高中數學 第二章 函數概念與基本初等函數I 2.2 函數的簡單性質 2.2.1 函數的單調性1學案 蘇教版必修1

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1、 2．2．1　函數的單調性 第1課時　函數的單調性 1．理解函數單調性，能用定義來證明某一函數在確定區(qū)間上的單調性． 2．了解一次函數、二次函數和反比例函數的單調性的判斷方法． 1．增函數 一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間IA． 如果對于區(qū)間I內任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間I上是單調增函數，I稱為y＝f(x)的單調增區(qū)間． 【做一做1】函數y＝(k2＋1)x＋3是__________函數．(填“增”或“減”) 答案：增 2．減函數 一般地，設函數y＝f(x)的定義域為A，區(qū)間IA． 如果

2、對于區(qū)間I內任意兩個值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說y＝f(x)在區(qū)間I上是單調減函數，I稱為y＝f(x)的單調減區(qū)間． 【做一做2】函數y＝－x2－4x＋5在(3，＋∞)上是__________函數．(填“增”或“減”) 答案：減 3．單調區(qū)間 如果函數y＝f(x)在區(qū)間I上是單調增函數或是單調減函數，就說函數y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調性．單調增區(qū)間和單調減區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間． (1)對于單獨的一點，由于其函數值是惟一的，因而無增減變化，所以不存在單調性問題，因此，在考慮函數單調區(qū)間時，若端點處有意義，包括不包括端點均可． (2)有的函數

3、在整個定義域內具有單調性，有的函數在定義域的某個子集上具有單調性，有的函數沒有單調區(qū)間． 【做一做3－1】函數y＝的單調減區(qū)間是__________． 答案：(－∞，0)和(0，＋∞) 【做一做3－2】函數y＝x2－2x－3的單調增區(qū)間是______． 答案：(1，＋∞) 要正確理解單調性的定義，應該抓住哪幾個重要字眼？ 剖析：(1)第一關鍵——“定義域內”． 研究函數的很多性質，我們都應有這樣一個習慣：定義域優(yōu)先原則．函數的單調性是對定義域內某個子區(qū)間而言的，即單調區(qū)間是定義域的子集． (2)第二關鍵——“某個區(qū)間”． 增函數和減函數都是對相應的區(qū)間而言的，離開相應的區(qū)

4、間就談不上函數的單調性．我們不能說一個函數在x＝5時是遞增的或遞減的，因為這時沒有一種可比性，沒突出變化．所以我們不能脫離區(qū)間泛泛談論某一個函數是增函數或是減函數．比如二次函數y＝x2，在y軸左側它是減函數，在y軸右側它是增函數．因而我們不能單一地說y＝x2是增函數或是減函數，必須加上區(qū)間進行區(qū)別． 當然，有些函數在其整個定義域內單調性一致，如y＝x，我們會說y＝x在定義域內是增函數．此時，“在定義域內”常被忽略，這就是說法上的一種錯誤了． (3)“任意”和“都有”別忽略． 在定義中，“任意”兩個字很重要，它是指不能取特定的值來判斷函數的增減性，而“都有”的意思是：只要x1＜x2，f(x

5、1)就必須都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)． 對“任意”二字不能忽視，我們可以構造一個反例：考查函數y＝x2，在區(qū)間［－2,2］上，如果取兩個特定的值x1＝－2，x2＝1，顯然x1＜x2，而f(x1)＝4，f(x2)＝1，有f(x1)＞f(x2)，若由此判定y＝x2在［－2,2］上是減函數，那就錯了． 同樣地，理解“都有”，我們也可以舉例說明：y＝x2在［－2,2］上，當x1＝－2，x2＝－1時，有f(x1)＞f(x2)；當x1＝1，x2＝2時，有f(x1)＜f(x2)．從上例我們可以看到對于x1＜x2，f(x1)并沒始終小于(或者大于)f(x2)．因此就不能說y＝x2在［－

6、2,2］上是增函數或減函數． 題型一 函數單調性的證明 【例1】已知函數f(x)＝x＋， (1)畫出函數的圖象，并求其單調區(qū)間； (2)用定義證明函數在(0,1)上是減函數． 分析：運用描點法作圖應避免描點的盲目性，也應避免盲目地連點成線．要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處．這就要求對所畫圖的存在范圍、大致特征、變化趨勢等先作一個大概的研究．單調區(qū)間一般是函數定義域的子集，同一個函數在定義域內可以有幾個不同的單調增(或減)區(qū)間，函數的兩個單調區(qū)間之間可以用“，”或“和”字連接，而不能用符號“∪”連接．“定義作差法”是證明函數單調性的一般方法，而有時通過定義作差法也可以直接找出單

