高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)16 正態(tài)分布 新人教A版選修23

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1、 課時(shí)分層作業(yè)(十六) 正態(tài)分布 (建議用時(shí):40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖242所示,則有(  ) 圖242 A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 A [根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì):對稱軸方程x=μ,σ表示正態(tài)曲線的形狀.由題圖可得,選A.] 2.若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=,X在區(qū)間(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1,p2,則p1,p2的關(guān)系為(  ) A.p1>p2     

2、   B.p1

3、-3.5,-0.5]內(nèi)的概率是(  ) A.95.44% B.99.73% C.4.56% D.0.26% B [由X~N知μ=-2,σ=,P(-3.5<X≤-0.5)=P(-2-30.5<X≤-2+30.5)=0.997 3.] 5.已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(  ) (附:若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% B [

4、由正態(tài)分布的概率公式知P(-3<ξ<3)=0.682 7,P(-6<ξ<6)=0.954 5, 故P(3<ξ<6)= ==0.135 9=13.59%.] 二、填空題 6.若隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),則P(X≤μ)=________. 【導(dǎo)學(xué)號:95032209】  [由于隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),其正態(tài)密度曲線關(guān)于直線X=μ對稱,故P(X≤μ)=.] 7.在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1,σ2)(σ>0),若X在(0,1]內(nèi)取值的概率為0.4,則X在(0,2]內(nèi)取值的概率為________. 0.8 [∵X~N(1,σ2),且P(0<X≤1)=0.4,∴P(0

5、<X≤2=2P(0<X≤1)=0.8.] 8.工人制造的零件尺寸在正常情況下服從正態(tài)分布N(μ,σ2),在一次正常的試驗(yàn)中,取1 000個(gè)零件,不屬于(μ-3σ,μ+3σ)這個(gè)尺寸范圍的零件可能有__________________________________________________________個(gè). 3 [因?yàn)镻(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)=0.997 3,所以不屬于區(qū)間(μ-3σ,μ+3σ)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)約為1 000(1-0.997 3)=2.7≈3個(gè).] 三、解答題 9.如圖243所示是一個(gè)正態(tài)曲線,試根據(jù)該圖象寫出其正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式,求出總體隨機(jī)變量的

6、期望和方差. 圖243 [解] 從給出的正態(tài)曲線可知,該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱,最大值是,所以μ=20. 由=,得σ=. 于是概率密度函數(shù)的解析式是 f(x)=e,x∈(-∞,+∞), 總體隨機(jī)變量的期望是μ=20,方差是σ2=()2=2. 10.在某次數(shù)學(xué)考試中,考生的成績X服從一個(gè)正態(tài)分布,即X~N(90,100). (1)試求考試成績X位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少? (2)若這次考試共有2 000名學(xué)生,試估計(jì)考試成績在(70,110)間的考生大約有多少人? 【導(dǎo)學(xué)號:95032210】 [解] 因?yàn)閄~N(90,100), 所以μ=90,σ

7、==10. (1)由于X在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)內(nèi)取值的概率是0.954 5, 又該正態(tài)分布中,μ-2σ=90-210=70,μ+2σ=90+210=110, 于是考試成績X位于區(qū)間(70,110)內(nèi)的概率就是0.954 5. (2)由(1)知P(70

8、        B.2 718 C.3 414 D.4 777 附:若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ

9、 D.(105,115]內(nèi) C [=0.95,故可得大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ]內(nèi),即在區(qū)間(110-25,110+25]內(nèi). 二、填空題 3.設(shè)隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),且P(X<1)=,P(X>2)=p,則P(0<X<1)=________. -p [隨機(jī)變量X~N(μ,σ2),可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,x=μ是圖象的對稱軸,可知P(x<1)=,P(x>2)=p,則P(0<x<1)=-p.] 4.已知正態(tài)總體的數(shù)據(jù)落在區(qū)間(-3,-1)里的概率和落在區(qū)間(3,5)里的概率相等,那么這個(gè)正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望為________. 1 [由題意知區(qū)間(-3,-1

10、)與(3,5)關(guān)于直線x=μ對稱, 因?yàn)閰^(qū)間(-3,-1)和區(qū)間(3,5)關(guān)于x=1對稱,所以正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望為1.] 三、解答題 5.從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖: 圖245 (1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (2)由直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ近似為樣本平均數(shù),σ2近似為樣本方差s2. ①利用該正態(tài)分布,求P(187.8

11、示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù),利用①的結(jié)果,求E(X). 附:≈12.2. 若Z~N(μ,σ2),則P(μ-σ

12、=150. (2)①由(1)知,Z~N(200,150),從而P(187.8

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