高中數(shù)學(xué)人教A版必修五 第一章解三角形 學(xué)業(yè)分層測評4 含答案

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1、起 學(xué)業(yè)分層測評（四） (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為(　　) A．α>β B．α＝β C．α＋β＝90 D．α＋β＝180 【解析】　根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖．知α＝β，故應(yīng)選B. 【答案】　B 2．在靜水中劃船的速度是每分鐘40 m，水流的速度是每分鐘20 m，如果船從岸邊A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線到達(dá)對岸，那么船的前進(jìn)方向應(yīng)指向河流的上游并與河岸垂直方向所成的角為(　　) A．15 B．30 C．45 D．60 【解析】　如圖所示， si

2、n∠CAB＝＝，∴∠CAB＝30. 【答案】　B 3．我艦在敵島A處南偏西50的B處，且A、B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開島沿北偏西10的方向以每小時10海里的速度航行，若我艦要用2小時追上敵艦，則速度大小為(　　) A．28海里/小時 B．14海里/小時 C．14海里/小時 D．20海里/小時 【解析】　如圖，設(shè)我艦在C處追上敵艦，速度為v， 在△ABC中，AC＝102＝20(海里)， AB＝12海里，∠BAC＝120， ∴BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝784， ∴BC＝28海里， ∴v＝14海里/小時． 【答案】　B 4．地上畫了一個角∠B

3、DA＝60，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達(dá)△BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點N，則N與D之間的距離為(　　) A．14米 B．15米 C．16米 D．17米 【解析】　如圖，設(shè)DN＝x m， 則142＝102＋x2－210 xcos 60， ∴x2－10x－96＝0. ∴(x－16)(x＋6)＝0. ∴x＝16或x＝－6(舍)． ∴N與D之間的距離為16米． 【答案】　C 二、填空題 5．(2015湖北高考)如圖1226，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北

4、30的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD＝ m. 圖1226 【解析】　由題意，在△ABC中，∠BAC＝30，∠ABC＝180－75＝105，故∠ACB＝45. 又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300 m. 在Rt△BCD中，CD＝BCtan 30＝300 ＝100(m)． 【答案】　100 6．某船在岸邊A處向正東方向航行x海里后到達(dá)B處，然后朝南偏西60方向航行3海里到達(dá)C處，若A處與C處的距離為海里，則x的值為 ． 【解析】　x2＋9－2x3cos 30＝()2， 解

5、得x＝2或x＝. 【答案】　或2 7．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為 km. 【導(dǎo)學(xué)號：05920062】 【解析】　如圖所示，依題意有AB＝154＝60，∠MAB＝30， ∠AMB＝45， 在△AMB中， 由正弦定理得＝， 解得BM＝30(km)． 【答案】　30 8．一船自西向東航行，上午10：00到達(dá)燈塔P的南偏西75、距塔68 n mile的M處，下午14：00到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船航行的速度為 n mi

6、le/h. 【解析】　如圖，由題意知∠MPN＝75＋45＝120，∠PNM＝45. 在△PMN中，由正弦定理，得 ＝， ∴MN＝68＝34. 又由M到N所用時間為14－10＝4(h)， ∴船的航行速度v＝＝(n mile/h)． 【答案】　 三、解答題 9．平面內(nèi)三個力F1、F2、F3作用于同一點且處于平衡狀態(tài)．已知F1、F2的大小分別為1 N、 N，F(xiàn)1與F2的夾角為45，求F3的大小及F3與F1的夾角的大小． 【解】　如圖，設(shè)F1與F2的合力為F，則F3＝－F. ∵∠BOC＝45， ∴∠ABO＝135. 在△OBA中，由余弦定理得 |F|2＝|F1|2＋

7、|F2|2－2|F1||F2|cos 135 ＝4＋2. ∴|F|＝1＋，即|F3|＝＋1. 又由正弦定理得 sin∠BOA＝＝. ∴∠BOA＝30. ∴∠BOD＝150. 故F3的大小為(＋1)N，F(xiàn)1與F3的夾角為150. 10. (2016焦作模擬)如圖1227，正在海上A處執(zhí)行任務(wù)的漁政船甲和在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙，同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在漁政船甲的南偏東40方向距漁政船甲70 km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20方向的B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政

8、船甲航行30 km到達(dá)D處時，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙)，此時B、D兩處相距42 km，問漁政船乙要航行多少距離才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實施營救． 圖1227 【解】　設(shè)∠ABD＝α，在△ABD中，AD＝30， BD＝42，∠BAD＝60. 由正弦定理得＝， sin α＝sin∠BAD＝sin 60＝， 又∵AD

9、BDC＝402＋422－24042cos(60＋α)＝3 844，BC＝62 km， 即漁政船乙要航行62 km才能到達(dá)漁船丙所在的位置C處實施營救． [能力提升] 1．(2016湖南師大附中期中)為了測量某塔的高度，某人在一條水平公路C，D兩點處進(jìn)行測量．在C點測得塔底B在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿著南偏東40方向前進(jìn)10米到D點，測得塔頂?shù)难鼋菫?0，則塔的高度為(　　) A．5米 B．10米 C．15米 D．20米 【解析】　如圖，由題意得，AB⊥平面BCD， ∴AB⊥BC，AB⊥BD. 設(shè)塔高AB＝x， 在Rt△ABC中，∠ACB＝45， 所以BC＝

10、AB＝x， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30， ∴BD＝＝x， 在△BCD中，由余弦定理得 BD2＝CB2＋CD2－2CBCDcos 120， ∴(x)2＝x2＋100＋10x， 解得x＝10或x＝－5(舍去)，故選B. 【答案】　B 2．甲船在島A的正南B處，以每小時4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時乙船自島A出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為(　　) A.分鐘 B.分鐘 C．21.5分鐘 D．2.15小時 【解析】　如圖，設(shè)t小時后甲行駛到D處，則AD＝10－4t，乙行駛到C處，則AC＝6t.∵∠B

11、AC＝120，∴DC2＝AD2＋AC2－2ADACcos 120＝(10－4t)2＋(6t)2－2(10－4t)6tcos 120＝28t2－20t＋100＝282＋. 當(dāng)t＝時，DC2最小，即DC最小，此時它們所航行的時間為60＝分鐘． 【答案】　A 3．如圖1228所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cos θ＝ . 圖1228 【解析】　在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝12

12、0， 由余弦定理知BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos 120＝2 800?BC＝20. 由正弦定理＝? sin∠ACB＝sin∠BAC＝， ∠BAC＝120，則∠ACB為銳角，cos∠ACB＝. 由θ＝∠ACB＋30，則cos θ＝cos(∠ACB＋30)＝cos∠ACBcos 30－sin∠ACBsin 30＝. 【答案】　 4．如圖1229，某軍艦艇位于島嶼A的正西方C處，且與島嶼A相距120海里．經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn)，國際海盜船以100海里/小時的速度從島嶼A出發(fā)沿東偏北60方向逃竄，同時，該軍艦艇從C處出發(fā)沿東偏北α的方向勻速追趕國際海盜船，恰好用2小時追上． 圖1229 (1)求該軍艦艇的速度； (2)求sin α的值． 【解】　(1)依題意知，∠CAB＝120，AB＝1002＝200，AC＝120，∠ACB＝α， 在△ABC中，由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2ABACcos∠CAB＝2002＋1202－2200120cos 120＝78 400，解得BC＝280. 所以該軍艦艇的速度為＝140海里/小時． (2)在△ABC中，由正弦定理，得＝， 即sin α＝＝＝.