【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：全冊(cè)作業(yè)與測(cè)評(píng) 課時(shí)提升作業(yè)(十三)2.3.1

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1、 人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 課時(shí)提升作業(yè)(十三) 直線與平面垂直的判定 (25分鐘　60分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(2015大連高二檢測(cè))直線l⊥平面α,直線m?α,則l與m不可能　(　　) A.平行　　　　　　　　　 B.相交 C.異面 D.垂直 【解析】選A.因?yàn)橹本€l⊥平面α,所以l與α相交,又因?yàn)閙?α,所以l與m相交或異面,由直線與平面垂直的定義,可知l⊥m.故l與m不可能平行. 2.(2015濟(jì)南高一檢測(cè))直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α的關(guān)系是　(　　) A.l和平面α相互平行　　　 B.l和平面α相

2、互垂直 C.l在平面α內(nèi)　 D.不能確定 【解析】選D.如圖所示,直線l和平面α相互平行,或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能. 3.直線l與平面α所成的角為70,直線l∥m,則m與α所成的角等于　(　　) A.20　　　 B.70　 C.90　　 D.110 【解析】選B.因?yàn)閘∥m,所以直線l與平面α所成的角等于m與α所成的角,又直線l與平面α所成的角為70,所以m與α所成的角為70. 4.若兩直線l1與l2異面,則過(guò)l1且與l2垂直的平面　(　　) A.有且只有一個(gè) B.可能存在,也可能不存在 C.有無(wú)數(shù)多個(gè) D.一定不存在 【解

3、析】選B.當(dāng)l1⊥l2時(shí),過(guò)l1且與l2垂直的平面有一個(gè),當(dāng)l1與l2不垂直時(shí),過(guò)l1且與l2垂直的平面不存在. 5.(2015滁州高一檢測(cè))已知兩條直線m,n,兩個(gè)平面α,β,給出下列四個(gè)說(shuō)法: ①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n; ③m⊥n,m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)是　(　　) A.①③　　 B.②④　　 C.①④　　 D.②③ 【解析】選C.①正確;對(duì)于②,分別位于兩個(gè)平行平面內(nèi)的兩條直線必沒(méi)有公共點(diǎn),但它們不一定平行,因此②是錯(cuò)誤的;對(duì)于③,直線n也可能與平面α相交,也可能在平面α內(nèi),因此③是錯(cuò)誤的

4、;對(duì)于④,由m⊥α且α∥β,得m⊥β,又m∥n,故n⊥β,因此④是正確的. 【補(bǔ)償訓(xùn)練】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的: ①三角形的兩邊;②梯形的兩邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊. 則能保證該直線與平面垂直的是　(　　) A.①③　　　 B.①②　　　 C.②④　　　 D.①④ 【解析】選A.三角形的兩邊,圓的兩條直徑一定相交,而梯形的兩邊,正六邊形的兩條邊不一定相交,所以保證直線與平面垂直的是①③. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=AA1=1,則BD1與平面A1B1C1D1所成的角的大小為　　　　.

5、【解析】如圖所示,連接B1D1. 則B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影,則∠BD1B1是BD1與平面A1B1C1D1所成的角.在Rt△BD1B1中,tan∠BD1B1=BB1B1D1=13=33,則∠BD1B1=π6. 答案:π6 7.(2015宜春高一檢測(cè))如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,PA⊥平面ABC,則此圖形中有　　　　個(gè)直角三角形. 【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC,因?yàn)锳C⊥BC,且 PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC.綜上知:△ABC,△PAC,△PAB,△PBC都是直角三角形,共有4

6、個(gè). 答案:4 8.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90,M為線段BB1上的一動(dòng)點(diǎn),則直線AM與直線BC的位置關(guān)系為　　　　. 【解析】因?yàn)锳A1⊥平面ABC,所以BC⊥AA1, 因?yàn)椤螦BC=90,所以BC⊥AB, 又AB∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1B1B,又AM?平面AA1B1B, 所以AM⊥BC. 答案:垂直 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求證:BD⊥平面PAC. 【解題指南】將證明線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線線垂直問(wèn)題. 【證明】因?yàn)锽C=CD,所

7、以△BCD為等腰三角形, 又∠ACB=∠ACD,故BD⊥AC. 因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥BD. 從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC. 【拓展延伸】利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧 　　證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形,尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系,進(jìn)而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高;菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法. 10.如圖,在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠ABC=60,PC⊥平面ABCD,PC=2,E,F是PA和AB的中點(diǎn),求PA與平面PBC所成

8、角的正弦值. 【解題指南】過(guò)A作BC的垂線,聯(lián)系PC⊥平面ABCD,利用線面垂直的判定定理可以證明所作垂線與平面PBC垂直. 【解析】過(guò)A作AH⊥BC于H,連接PH. 因?yàn)镻C⊥平面ABCD,AH?平面ABCD, 所以PC⊥AH,又PC∩BC=C,所以AH⊥平面PBC. 所以∠APH為PA與平面PBC所成的角, 邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中,∠ABC=60, 所以△ABC為正三角形,又AH⊥BC, 所以H為BC的中點(diǎn),AH=3, 因?yàn)镻C=AC=2,所以PA=22, 所以sin∠APH=AHPA=64, 故PA與平面PBC所成的角的正弦值為64. (20分鐘　40分