7、調區(qū)間． (1)解：列表如下： x －3 －2 －1 － 1 2 3 y＝x＋ － － －2 － 2 描點，并連線，可得圖象如下圖： 由圖象可知，增區(qū)間：(－∞，－1］，［1，＋∞)，減區(qū)間：［－1,0)，(0,1］． (2)證明：設x1，x2是區(qū)間(0,1)內的任意的兩個值，且x1＜x2．∴0＜x1＜x2＜1．則f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)， ∵0＜x1＜x2＜1，∴x1－x2＜0,0＜x1x2＜1． ∴＞1．∴1－＜0． ∴f(x1)－f(x2)＞0．∴f(x1)＞f(x2)． ∴f

8、(x)＝x＋在區(qū)間(0,1)上是減函數． 反思：“對勾”函數f(x)＝x＋(a＞0)是高中數學具有代表性的一個函數，應掌握其圖象及特點，并懂得其函數的性質： ①定義域：{x|x∈R，x≠0}； ②值域：(－∞，－2］∪［2，＋∞)； ③圖象：如下圖所示； ④奇偶性：為定義域上的奇函數；(下課時學習) ⑤單調性：(－∞，－］，［，＋∞)上是增函數，［－，0)，(0，］上是減函數； ⑥漸近線：x＝0(即y軸)和y＝x． 題型二 二次函數的單調性討論 【例2】討論函數f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)內的單調性． 分析：判斷二次函數的單調性，主要判斷對稱軸是在區(qū)間內、

9、區(qū)間左邊或是區(qū)間右邊． 解：因為f(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2，對稱軸為x＝a， 所以若a≤－2，則f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)上是增函數；若－2＜a＜2，則f(x)＝x2－2ax＋3在(－2，a)上是減函數，在［a,2)上是增函數； 若a≥2，則f(x)＝x2－2ax＋3在(－2,2)上是減函數． 反思：此題容易忽略對稱軸所在的位置，沒有分類討論而產生漏解． 題型三 利用單調性求解不等式 【例3】已知定義在［－3,3］上的函數f(x)是增函數，求不等式f(2x－1)＜f(x＋1)的解集． 分析：本題不知道函數解析式，只有從定義出發(fā)；若x1＜x2

10、，且f(x1)＜f(x2)，則f(x)單調遞增．反之，若f(x)單調遞增，且f(x1)＜f(x2)，則x1＜x2． 解：由題意得－3≤2x－1＜x＋1≤3， 解得－1≤x＜2， 即原不等式的解集為［－1,2)． 反思：在求解本題時，必須考慮函數f(x)的定義域，若僅從2x－1＜x＋1來求解是錯誤的． 1若函數y＝在(0，＋∞)上單調遞增，則k的取值范圍是__________． 解析：由題意得2k－1＜0，k＜． 答案： 2如圖是定義在閉區(qū)間［－5,5］上的函數y＝f(x)的圖象，根據圖象，y＝f(x)的單調遞增區(qū)間為__________，單調遞減區(qū)間為__________．

11、 答案：［－2,1)和［3,5］　［－5，－2)和［1,3) 3函數f(x)是區(qū)間(0，＋∞)上的減函數，則f(a2－a＋1)__________．(填“≥”或“≤”) 解析：要比較f(a2－a＋1)與的大小，由于f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數，只需比較a2－a＋1與的大?。? 因為a2－a＋1＝＋≥， 所以f(a2－a＋1)≤． 答案：≤ 作出函數y＝|x2－4x＋3|的圖象，并寫出它的單調區(qū)間． 解：∵y＝|x2－4x＋3|＝ ∴函數y＝|x2－4x＋3|的圖象如下圖所示． ∵原函數的對稱軸為x＝2， ∴單調增區(qū)間為(1,2)和(3，＋∞)，單調減區(qū)間為(

12、－∞，1)和(2,3)． 5已知函數y＝ax和y＝－在(0，＋∞)上都是減函數，試判斷y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上的單調性，并予以證明． 解：由條件得a＜0，b＜0，從而函數y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上單調遞減． 證明如下： 設x1，x2為區(qū)間(0，＋∞)內的任意兩個值，且x1＜x2， 則y1－y2＝(ax21＋bx1)－(ax22＋bx2) ＝a(x1－x2)(x1＋x2)＋b(x1－x2) ＝(x1－x2)［a(x1＋x2)＋b］， ∵x1－x2＜0，x1＋x2＞0， ∴a(x1＋x2)＋b＜0．∴y1－y2＞0，即y1＞y2． 從而函數y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上單調遞減． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375