高考數(shù)學(xué) 25個(gè)必考點(diǎn) 專(zhuān)題07 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)檢測(cè)

專(zhuān)題07 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)題 1.（2018北京卷）設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為_(kāi)_____． 【答案】 【解析】解：函數(shù)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都成立， 可得：，，解得，， 則的最小值為：． 故答案為：． 利用已知條件推出函數(shù)的最大值，然后列出關(guān)系式求解即可． 本題考查三角函數(shù)的最值的求法與應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 2．函數(shù)y＝cos(－2x)的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)_____________． 【答案】 [kπ＋，kπ＋](k∈Z) 3．為了得到函數(shù)y＝cos(2x＋)的圖象，可將函數(shù)y＝sin 2x的圖象( ) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 【答案】 C 【解析】 由題意，得y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin 2(x＋)， 則它是由y＝sin 2x向左平移個(gè)單位得到的，故選C. 4．關(guān)于函數(shù)y＝tan(2x－)，下列說(shuō)法正確的是( ) A．是奇函數(shù) B．在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減 C．(，0)為其圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心 D．最小正周期為π 【答案】 C 5．(2016濰坊模擬)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1,2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1 (x∈R)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z， ∴ω＝k＋，∴ω＝， 從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝. 6．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，則f(x)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是( ) A．[－，] B．[，] C．[－，] D．[，] 【答案】 C 7．(2016全國(guó)丙卷)函數(shù)y＝sin x－cos x的圖象可由函數(shù)y＝sin x＋cos x的圖象至少向右平移________個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 【答案】 【解析】 y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin， 因此至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到． 8．(2016太原模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若將f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)f(x)的圖象( ) A．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 【答案】 B 【解析】 由題意知＝π，∴ω＝2； 又由f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后得到y(tǒng)＝sin[2＋φ]＝sin，此時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)， ∴－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝＋kπ，k∈Z， 又|φ|＜，∴φ＝－，∴f(x)＝sin. 當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝－，∴A、C錯(cuò)誤； 當(dāng)x＝時(shí)，2x－＝，∴B正確，D錯(cuò)誤． 9．(2016威海模擬)若f(x)＝2sin ωx＋1 (ω>0)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是__________． 【答案】 (0，] 10．(2015北京)已知函數(shù)f(x)＝sin x－2sin2. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最小值． 【答案】 (1)f(x)的最小正周期為2π.； (2) f(x)在區(qū)間上的最小值為－. 解 (1)因?yàn)閒(x)＝sin x＋cos x－＝2sin－， 所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因?yàn)?≤x≤，所以≤x＋≤π. 當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取得最小值． 所以f(x)在區(qū)間上的最小值為f＝－. 11．已知函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的圖象過(guò)點(diǎn)P(，0)，圖象上與點(diǎn)P最近的一個(gè)最高點(diǎn) 是Q(，5)． (1)求函數(shù)的解析式； (2)求函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間． 【答案】 (1) y＝5sin(2x－)； (2) 增區(qū)間為[kπ－，kπ＋] (k∈Z)． 12．已知函數(shù)f(x)＝cos2x＋sin xcos x－. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T和函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)中心為(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和． 【答案】 (1) T＝＝π 遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z； (2) x的和為 【解析】(1)由題意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π， 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z. 可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z. ∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4. ∴所有滿(mǎn)足條件的x的和為＋＋＋＝. 二、能力提高題 1．若f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f＝f(－x)，f＝－1，則實(shí)數(shù)b的值為( ) A．－2或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】 A 2．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲線y＝f(x)與直線y＝1的交點(diǎn)中，若相鄰交點(diǎn)距離的最小值為，則f(x)的最小正周期為( ) A. B. C．π D．2π 【答案】 C 【解析】 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)． 由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝， ∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)． 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，∴x1＝0，x2＝. 由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2. 故f(x)的最小正周期T＝＝π. 3．函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分圖象如圖所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，則f(x1＋x2)等于( ) A. B. C. D．1 【答案】 B 4．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移個(gè)單位后所得函數(shù)圖象的【解析】式是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)在上的最小值為( ) A．－ B．－ C. D. 【答案】 A 【解析】 由函數(shù)f(x)的圖象向左平移個(gè)單位得g(x)＝sin的圖象， 因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以φ＋＝kπ，k∈Z， 又因?yàn)閨φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝sin. 又x∈，所以2x－∈， 所以當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最小值為－. 5.(2017長(zhǎng)春質(zhì)檢)設(shè)偶函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示，△KLM為等腰直角三角形，∠KML＝90，KL＝1，則f()的值為_(kāi)_______． 【答案】 6．(2015天津)已知函數(shù)f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱(chēng)，則ω的值為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】 f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin， 因?yàn)閒(x)在區(qū)間(－ω，ω)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝ω對(duì)稱(chēng)， 所以f(ω)必為一個(gè)周期上的最大值， 所以有ωω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z. 又ω－(－ω)≤ω，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝. 7.已知a>0，函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b，當(dāng)x∈時(shí)，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設(shè)g(x)＝f且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 【答案】：(1) a＝2，b＝－5； (2) g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.單調(diào)減區(qū)間為，k∈Z. 【解析】(1)∵x∈，∴2x＋∈， ∴sin∈，∴－2asin∈[－2a，a]， ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又∵－5≤f(x)≤1， ∴b＝－5,3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. 8.(2016濰坊模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示． (1)求f(x)的【解析】式； (2)設(shè)g(x)＝[f(x－)]2，求函數(shù)g(x)在x∈[－，]上的最大值，并確定此時(shí)x的值． 【答案】：(1) f(x)＝2sin(x＋)； (2) x＝時(shí)，g(x)max＝4. 【解析】(1)由題圖知A＝2，＝，則＝4，∴ω＝. 又f(－)＝2sin[(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0， ∴sin(φ－)＝0，∵0<φ<，∴－<φ－<， ∴φ－＝0，即φ＝， ∴f(x)的解析式為f(x)＝2sin(x＋)． 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式，改變粗放式增長(zhǎng)模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化，推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。