9、) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2015文昌高二檢測(cè))如圖,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA與BD的位置關(guān)系是　(　　) A.平行　　　　 B.垂直相交 C.垂直異面　　　　 D.相交但不垂直 【解析】選C.連接AC,因?yàn)镸C⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥MC,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形,所以BD⊥AC,又MC∩AC=C,所以BD⊥平面MAC,又MA?平面MAC,所以MA⊥BD. 2.如圖,O為正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,則下列直線中與B1O垂直的是　(　　) A.A1D　　　 B.AA1　　　

10、 C.A1D1　　　 D.A1C1 【解析】選D.由題易知,A1C1⊥平面BB1D1D,又OB1?平面DD1B1B,所以A1C1⊥B1O. 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.設(shè)l,m,n為三條不同的直線,α為一個(gè)平面,給出下列說(shuō)法: ①若l⊥α,則l與α相交; ②若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,則l⊥α; ③若l∥m,m∥n,l⊥α,則n⊥α; ④若l∥m,m⊥α,n⊥α,則l∥n. 其中正確說(shuō)法的序號(hào)為　　　　. 【解析】①顯然正確;對(duì)②,只有當(dāng)m,n相交時(shí),才有l(wèi)⊥α,故②錯(cuò)誤;對(duì)③,由l∥m,m∥n?l∥n,由l⊥α,得n⊥α,故③正確;對(duì)④,由l∥m,

11、m⊥α?l⊥α,再由n⊥α?l∥n,故④正確. 答案:①③④ 4.(2015福州高二檢測(cè))如圖,四棱錐S-ABCD底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中正確的有　　　　個(gè). ①AC⊥SB;②AB∥平面SCD; ③SA與平面ABCD所成的角是∠SAD; ④AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角. 【解析】因?yàn)镾D⊥底面ABCD,所以AC⊥SD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以AC⊥BD,又BD∩SD=D,所以AC⊥平面SBD,所以AC⊥SB,故①正確.因?yàn)锳B∥CD,AB?平面SCD,CD?平面SCD,所以AB∥平面SCD,故②正確.因?yàn)锳D是SA在平面ABCD內(nèi)的射影

12、,所以SA與平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正確.因?yàn)锳B∥CD,所以AB與SC所成的角等于DC與SC所成的角,故④正確. 答案:4 【延伸探究】本題中,試作出SA與平面SBD所成的角. 【解析】設(shè)AC∩BD=O,連接SO,因?yàn)锳C⊥平面SBD, 所以SO為斜線SA在平面SBD內(nèi)的射影(如圖), 則∠ASO是SA與平面SBD所成的角. 三、解答題(每小題10分,共20分) 5.(2015臨沂高一檢測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA⊥CD,PA=1,PD=2. (1)求證:PA⊥平面ABCD. (2)求四棱錐P-ABCD的體積. 【解析】(

13、1)因?yàn)樗睦忮FP-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,PA=1,PD=2, 所以PD2=PA2+AD2,所以PA⊥AD, 又PA⊥CD,AD∩CD=D,所以PA⊥平面ABCD. (2)四棱錐P-ABCD的底面積為1, 因?yàn)镻A⊥平面ABCD, 所以四棱錐P-ABCD的高為PA=1, 所以四棱錐P-ABCD的體積為13. 【誤區(qū)警示】證明線面垂直時(shí),易忽視面內(nèi)兩條線為相交線這一條件. 6.(2015西安高一檢測(cè))如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分別為CD,PB的中點(diǎn). (1)求證:EF⊥平面PAB. (2)設(shè)AB=2BC,求

14、AC與平面AEF所成角的正弦值. 【解析】(1)連接BE,EP.由題意知∠PDE=∠BCE=90, 因?yàn)镋D=CE,PD=AD=BC, 所以Rt△PDE≌Rt△BCE,所以PE=BE. 因?yàn)镕為PB中點(diǎn), 所以EF⊥PB. 因?yàn)镻D⊥底面ABCD,所以PD⊥AB,因?yàn)镈A⊥AB,PD∩AD=D,所以AB⊥平面PAD,所以PA⊥AB. 在Rt△PAB中,因?yàn)镻F=BF,所以PF=AF. 又因?yàn)镻E=BE=EA,所以△EFP≌△EFA,所以EF⊥FA. 因?yàn)镻B∩AF=F,所以EF⊥平面PAB. (2)不妨設(shè)BC=1,則AD=PD=1,AB=2,PA=2,AC=3. 所以△PAB為等腰直角三角形,且PB=2. 因?yàn)镕是PB的中點(diǎn),所以BF=1,AF⊥PB. 因?yàn)锳F∩EF=F,所以PB⊥平面AEF. 設(shè)BE交AC于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)G作GH∥PB交EF于點(diǎn)H,則GH⊥平面AEF.故∠GAH為AC與平面AEF所成的角. 由△EGC∽△BGA可知,EG=12GB,AG=2CG, 所以EG=13EB,AG=23AC=233. 由△EGH∽△EBF,可知GH=13BF=13. 所以sin∠GAH=GHAG=36, 所以AC與平面AEF所成角的正弦值為36. 關(guān)閉Word文檔返回原板塊