),b=(1,),則c=(λ+μ,μ)=(1-μ,μ),所以ac=1-μ,bc=1+2μ.由μ≥0,得1-μ≤1+2μ,所以min{ac,bc}=1-μ,因為λ=1-2μ≥0,解得μ≤,所以μ∈,所以當μ=0時,min{ac,bc}取得最大值,此時c=(1,0),則|c|=1.
16.(2018臺州質(zhì)檢)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,點P是其外接圓O上的任意一點,若a=2,b=c=,則2+2+2的最大值為______.
答案
解析 以BC的中點O′為原點,以所在方向為x軸正方向,所在方向為y軸正方向,建立平面直角坐標系,則A(0,2),B(-,0),C(,0),可得外接圓的圓心O為,半徑為,所以圓O的方程為x2+2=.設P,
則=,
=,
=,
所以2+2+2=2+2+2+2+2+2=-sinα≤+=.