數(shù)學(xué)理一輪對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練:1012 橢圓的幾何性質(zhì) Word版含解析

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 1.一個(gè)圓經(jīng)過橢圓+=1的三個(gè)頂點(diǎn),且圓心在x軸的正半軸上,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 答案 2+y2= 解析 由題意知,圓過橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)(4,0),(0,2),(0,-2),設(shè)圓心為(a,0),其中a>0,由4-a=,解得a=,所以該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+y2=. 2.過點(diǎn)M(1,1)作斜率為-的直線與橢圓C:+=1(a>b>0)相交于A,B兩點(diǎn),若M是線段AB的中點(diǎn),則橢圓C的離心率等于________. 答案  解析 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則

2、+=1①, +=1②. ①、②兩式相減并整理得=-. 把已知條件代入上式得,-=-, ∴=,故橢圓的離心率e==. 3.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,C與過原點(diǎn)的直線相交于A,B兩點(diǎn),連接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cos∠ABF=,則C的離心率e=________. 答案  解析 如圖,設(shè)右焦點(diǎn)為F1,|BF|=x,則cos∠ABF==. 解得x=8,故∠AFB=90.由橢圓及直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|AF1|=8,且∠FAF1=90,△FAF1是直角三角形,|F1F2|=10,故2a=8+6=14,2c=10,e==. 4.設(shè)橢圓E的方程為

3、+=1(a>b>0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),點(diǎn)M在線段AB上,滿足|BM|=2|MA|,直線OM的斜率為. (1)求E的離心率e; (2)設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b),N為線段AC的中點(diǎn),點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程. 解 (1)由題設(shè)條件知,點(diǎn)M的坐標(biāo)為,又kOM=,從而=,進(jìn)而得a=b,c==2b,故e==. (2)由題設(shè)條件和(1)的計(jì)算結(jié)果可得,直線AB的方程為+=1,點(diǎn)N的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為,則線段NS的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為.又點(diǎn)T在直線AB上,且kNSkAB=-1, 從而有 解得b=3.所以a

4、=3, 故橢圓E的方程為+=1. 5.如圖,橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F2的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若|PF1|=|PQ|,求橢圓的離心率e. 解 (1)由橢圓的定義,2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2. 設(shè)橢圓的半焦距為c,由已知PF1⊥PF2, 因此2c=|F1F2|= = =2, 即c=,從而b==1. 故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1. (2)解法一:連接QF1,如圖,設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓上,且PF1⊥PF2,

5、則+=1,x+y=c2, 求得x0=,y0=. 由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,從而|PF1|2=2+=2(a2-b2)+2a=(a+)2. 由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a. 從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|, 因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a, 于是(2+)(1+)=4,解得 e= =-. 解法二:連接QF1,如上圖,由橢圓的定義,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+

6、|QF2|=2a.從而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|. 又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|. |PF1|=2(2-)a,從而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a. 由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2, 因此e=== = =-. 6.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為c. (1)求橢圓E的離心率; (2)如圖,AB是圓M:(x+2)2

7、+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程. 解 (1)過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,則原點(diǎn)O到該直線的距離d==, 由d=c,得a=2b=2,解得離心率=. (2)解法一:由(1)知,橢圓E的方程為 x2+4y2=4b2.① 依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=. 易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,代入①得 (1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 則x1+x2=-, x1x2=. 由x1+x2=-4,得-

8、=-4,解得k=. 從而x1x2=8-2b2. 于是|AB|=|x1-x2| ==. 由|AB|=,得 =,解得b2=3. 故橢圓E的方程為+=1. 解法二:由(1)知,橢圓E的方程為 x2+4y2=4b2.② 依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱,且|AB|=.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 x+4y=4b2, x+4y=4b2, 兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0. 易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2, 所以AB的斜率kAB==. 因此直線AB的方程為y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8

9、-2b2=0. 所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2. 于是|AB|=|x1-x2| ==. 由|AB|=,得 =,解得b2=3.故橢圓E的方程為+=1. 7.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,已知|AB|=|F1F2|. (1)求橢圓的離心率; (2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F1,經(jīng)過原點(diǎn)O的直線l與該圓相切.求直線l的斜率. 解 (1)設(shè)橢圓右焦點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(c,0). 由|AB|=|F1F2|,可得a2+b2=3c2. 又b2=a2-c2,則=.所以橢圓的離心率e=. (2)由(1

10、)知a2=2c2,b2=c2.故橢圓方程為+=1. 設(shè)P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c), 有=(x0+c,y0),=(c,c). 由已知,有=0,即(x0+c)c+y0c=0. 又c≠0,故有x0+y0+c=0.① 又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上,故+=1.② 由①和②可得3x+4cx0=0. 而點(diǎn)P不是橢圓的頂點(diǎn),故x0=-c, 代入①得y0=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 設(shè)圓的圓心為T(x1,y1),則x1==-c,y1==c, 進(jìn)而圓的半徑r==c. 設(shè)直線l的斜率為k,依題意,直線l的方程為y=kx. 由l與圓相切,可得=r,即=c, 整理得k2-8k+1=0,解

11、得k=4. 所以,直線l的斜率為4+或4-. 8.已知橢圓C的中心在原點(diǎn),離心率e=,右焦點(diǎn)為F(,0). (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A,在橢圓C上是否存在點(diǎn)P,使得向量+與共線?若存在,求直線AP的方程;若不存在,簡要說明理由. 解 (1)設(shè)橢圓C的方程為+=1(a>b>0), 又離心率e=,右焦點(diǎn)為F(,0), ∴=,c=,∴a=2,b2=1, 故橢圓C的方程為+y2=1. (2)假設(shè)橢圓C上存在點(diǎn)P(x0,y0),使得向量+與共線. ∵+=(x0,y0+1),=(-,1), ∴x0=-(y0+1).?、? 又點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓+y2=1上,

12、 ∴+y=1. ② 由①②解得或 ∴P(0,-1)或P. 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,-1)時(shí),直線AP的方程為x=0, 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P時(shí),直線AP的方程為x-4y+4=0, 故存在滿足題意的點(diǎn)P,直線AP的方程為x=0或x-4y+4=0. 9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b≥1)的離心率e=,且橢圓C上一點(diǎn)N到Q(0,3)距離的最大值為4,過點(diǎn)M(3,0)的直線交橢圓C于點(diǎn)A、B. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)P為橢圓上一點(diǎn),且滿足+=t(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)|AB|<時(shí),求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 (1)∵e2===,∴a2=4b2, 則橢圓方程為+=

13、1,即x2+4y2=4b2. 設(shè)N(x,y),則 |NQ|= = = =. 當(dāng)y=-1時(shí),|NQ|有最大值,則=4, 解得b2=1,∴a2=4,故橢圓方程是+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y), 直線AB的方程為y=k(x-3), 由 整理得(1+4k2)x2-24k2x+36k2-4=0. 則x1+x2=,x1x2=, Δ=(-24k2)2-16(9k2-1)(1+4k2)>0,解得k2<. 由題意得+=(x1+x2,y1+y2)=t(x,y), 則x=(x1+x2)=, y=(y1+y2)=[k(x1+x2)-6k]=. 由點(diǎn)P在橢圓上,得+=4, 化簡得36k2=t2(1+4k2).① 由|AB|=|x1-x2|<, 得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<3,將x1+x2,x1x2代入得 (1+k2)<3, 化簡,得(8k2-1)(16k2+13)>0, 則8k2-1>0,即k2>, ∴

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